Grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:11 So 27.04.2008 | | Autor: | Dan86 |
| Aufgabe | Zeigen Sie nach der Definition des Grenzwertes:
1.) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n + 7}{n² + 2n + 3} [/mm] = 0
2.) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n² + 2n}{n + 3} [/mm] = [mm] \infty [/mm] |
Hallo Leute,
Ich habe jetzt als neues Thema Analysis 1 und bin mir mit den ganzen Definitionen und Beweisen total unsicher. Wenn da mal jemand drüber schauen könnte wäre das echt toll.
Zu 1. habe ich nun folgendes überlegt:
[mm] |\bruch{n + 7}{n² + 2n + 3} [/mm] - 0| = [mm] |\bruch{n + 7}{n² + 2n + 3}|
[/mm]
= [mm] |\bruch{n (1 + 7/n)}{n (n + 2 + 3/n)}| [/mm] = [mm] |\bruch{1 + 7/n}{n + 2 + 3/n}|
[/mm]
Nun ist für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 7/n = 0 und 3/n = 0
=> [mm] |\bruch{1 + 0}{n + 2 + 0}|
[/mm]
Für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n + 2 = n
=> [mm] |\bruch{1}{n}| [/mm] = 1/n
Es gilt für jedes [mm] \varepsilon [/mm] > 0:
[mm] |\bruch{n + 7}{n² + 2n + 3} [/mm] - 0| < [mm] \varepsilon [/mm] falls n [mm] \ge \bruch{1}{\varepsilon}.
[/mm]
Zu 2. habe ich folgendes überlegt
[mm] |\bruch{n² + 2n}{n + 3} [/mm] - [mm] \infty| [/mm] = [mm] |\bruch{n (n + 2)}{n (1 + 3/n)} [/mm] - [mm] \infty|
[/mm]
= [mm] |\bruch{n + 2}{1 + 3/n} [/mm] - [mm] \infty|
[/mm]
Für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 3/n = 0 und n + 2 = n
=> |n - [mm] \infty|
[/mm]
Für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n = [mm] \infty
[/mm]
=> [mm] |\infty [/mm] - [mm] \infty|
[/mm]
Ich weiß jetzt gar nicht ob man diese Schritte machen darf und wenn ja wie man weiterrechnen könnte.
Grüße
Daniel
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:55 So 27.04.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
das
> Zeigen Sie nach der Definition des Grenzwertes:
irritiert ein wenig.
> 1.) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n + 7}{n² + 2n + 3}= [/mm] 0
Ein Vorschlag:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n + 7}{n² + 2n + 3}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{n}{n}*\bruch{1 + \bruch{7}{n}}{n + 2 + \bruch{3}{n}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1 + \bruch{7}{n}}{n + 2 + \bruch{3}{n}}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n+2}, [/mm] da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{7}{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3}{n}\to{0}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n+2}\to{0}
[/mm]
So ähnlich kannst du bei 2. auch vorgehen.
MfG barsch
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 So 27.04.2008 | | Autor: | Dan86 |
Hallo,
Danke erstmal für die Antwort. Bei dieser Frage geht es mir ja nicht darum den Grenzwert zu berechnen. Der steht als Lösung schon da.
Viel mehr muss ich für N = N [mm] (\varepsilon) [/mm] etwa finden, so dass diese Bedingung gilt.
Bei der ersten aufgabe hab ich da halt N [mm] \ge \bruch{1}{\varepsilon} [/mm] ausgerechnet.
Bei der zweiten fehlt mir ein bischen der Ansatz wie man mit unendlich das ausrechnen kann...
Grüße
Daniel
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> Hallo,
> Danke erstmal für die Antwort. Bei dieser Frage geht es
> mir ja nicht darum den Grenzwert zu berechnen. Der steht
> als Lösung schon da.
>
> Viel mehr muss ich für N = N [mm](\varepsilon)[/mm] etwa finden, so
> dass diese Bedingung gilt.
> Bei der ersten aufgabe hab ich da halt N [mm]\ge \bruch{1}{\varepsilon}[/mm]
> ausgerechnet.
>
> Bei der zweiten fehlt mir ein bischen der Ansatz wie man
> mit unendlich das ausrechnen kann...
>
> Grüße
>
> Daniel
Hallo Daniel,
also nur zur zweiten Teilaufgabe:
Zuerst einmal: Ausdrücke wie etwa $ [mm] |\bruch{n² + 2n}{n + 3}- \infty| [/mm] $
sind natürlich zwecklos, da man mit [mm] \infty [/mm] nicht wirklich rechnen kann.
Hier muss man zeigen, dass für jede (noch so grosse) Zahl K > 0 [mm] \bruch{n² + 2n}{n + 3} > K [/mm] ist für alle genügend grossen n.
Betrachte also diese Ungleichung [mm] \bruch{n² + 2n}{n + 3} > K[/mm]
Nun musst du eine Zahl N festlegen, für welche garantiert [mm] \bruch{n² + 2n}{n + 3} > K[/mm] ist, wenn immer n>N ist. Dieses N wird natürlich von K abhängig sein, also N = N(k). Bei der Suche einer solchen Schranke N(k) darf man allenfalls und auch mehrmals grosszügig aufrunden, da es nur wichtig ist, überhaupt ein endliches N(k) zu finden.
Gruß al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 So 27.04.2008 | | Autor: | Dan86 |
Vielen Dank für den Tipp, aber ich weiß so trotzdem absolut nicht, was ich machen soll. Wir haben bisher als Beispiel leider nur gehabt, dass man den Grenzwert einfach in die Rechnung einsetzt.
Könnte ich den sagen für jede beliebige Zahl K > 0 gilt:
[mm] |\bruch{n² + 2n}{n + 3} [/mm] - K | < [mm] \varepsilon.
[/mm]
= [mm] |\bruch{n + 2}{1 + 3/n} [/mm] - K |
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 3/n = 0
= [mm] |\bruch{n + 2}{1} [/mm] - K |
= |{n + 2} - K |
Weiß jetzt nicht genau, ob es mir etwas bringt das so umzuformen.
Für lim n + 2 würde ich auf jeden Fall irgendwann eine größere zahl raus bekommen als K und das gilt halt für alle K. Wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte. Ein Beispiel wie solche Aufgabenarten allgemein berechnet werden würde schon helfen, weil ich sowas leider zum ersten Mal sehe.
Grüße
Daniel
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> Vielen Dank für den Tipp, aber ich weiß so trotzdem absolut
> nicht, was ich machen soll. Wir haben bisher als Beispiel
> leider nur gehabt, dass man den Grenzwert einfach in die
> Rechnung einsetzt.
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> Könnte ich den sagen für jede beliebige Zahl K > 0 gilt:
> [mm]|\bruch{n² + 2n}{n + 3}[/mm] - K | < [mm]\varepsilon.[/mm]
Nein, das ist sogar unmöglich. Es geht wirklich nur um die Ungleichung
$ [mm] \bruch{n² + 2n}{n + 3} [/mm] > K $
Jetzt kann man z.B. den Nenner n+3 einmal durch den grösseren Term 2n
ersetzen und sagen: wenn eine Zahl n die Ungleichung
[mm] $\bruch{n² + 2n}{2*n} [/mm] > K$ erfüllt,
so ist erst recht
[mm] $\bruch{n² + 2n}{n + 3}>K [/mm] $
(jedenfalls für alle [mm]n \ge 3[/mm])
Die neue Ungleichung [mm] $\bruch{n² + 2n}{2*n} [/mm] > K $ lautet gekürzt:
[mm] $\bruch{n}{2} [/mm] + 1 > K $
Dies kann man noch umformen zu [mm]\ n + 2 > 2*K [/mm] bzw. [mm]\ n > 2*K - 2 [/mm]
Seien wir noch ein bisschen grosszügiger und verlangen, dass [mm]n \ge 2*K[/mm] sein soll.
Wenn wir also [mm]\ N(K) = 2*K[/mm] setzen, so ist jedenfalls die ursprüngliche Ungleichung
[mm] $\bruch{n² + 2n}{n + 3}>K [/mm] $
für alle n mit n > N(K) sicher erfüllt. (Zur Sicherheit nochmals überprüfen, etwa am Beispiel K = 1'000'000 ! )
Ich habe dies so ausführlich gezeigt, weil du festgehalten hast, man müsse von der Definition des Grenzwerts ausgehen. Wenn die Anwendung gewisser Rechenregeln für Grenzwerte erlaubt wäre, ginge es deutlich einfacher.
Gruß al-Ch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:29 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Dan86 |
Vielen Dank für die Erklärung.
Jetzt weiß ich wie man das bei einem unendlichen Grenzwert zeigen kann. Da wäre ich nie auf die Idee gekommen, dass man das mit der Ungleichung so machen darf, weil wir es uns für den Fall nie angeschaut hatten.
Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:04 So 27.04.2008 | | Autor: | XPatrickX |
sorry.. war quatsch was ich geschrieben hab.
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