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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:12 Di 17.02.2009 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Bestimme den Grenzwert
a) [mm] \limes_{n\rightarrow 0} (sin(x))^x. [/mm]
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Moin,
diese Aufgabe wurde im Zusammenhang mit der Regel von del' Hospital gestellt.
Ich frage mich allerdings,ob ich diese Regelüberhaupt anwenden kann!?
Ich erkenne nicht diesen Aufbau [mm] \bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] .
Ferner wäre ggf. die Ableitung der Funktion zu bestimmen.
Hier ist die nächste Schwierigkeit.
f(x)= [mm] b^x [/mm] könnte ich schreiben als f(x) = [mm] e^{k*x} [/mm] mit k = ln b.
Dann würde ich die Funktion schreiben
f(x) = [mm] (sin(x))^x [/mm]
f(x) = [mm] e^{ln (sin(x))*x}
[/mm]
f(x) = sin(x)*x ?!
oder ableiten: (cos(x)*x + [mm] sin(x)*1)*e^{sin(x)*x}
[/mm]
???
Danke & Gruß!
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Hallo Wolfgang,
> Bestimme den Grenzwert
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> a) [mm] $\limes_{\red{x}\rightarrow 0} (sin(x))^x$ [/mm]
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> Moin,
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> diese Aufgabe wurde im Zusammenhang mit der Regel von del'
> Hospital gestellt.
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> Ich frage mich allerdings,ob ich diese Regelüberhaupt
> anwenden kann!?
Ja!
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> Ich erkenne nicht diesen Aufbau [mm]\bruch{f(x)}{g(x)}[/mm] .
>
>
> Ferner wäre ggf. die Ableitung der Funktion zu bestimmen.
>
> Hier ist die nächste Schwierigkeit.
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> f(x)= [mm]b^x[/mm] könnte ich schreiben als f(x) = [mm]e^{k*x}[/mm] mit k
> = ln b.
>
> Dann würde ich die Funktion schreiben
>
> f(x) = [mm](sin(x))^x[/mm]
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> f(x) = [mm]e^{ln (sin(x))*x}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das ist genau der "Trick" bei dieser Art Aufgaben
Nun mache dir die Stetigkeit der e-Funktion zunutze, dh. nutze aus, dass gilt:
[mm] $\lim\limits_{x\to x_0}e^{f(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}f(x)}$
[/mm]
Greife dir also den Exponenten [mm] $x\cdot{}\ln(\sin(x))$ [/mm] heraus und untersuche seinen GW für [mm] $x\to [/mm] 0$
Das kannst du mit de l'Hôpital machen, wenn du's ein wenig umschreibst in die nötige Form:
[mm] $x\cdot{}\ln(\sin(x))=\frac{\ln(\sin(x))}{\frac{1}{x}}$
[/mm]
Und hier steige mal ein, nachher aber nicht vergessen, noch [mm] $e^{GW}$ [/mm] zu nehmen
PS: Beachte, dass die Umschreibung mit der e-Funktion nur für [mm] $\sin(x)>0$ [/mm] geht, hier also wohl der rechtsseitige Limes [mm] $\lim\limits_{x\to 0^+}$ [/mm] betrachtet wird
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> f(x) = sin(x)*x ?!
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> oder ableiten: (cos(x)*x + [mm]sin(x)*1)*e^{sin(x)*x}[/mm]
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> ???
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> Danke & Gruß!
>
LG
schachuzipus
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