Grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:32 Sa 19.01.2008 | | Autor: | patsch |
| Aufgabe | a) Für gegebene Folgen [mm]\{a_n\}[/mm] und [mm] \{b_n\}[/mm] gilt:
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(4a_n + 2b_n) = 6[/mm]
und
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n - b_n) = 1[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] \{a_n\} [/mm] und [mm] \{b_n\} [/mm] Grenzwerte besitzen und ermitteln Sie diese.
b) Prüfen Sie auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls die Grenzwerte.
1) [mm] \{c_n\} [/mm] mit [mm]c_n = 3^n*2^{-2n}[/mm]
2) [mm] \{d_n\} [/mm] mit [mm]d_n = \bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n+20}[/mm] |
Hallo!
zu Aufgabe a)
Wie kann ich diese Aussagen beweisen, bzw. wiederlegen?
zu Aufgabe b)
zu 1) Bei dieser Aufgabe habe ich die Konvergenz mit dem Wurzelkriterium nachgewiesen. Der Grenzwert dieser Folge ist 0.
zu 2) Welche Kriterium eignet sich hier am Besten, um die Folge hinsichtlich ihrer Konvergenz zu überprüfen?
mfg patsch
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> a) Für gegebene Folgen [mm]\{a_n\}[/mm] und [mm]\{b_n\}[/mm] gilt:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(4a_n + 2b_n) = 6[/mm]
> und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(a_n - b_n) = 1[/mm]
> Zeigen Sie, dass [mm]\{a_n\}[/mm] und [mm]\{b_n\}[/mm] Grenzwerte besitzen
> und ermitteln Sie diese.
>
> b) Prüfen Sie auf Konvergenz und bestimmen Sie
> gegebenenfalls die Grenzwerte.
> 1) [mm]\{c_n\}[/mm] mit [mm]c_n = 3^n*2^{-2n}[/mm]
> 2) [mm]\{d_n\}[/mm] mit [mm]d_n = \bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n+20}[/mm]
>
> Hallo!
>
> zu Aufgabe a)
> Wie kann ich diese Aussagen beweisen, bzw. wiederlegen?
Du kannst die Glieder einer konvergenten Folge mit einer beliebigen Konstanten multiplizieren und erhältst so eine konvergente Folge, deren Limes das entsprechende Vielfache ist. An diesem Beispiel demonstriert: [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}6a_n=6\lim_{n\rightarrow \infty}a_n$. [/mm] Du kannst auch die Glieder zweier konvergenter Folgen addieren und erhältst so eine ebenfalls konvergente Folge, deren Limes die Summe der Limites der beiden Folgen ist. Damit hat man z.B.
[mm]8=6+2\cdot 1=\lim_{n\rightarrow \infty}(4a_n+2b_n)+2\cdot\lim_{n\rightarrow \infty}(a_n-b_n)=\lim_{n\rightarrow \infty}(4a_n+2b_n+2(a_n-b_n))=\lim_{n\rightarrow \infty}(6a_n)=6\lim_{n\rightarrow \infty}a_n[/mm]
Also ist die Folge [mm] $\{a_n\}$ [/mm] konvergent und ihr Limes ist [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\frac{8}{6}$.
[/mm]
Analog kannst Du nun noch die Konvergenz der Folge [mm] $\{b_n\}$ [/mm] und den Wert ihres Limes nachweisen.
>
> zu Aufgabe b)
> zu 1) Bei dieser Aufgabe habe ich die Konvergenz mit dem
> Wurzelkriterium nachgewiesen. Der Grenzwert dieser Folge
> ist 0.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> zu 2) Welche Kriterium eignet sich hier am Besten, um die
> Folge hinsichtlich ihrer Konvergenz zu überprüfen?
Ich würde an Deiner Stelle kurzerhand so umformen: [mm] $d_n=\bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n+20}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{20}{n}}}$. [/mm] Damit ist klar, dass die Folge gegen $1$ konvergiert, nicht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:26 So 20.01.2008 | | Autor: | Toni908 |
wie hast du bei b) 1 die aufgabe mit dem Wurzelkriterium nachgewiesen und den Grenzwert bestimmt?
LG Toni
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> wie hast du bei b) 1 die aufgabe mit dem Wurzelkriterium
> nachgewiesen und den Grenzwert bestimmt?
Das "Wurzelkriterium" ist ein Kriterium für die (absolute) Konvergenz von unendlichen Reihen - nicht von Folgen. Ich hätte diese Bemerkung des Fragestellers also eigentlich benörgeln sollen. Sein Ergebnis aber simmt, denn es ist
[mm]\lim_{n\rightarrow \infty} 3^n2^{-2n}=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(\frac{3}{4}\right)^n=0[/mm]
Allgemein ist ja [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty} x^n=0$, [/mm] falls, wie hier, $|x|<1$ ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:26 So 20.01.2008 | | Autor: | patsch |
Hallo!
zu a)
Ist der Grenzwert von [mm] \{b_n\} [/mm] dann [mm] \bruch{2}{6}, [/mm] da 2 = 6 - 4 * 1= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(4a_n [/mm] + [mm] 2b_n) [/mm] - [mm] 4*\limes_{n\rightarrow\infty} (a_n [/mm] - [mm] b_n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (4a_n [/mm] + [mm] 2b_n [/mm] - [mm] 4*(a_n [/mm] - [mm] b_n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 4a_n [/mm] + [mm] 2b_n [/mm] - [mm] 4a_n [/mm] + [mm] 4b_n [/mm] = 6 [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_n
[/mm]
mfg patsch
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> Hallo!
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> zu a)
> Ist der Grenzwert von [mm]\{b_n\}[/mm] dann [mm]\bruch{2}{6},[/mm] da 2 = 6
> - 4 * 1= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}(4a_n[/mm] + [mm]2b_n)[/mm] -
> [mm]4*\limes_{n\rightarrow\infty} (a_n[/mm] - [mm]b_n)[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (4a_n[/mm] + [mm]2b_n[/mm] - [mm]4*(a_n[/mm] - [mm]b_n)[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} 4a_n[/mm] + [mm]2b_n[/mm] - [mm]4a_n[/mm] + [mm]4b_n[/mm] = 6
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b_n[/mm]
Ich denke, dies ist richtig (man kann natürlich noch kürzen). Man könnte auch mit $a:= [mm] \lim_{n\rightarrow \infty}a_n$ [/mm] und $b := [mm] \lim_{n\rightarrow \infty} b_n$ [/mm] das Gleichungssytem $4a+2b=6$ und $a-b=1$ aufstellen und lösen: nur wäre bei diesem Vorgehen nicht auch die Existenz dieser Limites [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}a_n$ [/mm] und [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}b_n$ [/mm] gezeigt, sondern vielmehr vorausgesetzt.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:52 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
wie genau kommt man auf dieses Ergebnis?
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> wie genau kommt man auf dieses Ergebnis?
Hallo,
auf die Grenzwerte für [mm] a_n [/mm] und [mm] b_n?
[/mm]
Für [mm] a_n [/mm] hat es somebody doch hier und für [mm] b_n [/mm] Patschda vorgerechnet.
Oder was meinst Du?
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 19:39 Fr 21.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
hallo,
ja das habe ich mir schon durchgelesen, nur ist mir nicht klar was er da gemacht hat.
LG Toni
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> ja das habe ich mir schon durchgelesen, nur ist mir nicht
> klar was er da gemacht hat.
Hallo,
bitte stell Deine Frage etwas konkreter. Es wäre ja sinnlos, alles nochmal aufzuschreiben.
Was genau verstehst Du nicht?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Sa 22.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
hallo,
[mm]8=6+2\cdot 1=\lim_{n\rightarrow \infty}(4a_n+2b_n)+2\cdot\lim_{n\rightarrow \infty}(a_n-b_n)=\lim_{n\rightarrow \infty}(4a_n+2b_n+2(a_n-b_n))=\lim_{n\rightarrow \infty}(6a_n)=6\lim_{n\rightarrow \infty}a_n[/mm]
Also ist die Folge [mm] $\{a_n\}$ [/mm] konvergent und ihr Limes ist [mm] $\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\frac{8}{6}$.
[/mm]
Diesen ganzen schritt verstehe ich nicht. Oben hat er geschrieben man kann jede konvergente Folge mit einem beliebigem Vielfachen multiplizieren und man erhält wieder eine konvergente Folge. das hat er ja am beispiel [mm] \lim_{n\rightarrow \infty}(6a_n) [/mm] = [mm] 6\lim_{n\rightarrow \infty}(a_n) [/mm] verdeutlicht. Das macht für mich sinn. doch dann verstehe ich die ganze rechnung nicht, also welche rechengesetzte er dort angewendet hat. Woher nimmt er die 8? hat er sich die ausgedacht? dann die ganzen schritte danach. da taucht dann die folge drinnen auf. das ganze verstehe ich nicht
LG Toni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Sa 22.03.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich führe die neuen Folgen
[mm] f_n [/mm] = [mm] 4a_n+2b_n [/mm] und
[mm] g_n [/mm] = [mm] a_n-b_n [/mm] ein.
[mm] f_n [/mm] und [mm] g_n [/mm] sind konvergent, die Grenzwerte existieren also. Man kann also die Rechengesetze für den Grenzwert von konvergenten Folgen anwenden.
Außerdem gilt
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n=6 [/mm] und
[mm] 2\limes_{n\rightarrow\infty}g_n=2
[/mm]
Es folgt
[mm] 6+2=\limes_{n\rightarrow\infty}f_n [/mm] + [mm] 2\cdot\limes_{n\rightarrow\infty}g_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(f_n+2\cdot{g_n})=\limes_{n\rightarrow\infty}(4a_n+2b_n+2a_n-2b_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}(6a_n)
[/mm]
Also gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\bruch{4}{3}
[/mm]
Für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}b_n [/mm] verfährt man ähnlich.
mfg ullim
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:05 Sa 22.03.2008 | | Autor: | Toni908 |
Achso ist das, hab das gar nicht gesehen, das beide folgen in die rechnung mit einbezogen wurden. dann machts für mich sinn. ich muss dann versuchen an oder bn zu isolieren indem ich die folgen mit einem beliebigem vielfachen multipliziere.
dann für bn
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f_n=6 [/mm] und
[mm] -4\limes_{n\rightarrow\infty}g_n=-4
[/mm]
[mm] 6-4=\limes_{n\rightarrow\infty}f_n -4\cdot\limes_{n\rightarrow\infty}g_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(f_n-4\cdot{g_n})=\limes_{n\rightarrow\infty}(4a_n+2b_n-4a_n+4b_n)=\limes_{n\rightarrow\infty}(6b_n)
[/mm]
der grenzwert 2/6
das müsste dann auch das sein was patsch ausgerechnet hat.
Vielen Dank für deine Hilfe
Gruß Toni
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