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Grenzwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:26 So 10.05.2015
Autor: fuoor

Aufgabe
Zeigen Sie:

(i) [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta x^{4}}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}=0 [/mm]

sowie

(ii) [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta x^{2} \Delta y^{2}}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}=0 [/mm]

Hallo!

Meine Idee wäre es, hier mit einer Abschätzung zu arbeiten. Ich bin nur im Moment verwirrt und mir ist nicht so ganz klar ob ich richtig abschätze, weil das irgendwie einen Knoten in meinem Kopf verursacht. Vielleicht ist der Ansatz ja auch schon falsch...

zu (i)

[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta x^{4}}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}\le \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta x^{4}}{\Delta x^{2}} [/mm] = [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \Delta x^{2}=0 [/mm]

und

zu (ii)

Hier habe ich einfach folgendes gemacht:

[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta x^{2} \Delta y^{2}}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}} [/mm] = [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta^{2} x^{2} y^{2}}{\Delta (x^{2}+y^{2})}=\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta x^{2} y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta y^{2}}{\bruch{1}{x^{2}}+y^{2}}=\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta}{\bruch{1}{x^{2}}+\bruch{1}{y^{2}}}=0 [/mm] (Da man ja sieht, dass [mm] \bruch{1}{x^{2}}+\bruch{1}{y^{2}} [/mm] unendlich groß werden, sodass der Grenzwert dann 0 sein muss)

Ist aber irgendwie alles super schwammig...

Vielen Dank für Kommentare, welcher Natur auch immer ;)

        
Bezug
Grenzwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:51 So 10.05.2015
Autor: abakus


> Zeigen Sie:

>

> (i) [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta x^{4}}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}=0[/mm]

>

> sowie

>

> (ii) [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta x^{2} \Delta y^{2}}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}=0[/mm]

>

> Hallo!

>

> Meine Idee wäre es, hier mit einer Abschätzung zu
> arbeiten. Ich bin nur im Moment verwirrt und mir ist nicht
> so ganz klar ob ich richtig abschätze, weil das irgendwie
> einen Knoten in meinem Kopf verursacht. Vielleicht ist der
> Ansatz ja auch schon falsch...

>

> zu (i)

>

> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta x^{4}}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}\le \limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta x^{4}}{\Delta x^{2}}[/mm]
> = [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)} \Delta x^{2}=0[/mm]

>

> und

>

> zu (ii)

>

> Hier habe ich einfach folgendes gemacht:

>

> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta x^{2} \Delta y^{2}}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}[/mm]
> = [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta^{2} x^{2} y^{2}}{\Delta (x^{2}+y^{2})}=\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta x^{2} y^{2}}{x^{2}+y^{2}}=\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta y^{2}}{\bruch{1}{x^{2}}+y^{2}}=\limes_{(x,y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta}{\bruch{1}{x^{2}}+\bruch{1}{y^{2}}}=0[/mm]
> (Da man ja sieht, dass [mm]\bruch{1}{x^{2}}+\bruch{1}{y^{2}}[/mm]
> unendlich groß werden, sodass der Grenzwert dann 0 sein
> muss)

>

> Ist aber irgendwie alles super schwammig...

>

> Vielen Dank für Kommentare, welcher Natur auch immer ;)

Hallo,
mir ist nicht ganz klar, welche Bedeutung dieses Delta-Symbol haben soll (vor allem, nachdem es irgendwann mal mutterseelenallein im Zähler steht).
Deshalb nur ein vager Tipp: Denke mal daran, mit Polarkoordinaten zu arbeiten.
Gruß Abakus

Bezug
                
Bezug
Grenzwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:25 So 10.05.2015
Autor: fuoor

Ja sry, das hätte ich vielleicht noch genauer beschreiben sollen. Es geht im Moment um Differentiation. Die gesuchten Grenzwerte sollen quasi, wenn ich das richtig verstanden habe, den "Fehler" der Differentiation im [mm] R^{n} [/mm] darstellen.

Deinen Hinweis bezüglich der Polarkoordinaten kann ich leider nicht so ganz nachvollziehen. Ich wusste gerade nicht wie ich alles in Polarkoordinaten umwandeln soll.

Bezug
                        
Bezug
Grenzwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:32 Mo 11.05.2015
Autor: fred97


> Ja sry, das hätte ich vielleicht noch genauer beschreiben
> sollen. Es geht im Moment um Differentiation. Die gesuchten
> Grenzwerte sollen quasi,


  ... quasi ? ...


> wenn ich das richtig verstanden
> habe, den "Fehler" der Differentiation im [mm]R^{n}[/mm] darstellen.

Damit kann man kaum etwas anfangen. Kann es sein, dass folgendes gemeint ist:

   $ [mm] \limes_{(\Delta x,\Delta y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta x^{4}}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}=0 [/mm] $

?

FRED

>
> Deinen Hinweis bezüglich der Polarkoordinaten kann ich
> leider nicht so ganz nachvollziehen. Ich wusste gerade
> nicht wie ich alles in Polarkoordinaten umwandeln soll.  


Bezug
                                
Bezug
Grenzwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:05 Mo 11.05.2015
Autor: fuoor


> > Ja sry, das hätte ich vielleicht noch genauer beschreiben
> > sollen. Es geht im Moment um Differentiation. Die gesuchten
> > Grenzwerte sollen quasi,
>
>
> ... quasi ? ...
>  
>
> > wenn ich das richtig verstanden
> > habe, den "Fehler" der Differentiation im [mm]R^{n}[/mm] darstellen.
>
> Damit kann man kaum etwas anfangen. Kann es sein, dass
> folgendes gemeint ist:
>  
> [mm]\limes_{(\Delta x,\Delta y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta x^{4}}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}=0[/mm]
>  
> ?
>  
> FRED
>  >

Ja, das ist gemeint. Das ist ja auch die grundsätzliche Fragestellung die ich am Anfang hatte und zu der ich eine Lösungstheorie aufgestellt hatte. Das "quasi" ist ein unnötiges Wort...das darf man sich wegdenken. Das beschreibt offensichtlich meine Unsicherheit.

Wahrscheinlich verstehe ich jetzt aber wieder deine Aussage nicht. Ich habe leider oft Schwierigkeiten deinen Aussagen zu folgen, ich bemühe mich aber. Ich muss die Frage trotzdem stellen: Was bedeutet das jetzt?

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:18 Mo 11.05.2015
Autor: fred97


> > > Ja sry, das hätte ich vielleicht noch genauer beschreiben
> > > sollen. Es geht im Moment um Differentiation. Die gesuchten
> > > Grenzwerte sollen quasi,
> >
> >
> > ... quasi ? ...
>  >  
> >
> > > wenn ich das richtig verstanden
> > > habe, den "Fehler" der Differentiation im [mm]R^{n}[/mm] darstellen.
> >
> > Damit kann man kaum etwas anfangen. Kann es sein, dass
> > folgendes gemeint ist:
>  >  
> > [mm]\limes_{(\Delta x,\Delta y)\rightarrow(0,0)}\bruch{\Delta x^{4}}{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}=0[/mm]
>  
> >  

> > ?
>  >  
> > FRED
>  >  >

> Ja, das ist gemeint.


Dann geht es also bei

i) um [mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \bruch{x^4}{x^2+y^2} [/mm]

und

bei

ii) um [mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \bruch{x^2y^2}{x^2+y^2}. [/mm]






> Das ist ja auch die grundsätzliche
> Fragestellung die ich am Anfang hatte und zu der ich eine
> Lösungstheorie aufgestellt hatte. Das "quasi" ist ein
> unnötiges Wort...das darf man sich wegdenken. Das
> beschreibt offensichtlich meine Unsicherheit.
>  
> Wahrscheinlich verstehe ich jetzt aber wieder deine Aussage
> nicht.


Welche ?


>  Ich habe leider oft Schwierigkeiten deinen Aussagen
> zu folgen, ich bemühe mich aber. Ich muss die Frage
> trotzdem stellen: Was bedeutet das jetzt?

Was ?


zu i) Rechne nach: 0 [mm] \le \bruch{x^4}{x^2+y^2} \le x^2 [/mm] für alle (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0). Dann folgt

    [mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \bruch{x^4}{x^2+y^2}=0. [/mm]

zu ii) Rechne nach: 0 [mm] \le \bruch{x^4}{x^2+y^2} \le x^2+y^2 [/mm] für alle (x,y) [mm] \ne [/mm] (0,0). Dann folgt

    [mm] \limes_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \bruch{x^2y^2}{x^2+y^2}=0. [/mm]

FRED





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