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Grenzwerte: idee
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 23:21 Mo 15.12.2008
Autor: Mangan

Aufgabe
Man berechne Folgenden Grenzwert:
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}(\wurzel[n]{1+x}-1-\bruch{x}{n})*x^{-2} [/mm]

Ja ich weiß es klappt mit der Krankenhausregel, aber die ist leider vom jetztigen Stand ausgeschlossen. Habet ihr eine Idee, wie man zeigen kann dass der grenzwert 0 ist? Ich dachte mir vll über eine Folge die gegen 0 konvergiert.

        
Bezug
Grenzwerte: Nachfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:29 Mo 15.12.2008
Autor: reverend

Nur um sicherzugehen,
wer läuft hier wohin?
Unter Deinem limes steht x, ziellos umherirrend. Wohin geht das x?
Oder geht gar nicht das x, sondern ein n?

Woher kommen wir? Wohin gehen wir?
In der Zeit vor Erfindung des GPS waren das noch wichtige Fragen...

Grüße,
rev

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Bezug
Grenzwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:07 Di 16.12.2008
Autor: Marcel

Hallo,

> Nur um sicherzugehen,
>  wer läuft hier wohin?
>  Unter Deinem limes steht x, ziellos umherirrend. Wohin
> geht das x?
>  Oder geht gar nicht das x, sondern ein n?
>  
> Woher kommen wir? Wohin gehen wir?
>  In der Zeit vor Erfindung des GPS waren das noch wichtige
> Fragen...

in der Tat, eigentlich sind das auch heute noch wichtige Fragen, vor allem: Wo sind wir gerade? ;-)

Ich habe mal die Formel angeklickt, da soll anscheinend $x [mm] \to [/mm] 0$ stehen. Nichtsdestotrotz sollte hier gesagt werden, was (oder wenigstens woher) das $n$ ist. Immer diese Unbekannten, mit denen man sich abgeben muss :D

Gruß,
Marcel

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Bezug
Grenzwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:09 Di 16.12.2008
Autor: reverend

Ja, äh, genau. Immer diese Unbekannten. Kennen wir uns?
[schenkelklopfenderflachkalauer]
Noch ein fehlendes Icon.

Bezug
                                
Bezug
Grenzwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:19 Di 16.12.2008
Autor: Marcel


> Ja, äh, genau. Immer diese Unbekannten. Kennen wir uns?

Nur virtuell, würde ich sagen ;-)

>  [schenkelklopfenderflachkalauer]
>  Noch ein fehlendes Icon.

Liste machen ;-)

Bezug
        
Bezug
Grenzwerte: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:09 Di 16.12.2008
Autor: Leopold_Gast

Das [mm]n[/mm] ist wohl hier ein ganzzahliger Parameter [mm]\geq 1[/mm].

Mit der binomischen Reihe klappt es:

[mm]\left( 1 + x \right)^{\frac{1}{n}} = \sum_{k=0}^{\infty} {{\frac{1}{n}} \choose k} x^k[/mm] für [mm]|x| < 1[/mm]

Durch die Subtraktionen im Zähler des Bruches fallen die ersten beiden Glieder der Reihe weg, die Division durch [mm]x^2[/mm] läßt die Reihe dann mit einem konstanten Glied beginnen - und das ist dann der gesuchte Grenzwert [mm]g[/mm].

Als Ergebnis habe ich [mm]g = - \frac{n-1}{2n^2}[/mm].

Bezug
        
Bezug
Grenzwerte: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:42 Di 16.12.2008
Autor: Mangan

Hallo,

erst mal danke für deine Mühe.
x soll gegen 0 gehen, zeigt es bei mir aber auch an!
und ja [mm] n\ge [/mm] 1 aus [mm] \IN. [/mm]

hm bei der Lösung hab ich irgendwie ein Problem. Wenn ich nur nahgenug mit x an null herangehe, kommt immer egal bei was für einem n 0 raus. deshalb auch die obrige frage.

Bezug
                
Bezug
Grenzwerte: Vergleichsrechnung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:47 Di 16.12.2008
Autor: Loddar

Hallo Mangan!


> x soll gegen 0 gehen, zeigt es bei mir aber auch an!

Ich hatte das geändert.


> hm bei der Lösung hab ich irgendwie ein Problem. Wenn ich
> nur nahgenug mit x an null herangehe, kommt immer egal bei
> was für einem n 0 raus.

Dann berechne doch mal auf einem Schmierzettel den Grenzwert mittels de l'Hospital (2-malige Anwendung).
Da solltest Du genau o.g. Wert erhalten.


Und für den Nachweis ohne de l'Hospital hat Dir Leopold den entsprechenden Hinweis gegeben.


Gruß
Loddar


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Bezug
Grenzwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:36 Di 16.12.2008
Autor: Marcel

Hallo,

> Hallo,
>  
> erst mal danke für deine Mühe.
> x soll gegen 0 gehen, zeigt es bei mir aber auch an!

mittlerweile wurde die Frage ja auch editiert (evtl. auch von einem Koordinator/Moderator).

Vorher stand bei Dir $ [mm] \rightarrow\0$, [/mm] das Ergebnis wäre [mm] $\rightarrow\0$, [/mm] d.h. die $0$ wird nicht angezeigt. Mittlerweile wurde der Backslash vor der $0$ entfernt, so dass da [mm] $\rightarrow [/mm] 0$ steht.

Gruß,
Marcel

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Grenzwerte: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:45 Di 16.12.2008
Autor: Mangan

ok danke.

danke auch für die antwort auf die nachfrage. hatte nen kleinen denkfehler.

damit gelöst :D

Bezug
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