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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:27 Di 18.01.2005 | | Autor: | droste |
Nabend allerseits,
hab da mal wieder zwei Aufgaben die ich nicht hinbekomme. Vielleicht kann mir ja wer dabei helfen.
1) [mm] \limes_{x\rightarrow\ \bruch{\pi}{2}} (x-\bruch{\pi}{2})tan(x)
[/mm]
Hab da schon einiges rumgerechnet, aber bekomm irgendwie nichts raus. Wenn ich [mm] tan=\bruch{sin}{cos} [/mm] setze und die Klammer einfach ausmultipliziere kommt z.B. genau so Null raus, wie wenn ich direkt in die Aufgabe einsetze. Aber laut Grenzwerttabelle müsste da -1 rauskommen.
Hat da wer eine Idee?
2) [mm] \limes_{x\rightarrow\ \0} \bruch{1}{x}-\bruch{1}{ln(1+x)} [/mm] (Limes geht gegen null, schreibt der irgendwie nicht hin)
Da komm ich auch einfach nicht weiter. Weder mit L'Hospital, noch wenn ich für ln(1+x) einfach [mm] \bruch{1}{1+x} [/mm] schreibe. Es bleibt irgendwie immer ein x im Nenner stehen, so dass da nichts gescheites rauskommt. Und da sollte eigentlich [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] rauskommen.
Vielen Dank für eure Hilfe!
droste
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:16 Di 18.01.2005 | | Autor: | taura |
> Nabend allerseits,
> hab da mal wieder zwei Aufgaben die ich nicht hinbekomme.
> Vielleicht kann mir ja wer dabei helfen.
>
> 1) [mm]\limes_{x\rightarrow\ \bruch{\pi}{2}} (x-\bruch{\pi}{2})tan(x)
[/mm]
>
>
> Hab da schon einiges rumgerechnet, aber bekomm irgendwie
> nichts raus. Wenn ich [mm]tan=\bruch{sin}{cos}[/mm] setze und die
> Klammer einfach ausmultipliziere kommt z.B. genau so Null
> raus, wie wenn ich direkt in die Aufgabe einsetze. Aber
> laut Grenzwerttabelle müsste da -1 rauskommen.
> Hat da wer eine Idee?
>
Also, [mm](x-\bruch{\pi}{2})[/mm] geht ja für [mm]x \to \bruch{\pi}{2}[/mm] gegen 0, [mm]tan(x)[/mm] gegen [mm]\infty[/mm], also kannst du auch durch den kehrbruch von [mm](x-\bruch{\pi}{2})[/mm]teilen, der geht dann auch gegen [mm]\infty[/mm], und dann kannst du ja L'Hospital anweden. Hoffe das hilft dir weiter!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:47 Mi 19.01.2005 | | Autor: | leduart |
> Nabend allerseits,
> hab da mal wieder zwei Aufgaben die ich nicht hinbekomme.
> Vielleicht kann mir ja wer dabei helfen.
>
> 1) [mm]\limes_{x\rightarrow\ \bruch{\pi}{2}} (x-\bruch{\pi}{2})tan(x)
[/mm]
>
>
> Hab da schon einiges rumgerechnet, aber bekomm irgendwie
> nichts raus. Wenn ich [mm]tan=\bruch{sin}{cos}[/mm] setze und die
> Klammer einfach ausmultipliziere kommt z.B. genau so Null
> raus, wie wenn ich direkt in die Aufgabe einsetze. Aber
> laut Grenzwerttabelle müsste da -1 rauskommen.
> Hat da wer eine Idee?
Ja, sin/cos war die richtige Idee jetzt brauchst du nur noch L'Hospital
> 2) [mm]\limes_{x\rightarrow\ \0} \bruch{1}{x}-\bruch{1}{ln(1+x)}[/mm]
> (Limes geht gegen null, schreibt der irgendwie nicht hin)
>
> Da komm ich auch einfach nicht weiter. Weder mit
> L'Hospital, noch wenn ich für ln(1+x) einfach
> [mm]\bruch{1}{1+x}[/mm] schreibe. Es bleibt irgendwie immer ein x im
> Nenner stehen, so dass da nichts gescheites rauskommt. Und
> da sollte eigentlich [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] rauskommen.
ln(1+x) =x-1/2 [mm] x^{2}+1/3 x^{3}+ [/mm] höhere Potenzen
darfst du das es ist das Taylorpolynom bei x=0
Wenn du bis [mm] x^{2} [/mm] gehst, auf hauptnenner bringst und kürzest hast du das Ergebnis
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:20 Mi 19.01.2005 | | Autor: | droste |
Vielen Dank für eure Hilfe.
Aber ich komm trotzdem nicht weiter :(
Wenn ich bei der Aufgabe [mm] \limes_{x\rightarrow\ \bruch{\pi}{2}} (x-\bruch{\pi}{2})tan(x) [/mm] durch den Kehrwert teile, steht da ja [mm] \limes_{x\rightarrow\ \bruch{\pi}{2}}\bruch{tan(x)}{\bruch{1}{x-\bruch{\pi}{2}}} [/mm] , oder?
Kann ich da dann überhaupt L'Hospital anwenden? Weil tan(x) für [mm] x\to\bruch{\pi}{2} [/mm] geht weder gegen 0, noch gegen [mm] \infty [/mm] , oder seh ich das falsch? Und wenn ich L'Hospital anwenden kann, steht im Nenner [mm] {\bruch{1}{(x-\bruch{\pi}{2})^{2}}}, [/mm] womit das auch wieder 0 wäre?!
Und das was leduart geschrieben hat mit dem Taylorpolynom bis [mm] x^{2} [/mm] versteh ich leider gar nicht :(
Kann da vielleicht noch mal wer weiterhelfen?
mfg, droste
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Hallo.
> Wenn ich bei der Aufgabe [mm]\limes_{x\rightarrow\ \bruch{\pi}{2}} (x-\bruch{\pi}{2})tan(x)[/mm]
> durch den Kehrwert teile, steht da ja [mm]\limes_{x\rightarrow\ \bruch{\pi}{2}}\bruch{tan(x)}{\bruch{1}{x-\bruch{\pi}{2}}}[/mm]
> , oder?
> Kann ich da dann überhaupt L'Hospital anwenden?
Ja, Du kannst. Denn für [mm]x \to \pi/2[/mm] geht sowohl tan x als auch [mm][mm] \bruch{1} [/mm] {x- [mm] \bruch{\pi}{2}}[/mm] [mm] gegen [mm]\infty[/mm], also hättest Du da ja den Fall "[mm]\bruch{\infty} {\infty}[/mm].
Wenn Du jetzt nach de 'Hôspital die Ableitungen einsetzt, erhältst Du:
[mm]-\bruch{(x-\pi/2)^2} {cos^2{x}}[/mm], das ist wiederum der Fall "0/0", welhalb Du de l'Hôspital nochmal anwenden kannst.
Dann wiederum erhältst Du:
[mm]\bruch{pi-2x} {-2sin{x}cos{x}}[/mm].
Wiederum "0/0". So. Noch ein Schritt, und dann haben wir was Harmloses dastehen: bei nochmaligem Ableiten (von Zähler und Nenner separat) ergibt sich nämlich:
[mm]\bruch{-2} {2-4cos^2{x}}[/mm], und der Grenzwert davon für [mm]x \to \pi/2[/mm] ist -1.
Du soltest dir am Besten die ganzen Schritte nochmal selbst durchgehen.
Gruß,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Mi 19.01.2005 | | Autor: | droste |
vielen Danke!
aber warum kann man da immer wieder L'Hospital anwenden? Wenn z.B. [mm] cos^{2}x [/mm] im nenner steht, geht das für [mm] x\to\bruch{\pi}{2} [/mm] doch nicht gegen 0?!
Obwohl ja schon das richtige rauskommt... hm
Und hat noch wer eine Idee wie ich an die erste rangehen könnte?
mfg, droste
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> Wenn z.B. [mm]cos^{2}x[/mm] im nenner steht, geht das für
> [mm]x\to\bruch{\pi}{2}[/mm] doch nicht gegen 0?!
Doch, tut es. Bemüh mal deinen Taschenrechner, und denk dran, dass [mm]cos^2(x)=(cos(x))^2[/mm] ist.
Ach ja, der TR muss im RAD-Modus sein, [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] ist nämlich ein Winkel im Bogenmaß.
Wenn du Winkel im Gradmaß lieber magst, dann musst du erst umrechnen: [mm]\bruch{\pi}{2} \hat= 90°[/mm], und im DEG-Modus wird dein TR dasselbe sagen: [mm]cos(90°)=0[/mm].
Jetzt muss ich gestehen, hab ich noch ein kleines Problem mit der Aufgabe: im Ausdruck [mm]\limes_{x\rightarrow\ \bruch{\pi}{2}}\bruch{tan(x)}{\bruch{1}{x-\bruch{\pi}{2}}}[/mm] muss, damit der Zähler [mm]\to \infty[/mm] geht, das x von links gegen [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] gehen... und wenn das so ist, dann würde der Nennerterm [mm]\bruch{1}{x-\bruch{\pi}{2}}[/mm] [mm]\to -\infty[/mm] gehen, richtig?
Lässt sich der l'Hôpital überhaupt auf Brüche [mm]\bruch{\infty}{-\infty}[/mm] anwenden? Oder (was ich eher glaube): muss man in den Nenner einen Faktor (-1) mit reinfummeln, und den dann auch vor den Limes setzen (ich weiß, in Fachkreisen nennt man das auch "erweitern"  )? Ändert sich das Resultat dann nicht genau um den Faktor (-1)?
Ich geb's zu, ich hab den Anfang dieser Diskussion nur durchgelesen, nicht durchgerechnet...
> Obwohl ja schon das richtige rauskommt... hm
> Und hat noch wer eine Idee wie ich an die erste rangehen
> könnte?
Da ist mir jetzt auf Anhieb nichts vernünftiges eingefallen...
Zu deinem Lösungsvorschlag: du kannst [mm]ln(1+x)[/mm] nicht einfach umschreiben als [mm]\bruch{1}{1+x}[/mm], weil das nicht dasselbe ist. Was du wahrscheinlich meintest: die Ableitung von [mm]ln(1+x)[/mm] ist [mm]\bruch{1}{1+x}[/mm].
Mein Versuch war: ich hab beides auf einen Nenner gebracht, und dann l'Hôpital angewendet. Gar aber keinen wirklich schönen Term, und dieser lief auch wieder auf [mm]\bruch{0}{0}[/mm] hinaus. Vielleicht muss man den l'Hôpital auch mehrmals hintereinander ausführen...
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Hallo, miteinander,
es reicht auch eine einzige L'Hospitalanwendung wenn man berücksichtigt daß [mm] $(\tan [/mm] x)' = 1 + [mm] \tan [/mm] ^2 x$
und andersherum umformt $(x - [mm] \pi [/mm] / [mm] 2)*\tan [/mm] x = [mm] \frac{x - \pi / 2}{1 / \tan x}$
[/mm]
L'Hosp.
[mm] $\frac{1}{-(1 + \tan ^2 x) / \tan ^2 x} [/mm] = [mm] \frac{-1}{1 + 1 / \tan ^2 x} [/mm] $ für $x [mm] \rightarrow \pi [/mm] / 2 $ also -1
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