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Grenzwerte: Frage zur Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:28 So 14.09.2008
Autor: RuffY

Aufgabe
Berechne die Grenzwerte folgender Funktionen:

[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{x}{\wurzel{x+1}-1} [/mm]

[mm] \limes_{x\rightarrow\0} \bruch{1- 2^\bruch{1}{x}}{1+ 2^\bruch{1}{x}} [/mm]

Hallo,

ich "kämpfe"grad mit oben stehenden Grenzwerten. Beim ersten soll als Ergebnis 2 und beim zweiten für x<0=1 und für x>0=-1 rauskommen.
Ich hab leider nach längerem Überlegen keine Bruchumformung hinbekommen, die mir das ablesen der Grenzwerte ermöglicht...
Könnt ihr helfen?

Grüße aus HH

Sebastian

        
Bezug
Grenzwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:47 So 14.09.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Sebastian,

> Berechne die Grenzwerte folgender Funktionen:
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{x}{\wurzel{x+1}-1}[/mm]
>  
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} \bruch{1- 2^\bruch{1}{x}}{1+ 2^\bruch{1}{x}}[/mm]

Lasse den Backslash vor dem GW weg, dann wird er auch angezeigt ;-)

> Hallo,
>  
> ich "kämpfe"grad mit oben stehenden Grenzwerten. Beim
> ersten soll als Ergebnis 2 und beim zweiten für x<0=1 und
> für x>0=-1 rauskommen.
>  Ich hab leider nach längerem Überlegen keine
> Bruchumformung hinbekommen, die mir das ablesen der
> Grenzwerte ermöglicht...
>  Könnt ihr helfen?


Bei der ersten Kannst du den typischen "Standardtrick" benutzen, um Summen oder Differenzen mit Wurzeln loszuwerden:

So erweitern, dass du die 3. binomische Formel bekommst:

Hier erweitere also mit [mm] $\blue{\sqrt{x+1}+1}$, [/mm] dann siehst du's schon ...

Bei der 2. Aufgabe kannst du mal eine Polynomdivision machen und dann mal den linksseitigen und rechtsseitigen GW, also [mm] $\lim\limits_{x\to 0^{-}}$ [/mm] und [mm] $\lim\limits_{x\to 0^{+}}$ [/mm] betrachten

> Grüße aus HH
>  
> Sebastian  


LG

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Grenzwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 07:56 Mo 15.09.2008
Autor: RuffY

Hallo,
es wäre super nett, wenn du oder jmd. anders mir bitte schritt für schritt das Anwenden der Polynomdivision bei einer solchen Aufgabe erläutern könnte. Hatte das leider nicht in der Schule gehabt und es mir jetzt selbst versucht anzulernen, jedoch sehe ich noch nicht den Zusammenhang...

MfG

Sebastian

Bezug
                        
Bezug
Grenzwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:32 Mo 15.09.2008
Autor: steppenhahn

Zum Üben und erlernen der Polynomdivision gibt es viele verschiedene Internetseiten:

[]Theorie

[]Übungsseite 1

[]Übungsseite 2


Hier allerdings läuft die "Polynomdivision" eigentlich nur auf ein kurzes Ergänzen hinaus, was man auch einfach so tätigen kann. Ziel ist es,  [mm] 2^{\bruch{1}{x}} [/mm] nicht mehr im Zähler zu haben. Dazu versuchst du, den Zähler mit verschiedenen "nahrhaften Nullen" an den Nenner anzugleichen um dann den Bruch in zwei verschiedene aufteilen zu können.

[mm] \bruch{1-2^{\bruch{1}{x}}}{1+2^{\bruch{1}{x}}} [/mm] = [mm] (-1)*\left(\bruch{-1 + 2^{\bruch{1}{x}}}{1+2^{\bruch{1}{x}}}\right) [/mm] = [mm] (-1)*\left(\bruch{1 + 2^{\bruch{1}{x}} - 2}{1+2^{\bruch{1}{x}}}\right) [/mm] = [mm] (-1)*\left(\bruch{1 + 2^{\bruch{1}{x}}}{1+2^{\bruch{1}{x}}} + \bruch{- 2}{1+2^{\bruch{1}{x}}}\right) [/mm] = [mm] (-1)*\left(1 + \bruch{- 2}{1+2^{\bruch{1}{x}}}\right) [/mm]

Und wenn du von diesem Term nun linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert gegen 0 betrachtest, siehst du, dass du zwei verschiedene Ergebnisse erhältst, weil nämlich

[mm]\lim_{x \rightarrow 0+}\left(\bruch{1}{x}\right) = \infty[/mm]

aber

[mm]\lim_{x \rightarrow 0-}\left(\bruch{1}{x}\right) = -\infty[/mm]

(Im Graphen mal ansehen!)
Damit wird aber bei der Grenzwertbildung das [mm] 2^{\bruch{1}{x}} [/mm] einmal [mm] \infty [/mm] (bei x [mm] \rightarrow [/mm] 0+) und einmal 0 (bei x [mm] \rightarrow [/mm] 0-)

Was ist dann los mit dem Grenzwert gegen 0 ?

Stefan.

Bezug
                                
Bezug
Grenzwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:57 Mo 15.09.2008
Autor: RuffY

...für  [mm] \lim_{x \rightarrow 0+} (-1)\cdot{}\left(1 + \bruch{- 2}{1+2^{\bruch{1}{x}}}\right) [/mm] = -1 da der Bruch "sehr sehr klein" wird, also gegen 0 geht.

...für [mm] \lim_{x \rightarrow 0-} (-1)\cdot{}\left(1 + \bruch{- 2}{1+2^{\bruch{1}{x}}}\right) [/mm] = +1 da der Bruch doch gegen -2 geht, in der Summe geht die Klammer gegen -1 und wird mit -1 multipliziert...

korrekt?
Zur Polynomdivision noch mal... ich habe mir diese eine Website mit den Java-Scripten angeschaut und das Prinzip verstanden, jedoch ist es so, dass ich hier doch keine Polynomdivison im eigentl. Sinne mache, oder?

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:56 Mo 15.09.2008
Autor: angela.h.b.


> ...für  [mm]\lim_{x \rightarrow 0+} (-1)\cdot{}\left(1 + \bruch{- 2}{1+2^{\bruch{1}{x}}}\right)[/mm]
> = -1 da der Bruch "sehr sehr klein" wird, also gegen 0
> geht.
>  
> ...für [mm]\lim_{x \rightarrow 0-} (-1)\cdot{}\left(1 + \bruch{- 2}{1+2^{\bruch{1}{x}}}\right)[/mm]
> = +1 da der Bruch doch gegen -2 geht, in der Summe geht die
> Klammer gegen -1 und wird mit -1 multipliziert...
>  
> korrekt?

Hallo,

ich habe dasselbe wie Du ausgerechnet, und das paßt ja auch zum Graphen.

Ich finde es sehr anstrengend, da oben das x gegen 0 gehen zu lassen.

Ich habe mir die Sache wie folgt vereinfacht:

[mm] \lim_{x \rightarrow 0+} (-1)\cdot{}(1 [/mm] + [mm] \bruch{- 2}{1+2^{\bruch{1}{x}}})=\lim_{x \rightarrow \infty} (-1)\cdot{}(1 [/mm] + [mm] \bruch{- 2}{1+2^{x}}) [/mm]

und

[mm] \lim_{x \rightarrow 0-} (-1)\cdot{}(1 [/mm] + [mm] \bruch{- 2}{1+2^{\bruch{1}{x}}})=\lim_{x \rightarrow -\infty} (-1)\cdot{}(1 [/mm] + [mm] \bruch{- 2}{1+2^{x}})=\lim_{x \rightarrow -\infty} (-1)\cdot{}(1 [/mm] + [mm] \bruch{- 2}{1+(\bruch{1}{2})^{x}}). [/mm]



>  Zur Polynomdivision noch mal... ich habe mir diese eine
> Website mit den Java-Scripten angeschaut und das Prinzip
> verstanden, jedoch ist es so, dass ich hier doch keine
> Polynomdivison im eigentl. Sinne mache, oder?
>  

Ja.

Gruß v. Angela


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