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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:12 Do 10.01.2008 | | Autor: | belf |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{n\rightarrow+\infty} (1+1/n)^n [/mm] |
Hallo zusammen
Ich habe versucht, es mit der de l'Hospital Methode zu lösen aber ich bin damit nicht weitergekommen. Die H Methode scheint auch unwahrscheinlich. Ich habe die Funktion gezeichnet und man kann sehen, dass sie sich an "e" nähert, wenn x grösser wird, was mich weiter verwirrt. Wie soll ich es lösen ? Jede Hilfe wird geschätzt. Vielen Dank !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:31 Do 10.01.2008 | | Autor: | belf |
Mit x habe ich n gemeint, sorry !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Do 10.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
das ist die "Standardfolge" für $e$. Ich kann Dir eine Anleitung geben, wie man deren Konvergenz normalerweise beweist:
Man zeigt, dass mit den Folgen $( [mm] a_n )_{n \in \IN} :\equiv \left( \left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right)_{n \in \IN}$ [/mm] und $( [mm] b_n )_{n \in \IN} :\equiv \left( \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n+1}\right)_{n \in \IN}$ [/mm] folgendes gilt:
$( [mm] a_n )_{n \in \IN}$ [/mm] ist monoton wachsend. Die Folge $( [mm] b_n )_{n \in \IN}$ [/mm] ist monoton fallend.
(Das zeigt man z.B. mit einer Rechnung, die zeigt, dass [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n} \ge [/mm] 1$ für alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] und analoges für $( [mm] b_n )_n$.)
[/mm]
Nun gilt [mm] $a_n \le b_n$ [/mm] für alle n, also auch [mm] $a_n \le b_1=4$ [/mm] für alle n. Also ist $( [mm] a_n )_n$ [/mm] monoton wachsend und nach oben beschränkt (analoges gilt wieder für $( [mm] b_n )_n$, [/mm] die ist monoton fallend und durch [mm] $a_1=2$ [/mm] nach unten beschränkt).
Demnach ist $( [mm] a_n )_n$ [/mm] konvergent. Je nachdem, wie ihr die Zahl $e$ eingeführt habt (an der Uni macht man das oft z.B. mit der Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}$, [/mm] aber das kennst Du sicher noch nicht?) - und um überhaupt davon sprechen zu können, dass man zeigen kann, dass die Folge $( [mm] a_n )_n$ [/mm] gegen $e$ strebt, müßtest Du uns das mitteilen - kann man nun zeigen, dass in der Tat [mm] $a_n \to [/mm] e$. Oft wird aber einfach [mm] $e:=\lim_{n \to \infty} a_n=\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ [/mm] gesetzt, und die Begründung der Existenz des Grenzwertes rechterhand habe ich ja oben angedeutet.
P.S.:
Wenn Du L'Hospital anwenden wolltest, müsstest Du übrigens eigentlich erst mal mit der Funktion $x [mm] \mapsto \left(1+\frac{1}{x}\right)^x$ [/mm] $(x > 0)$ argumentieren und diese zudem in eine geeignete Form bringen (schau Dir mal an, wie der Satz von L'Hospital formuliert ist, also welche Voraussetzungen man hat):
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_L%E2%80%99Hospital
Also generell kann man schon öfters mit diesem Satz - indem man ihn zunächst auf eine Funktion anwendet - dann auch auf eine spezielle Folge zurückschließen, aber man sollte nichts anwenden, ohne zu prüfen, ob die Voraussetzungen gegeben sind.
Also wenn Du hier irgendwie mit L'Hospital argumentiert hast, müßtest Du mal genauer erläutern, wie Du hier vorgegangen bist, damit wir sehen, ob das überhaupt korrekt ist.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:33 Do 10.01.2008 | | Autor: | crashby |
Hey Leute,
mit der h-Methode geht es auch.
Beweis:
Es gilt ja [mm]ln(x)'=\frac{1}{x}[/mm] Für [mm]x_0=1[/mm] heißt das speziell:
[mm]1=\limes_{h\rightarrow 0} \frac{ln(1+h)-ln(1)}{h}=\limes_{h\rightarrow 0} \frac{1}{h} ln(1+h)=\limes_{h\rightarrow 0} ln\left ((1+h)^\frac{1}{h}\right )[/mm]
Es gilt also:
[mm]e=\limes_{h\rightarrow 0} e^{ln\left ((1+h)^\frac{1}{h}\right )}[/mm]
[mm]=\limes_{h\rightarrow 0} \left ((1+h)^\frac{1}{h}\right )[/mm]
Speziell ergibt [mm]h=\frac{1}{n}[/mm], dann [mm]e=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\frac{1}{n})^n[/mm]
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:10 Do 10.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo crashby,
sobald Du den [mm] $\ln(.)$ [/mm] ins Spiel bringst, bringst Du auch $e$ ins Spiel, denn $x [mm] \mapsto \ln(x)$ [/mm] ($x > 0$) ist die Umkehrfunktion von $x [mm] \mapsto e^x$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$). [/mm]
(Wobei ich sagen muss:
Ich kenne sogar eine alternative Definition des [mm] $\ln(.)$, [/mm] wo man dann später mit entsprechenden Hilfssätzen sogar ohne $e$ als den Grenzwert der obigen Folge $( [mm] a_n )_n$ [/mm] zu definieren - d.h. $e$ wird auf eine andere Weise definiert - das ganze wohl so, wie Du getan hast, zeigen könnte.)
Und da stehen wir wieder an der Stelle:
Wie wurde hier $e$ eingeführt?
Denn ansonsten zeigst Du nur in einem gewissen Sinne eine Widerspruchsfreiheit 
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Do 10.01.2008 | | Autor: | belf |
Hallo Marcel
Vielen Dank für die Antwort aber ich verstehe es noch nicht. Betrachten wir dann die Funktion [mm] (1+1/x)^x [/mm] , wobei x nach + [mm] \infty [/mm] geht. Ich habe es mir so überlegt :
wenn x nach + [mm] \infty [/mm] geht, dann sollte 1/x nach 0 streben, weil 1 dividiert durch eine grosse Zahl gegen 0 strebt. Also ist [mm] (1+0)^x [/mm] übrig. [mm] 1^{\infty} [/mm] sollte gleich 1 sein. Aber diese Lösung ist natürlich falsch. Nun, ich verstehe nicht, was ich falsch mache und wie ich an dieses Problem herangehen muss. Meine Frage ist, wie genau ich zum Ergebnis "e" komme, wenn ich nicht weiss, dass es seine "Standardfolge" ist.
Vielen Danke für die Hilfe !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:38 Do 10.01.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
du machst folgendes. Du ziehst einfach den Limes erst in die Klammer, und sagst, dass 1+1/n->1, und betrachtest dann den Grenzübergang für [mm] 1^n. [/mm] Das darfst du so aber nicht machen, da dein n als Exponent genauso mitwächst wie das n in der Klammer. Da ist es verboten, den Limes erst in der Klammer zu berechnen und dann außen anzuwenden.
LG
Kroni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Do 10.01.2008 | | Autor: | belf |
Hallo Kroni
Ok, aber wie komme ich denn zum Resultat e ?
Liebe Grüsse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:35 Do 10.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was ist denn die Aufgabe?
a)zu zeigen, dass die Folge konvergiert? oder
b) den GW zu zeigen?
da der GW eine reelle Zahl ist, kann man das nicht, da man e ja z.Bsp grade so definieren kann.
Wenn du ne andere Def. von e hast kannst du versuchen, zu zeigen, dass es dieselbe Zahl ist!
Aber dafür müsste man wissen, ob und wie ihr e deefiniert habt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Do 10.01.2008 | | Autor: | belf |
Hallo Leduart
Ich sage dir genau, was ich vor mir habe:
Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte :
d) lim [mm] (1+1/n)^n
[/mm]
[mm] n->+\infty
[/mm]
Keine Definition von e oder sonstige. Nur dieser und andere Grenzwerte, die man mit H-Methode, de l'Hospital, und "ausklammern" lösen sollte. Alle anderen konnte ich lösen, nur diesen aber nicht.
Gruss
Belf
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:23 Do 10.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
damit wir uns nicht im Kreise drehen:
Du musst uns angeben, wie ihr $e$ (oder die Exponentialfunktion) definiert habt, ansonsten wird das Problem auftauchen, dass man gar nichts in der Hand habt, um zu zeigen, dass die Folge gegen $e$ strebt.
Gruß,
Marcel
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