Grenzwerte < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Eine Stadt besitze 800 000 wahlberechtigte Einwohner, die dazu aufgerufen seien, ihre Stimme für oder gegen ein städtisches auvorhaben abzugeben. Eine Gruppe von $n$ Personen stimmt geschlossen dafür, während sich die übrigen zufällig entscheiden, also durch Wurf einer fairen Münze.
(i) Zeigen Sie, dass schon für $n = 800$ die Abstimmung mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 80% mehrheitlich für das Bauvorhaben ausfällt.
(ii) Zeigen Sie allgemein, das der Bau mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr $ [mm] \Phi \left( - \frac{n}{\sqrt{800 000 - n}} \right) [/mm] $ abgelehnt wird. Bei welcher Gruppengröße n wird das Vorhaben mit 99% Sicherheit mit einfacher Mehrheit angenommen?
(iii) Bei welcher Gruppengröße $n$ wird das Vorhaben mit 99% Sicherheit mit einer $ [mm] \frac{2}{3}$ [/mm] - Mehrheit angenommen? Was ist die Wahrscheinlichkeit für eine $ [mm] \frac{2}{3}$-Mehrheit, [/mm] wenn $n = 0$ ist, also jeder Bürger rein zufällig abstimmt? |
Hey ihr!
Ich komme an einem Schritt nicht weiter und das hinter mich bei allen Unteraufgaben.
Zu (i):
Gesucht: [mm] $\mathbb{P} \left( \left\{ S_{800.000} \geq 640.000 \right\} \right)$, [/mm] da $640.000 [mm] \hat{=} [/mm] 80 [mm] \%$ [/mm] von $800.000$
Nach Korollar gilt mit $p = [mm] \frac{1}{2}$ [/mm] und [mm] $S_{n} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} X_i$, [/mm] $n = 800 000$:
Sei $u$ die untere Grenze des Integrals $ [mm] \int \limits_u^{\infty} \varphi_{0,1}(x) [/mm] dx$. Dann gilt $ u = [mm] \dfrac{640.000 - 800.000 \cdot \frac{1}{2}}{\sqrt{800.000 \cdot \frac{1}{2} \left( 1 - \frac{1}{2} \right)}} \approx [/mm] 536,66$
[mm] $\begin{matrix} \mathbb{P}\left( \left\{ S_{n} \geq 640.000 \right\} \right) & = & \mathbb{P}\left( \left\{ \frac{S_{n} - np}{\sqrt{np (1 - p)}} \geq \frac{640.000 - np}{\sqrt{np (1 - p)}} \right\} \right) \\
& \approx & \int \limits_u^{\infty} \varphi_{0,1} (x) dx \\
& = & 1 - \Phi(u)
\end{matrix}$
[/mm]
Leider hab ich keine Ahnung, wie ich $ [mm] \Phi(u)$ [/mm] berechnen kann. Und deswegen komme ich auch nicht bei den anderen Teilaufgaben weiter! :( Außerdem fällt mir auf, dass ich die $n = 800$ nirgends eingebaut habe und dazu hab ich auch keine Idee wie... :( Alles, was ich mir überlegt hatte, ist denke ich falsch...
Wäre Super, wenn mir dabei jemand helfen könnte!
Zu (ii):
Gesucht: [mm] $\mathbb{P} \left( \left\{ S_{800 000} \leq 400.000 \right\} \right)$, [/mm] da $400.000 [mm] \hat{=} [/mm] 50 [mm] \%$ [/mm] von $800.000$ und somit wäre keine Mehrheit mehr vorhanden.
Und: [mm] $\mathbb{P} \left( \left\{ S_{800 000} \geq 400.000 \right\} \right)$
[/mm]
Hierbei würde ich auch wieder das Korollar anwenden. Aber ich hab keine Ahnung, wie ich wieder $ [mm] \Phi [/mm] (x)$ berechnen soll und wie ich das $n$ einbringe...
"Anhang"
Korollar: Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] seien [mm] $X_1, [/mm] . . . , [mm] X_n$ [/mm] unabhängige und zum Parameter p Bernoulli-verteilte Zufallsvariablen. Dann gilt für alle $a < b$:
$ [mm] \lim_{n \rightarrow \infty} [/mm] = [mm] \mathbb{P} \left( \left\{ a \leq \frac{\summe_{i=1}^{n} X_i - np}{\sqrt{np (1 - p)}} \leq b \right\} \right) [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b} \varphi_{0,1}(x) [/mm] dx.$
Und es gilt $ [mm] \integral_{a}^{b} \varphi_{0,1}(x) [/mm] dx = [mm] \Phi(b) [/mm] - [mm] \Phi(a)$.
[/mm]
Oder im Skript auf Seite 13.
Es befindet sich noch ein Beispiel im Anhang, nach dem ich mich orientiert habe...
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo,
das [mm] \phi [/mm] von dem immer die Rede ist, ist die Gaußfunktion. Deren Integral ist sehr schwierig zu bestimmen und wird deshalb in Tabellen aufgelistet. Das findet man dann unter [mm] \Phi.
[/mm]
Im Grunde handelt es sich bei deinem Korollar um das Gesetz der großen Zahlen, oder wie das heißt. Denn bei sehr großem [mm] \(n\) [/mm] geht die Bernoulli-Verteilung in eine Gaußverteilung über.
Vielleicht löst das ja schon dein Problem. Denn ob die Ansätze soweit richtig sind, hab ich noch nicht überprüft, daher markiere ich die Aufgabe auch nur als teilweise gelöst.
Alles Gute noch für 2010,
Roland.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:24 Mo 04.01.2010 | | Autor: | pi-roland |
Hallo nochmal,
leider war ich wieder zu schnell beim Klicken und hab daher den Status der Frage nicht auf teilweise beantwortet stellen können. Vielleicht kann mir mal jemand erklären, wie das nachträglich möglich ist, denn so ist sie weiterhin unbeantwortet. Dankbar für Tipps,
Roland.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Do 07.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
