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Ich habe Fragen zu der Grenzwertberechnung von gebrochen rationalen Funktionen:
Wie stelle ich das mathematisch genau an?
Ich gebe mal ein Beispiel:
[mm] \limes_{n\rightarrow 2}\bruch{x^{3}-6x^{2}+12x-7}{x^{2}-4x+4}
[/mm]
Ich könnte doch theoretisch einfach die 2 einsetzen, sehe dann, dass im Zähler 1 rauskommen würde, im Nenner 0.
1/0 = [mm] +\infty
[/mm]
0/0 = 0
0/1 = 0
oder liege ich da falsch.
Bei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] muss man doch nur auf die höchste Potenz im Zähler und Nenner achten und weiß dann über die Grenzwerte bescheid.
Wenn das soweit stimmt, was ich hier mal offiziell bezweifele, wie stellt man das mathematisch dar? Gibt es da einen leichten Weg das zu tun?
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Moin Mareike,
das ist weitestgehend richtig gedacht, aber in der Tat nicht "sauber". Ob ich aber der Richtige bin, das hinzukriegen... Ich probiers mal.
> Ich habe Fragen zu der Grenzwertberechnung von gebrochen
> rationalen Funktionen:
>
> Wie stelle ich das mathematisch genau an?
>
> Ich gebe mal ein Beispiel:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow 2}\bruch{x^{3}-6x^{2}+12x-7}{x^{2}-4x+4}[/mm]
>
> Ich könnte doch theoretisch einfach die 2 einsetzen, sehe
> dann, dass im Zähler 1 rauskommen würde, im Nenner 0.
Im Zähler bekomme ich da eine 9, was aber an der Sache, um die es geht, nichts ändert.
> 1/0 = [mm]+\infty[/mm]
Tja, das kann man eben so nicht sagen bzw. schreiben. Aber im Hinterkopf kannst Du das haben. Genau das wird das Ergebnis sein. Je näher x an die 2 kommt (genauer: je kleiner [mm] \varepsilon [/mm] wird, wenn Du x durch [mm] 2+\varepsilon [/mm] ersetzt und [mm] \varepsilon\to0 [/mm] gehen lässt), umso größer wird das Ergebnis - im Grenzübergang wird es unendlich.
Man schreibt das nicht direkt, weil es eben auch so nicht stimmt. Die Division durch Null ist nicht definiert, und außerdem wäre ja dann 1/0 das gleiche wie 9/0, mithin also auch 1=9. Da liegt das Problem.
> 0/0 = 0
> 0/1 = 0
>
> oder liege ich da falsch.
Jein. 0/1=0 ist vollkommen korrekt.
0/0 dagegen ist wieder nicht definiert. Für solche Fälle nimmt man dann ja den Satz von de l'Hospital.
> Bei [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] muss man doch nur auf die
> höchste Potenz im Zähler und Nenner achten und weiß dann
> über die Grenzwerte bescheid.
Das gilt aber wirklich nur bei [mm] n\to\infty [/mm] oder [mm] x\to-\infty. [/mm] Ansonsten: richtig.
> Wenn das soweit stimmt, was ich hier mal offiziell
> bezweifele, wie stellt man das mathematisch dar? Gibt es da
> einen leichten Weg das zu tun?
Darum habe ich mich ja noch weitestgehend gedrückt. Die Frage ist auch, was genau Du jetzt eigentlich darstellen willst?
Hauptsache, Du schreibst kein Gleichheitszeichen hinter einen unbestimmten Ausdruck; das darfst du nur bei Grenzübergängen, und selbst da ist es "eigentlich" nicht korrekt, aber eben üblich. Mit dem limes gibt man ja an, dass man hier nicht gleichsetzt, sondern eine Grenzwertbetrachtung durchführt.
Grüße
reverend
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In meiner Aufgabe ist nach der Ermittlung der Grenzwerte u.a. der eingefügte gebrochen rationalen Funktion, gefragt.
Bei der Lösung, die ich habe, wird entweder mit Zähler oder Nenner, der potenzmäßig höhere, eine Polynomdivision mit einer Nullstelle durchgeführt. Soweit noch nachvollziebar, aber dann versteh ich den nächsten Schritt nicht mehr. Ich zeige es einfach mal an zwei Bsp auf:
Bsp1:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow 2}\bruch{x^{3}-6x^{2}+12x-7}{x^{2}-4x+4} [/mm] $
[mm] \bruch{(x^{2}-5x+7)(x-1)}{(x-2)^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{(x-2)^{2}} [/mm] Diesen Sprung verstehe ich nicht
Bsp2:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow 2}\bruch{x^{3}-6x^{2}+12x-8}{x^{2}-4x+4} [/mm] $
[mm] \bruch{(x^{2}-4x+4)(x-2)}{(x-2)^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{(x-2)^{3}}{(x-2)^{2}}
[/mm]
Ich habe erstmal gedacht, dass Sie im letzten Schritt im Bsp.1 einfach im Zähler die Nullstelle haben stehen lassen, das kann ja aber nach Bsp.2 nicht sein, da da sonst statt der [mm] (x-2)^{3} [/mm] im Zähler im letzten Schritt eine 2 stehen müsste. Tut es zum einen nicht, außerdem würde dann [mm] +\infty [/mm] rauskommen, wie in Bsp.1, die haben hier aber 0 als Ergebnis.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:52 Sa 23.07.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> In meiner Aufgabe ist nach der Ermittlung der Grenzwerte
> u.a. der eingefügte gebrochen rationalen Funktion,
> gefragt.
>
> Bei der Lösung, die ich habe, wird entweder mit Zähler
> oder Nenner, der potenzmäßig höhere, eine
> Polynomdivision mit einer Nullstelle durchgeführt. Soweit
> noch nachvollziebar, aber dann versteh ich den nächsten
> Schritt nicht mehr. Ich zeige es einfach mal an zwei Bsp
> auf:
>
> Bsp1:
>
> [mm] $\limes_{n\rightarrow 2}\bruch{x^{3}-6x^{2}+12x-7}{x^{2}-4x+4}$
[/mm]
>
> [mm]\bruch{(x^{2}-5x+7)(x-1)}{(x-2)^{2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{(x-2)^{2}}[/mm] Diesen Sprung verstehe ich
> nicht
Ich, um ehrlich zu sein auch nicht. Der Zähler und der Nenner sind weitestgehend in Linearfaktoren zerlegt (x²-5x+7 hat keine Nullstelle, also gibt es auch keine Linearfaktoren mehr).
Was man machen könnte, wäre eine Polynomdivsion.
[mm] \bruch{x^{3}-6x^{2}+12x-7}{x^{2}-4x+4}
[/mm]
[mm] =(x^{3}-6x^{2}+12x-7):(x^{2}-4x+4)
[/mm]
[mm] =x-2+\frac{1}{x^{2}-4x+4}
[/mm]
[mm] =x-2+\frac{1}{(x-2)^{2}}
[/mm]
Jetzt kannst du den Grenzübergang machen, also
[mm] $\limes_{x\rightarrow 2}\bruch{x^{3}-6x^{2}+12x-7}{x^{2}-4x+4}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{x\rightarrow 2}x-2+\frac{1}{(x-2)^{2}}$
[/mm]
[mm] $=\limes_{x\rightarrow 2}x-\limes_{x\rightarrow 2}2+\limes_{x\rightarrow 2}\frac{1}{(x-2)^{2}}$
[/mm]
$ [mm] =2-2+\limes_{x\rightarrow 2}\frac{1}{(x-2)^{2}} [/mm] $
$ [mm] =\limes_{x\rightarrow 2}\frac{1}{(x-2)^{2}} [/mm] $
>
> Bsp2:
> [mm]\limes_{n\rightarrow 2}\bruch{x^{3}-6x^{2}+12x-8}{x^{2}-4x+4}[/mm]
>
> [mm]\bruch{(x^{2}-4x+4)(x-2)}{(x-2)^{2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{(x-2)^{3}}{(x-2)^{2}}[/mm]
Hier wurden der Zähler und der Nenner in Linearfaktoren zerlegt.
Jetzt kann man hier [mm] (x-2)^{2} [/mm] kürzen, so dass:
[mm] $\bruch{(x-2)^{3}}{(x-2)^{2}}=x-2$
[/mm]
Nun kannst du ohne Probleme den Grenzwert x=2 setzen.
>
> Ich habe erstmal gedacht, dass Sie im letzten Schritt im
> Bsp.1 einfach im Zähler die Nullstelle haben stehen
> lassen, das kann ja aber nach Bsp.2 nicht sein, da da sonst
> statt der [mm](x-2)^{3}[/mm] im Zähler im letzten Schritt eine 2
> stehen müsste. Tut es zum einen nicht, außerdem würde
> dann [mm]+\infty[/mm] rauskommen, wie in Bsp.1, die haben hier aber
> 0 als Ergebnis.
>
>
Marius
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Ok, ich habe mir schon gedacht, dass da irgendwas im Busch ist.
Im Grunde hätte man bei Bsp.2 auch die Polynomendivision durchführen können und wäre dann auf x-2 gekommen.
Kann ich also als ein Universalrezept immer so vorgehen, dass ich einfach eine Polynomendivision durchführen kann und dann schon ein Schritt vorm Ende bin?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:15 Sa 23.07.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Ok, ich habe mir schon gedacht, dass da irgendwas im Busch
> ist.
Du musst halt bei Grenzwerten extrem aufpassen, wenn du ein "=" verwendest.
> Im Grunde hätte man bei Bsp.2 auch die Polynomendivision
> durchführen können und wäre dann auf x-2 gekommen.
Ja, aber hier geht das mit dem kürzen einfacher.
> Kann ich also als ein Universalrezept immer so vorgehen,
> dass ich einfach eine Polynomendivision durchführen kann
> und dann schon ein Schritt vorm Ende bin?
Es ist ein möglicher Weg, Funktionen so umzuformen, dass man den Grenzwert bestimmen kann.
Problematisch würde es, wenn im Zähler des nach der Polynomdivision enstandenen "Resttermes" noch die Variable auftauchen würde. Dann müsste den Grenzwert dieses Resttermes noch bestimmen.
Marius
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Hallo Mareike,
kleine Ergänzung:
>
> Bsp1:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow 2}\bruch{x^{3}-6x^{2}+12x-7}{x^{2}-4x+4}[/mm]
>
> [mm]\bruch{(x^{2}-5x+7)(x-1)}{(x-2)^{2}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{(x-2)^{2}}[/mm] Diesen Sprung verstehe ich
> nicht
>
Zunächst achte doch bitte etwas auf deinen Aufschrieb.
Was soll hier im Zusammenhang [mm]\lim\limits_{\red{n}\to 2}[/mm] bedeuten? Du meinst doch [mm]\lim\limits_{\red{x}\to 2}[/mm].
Das zieht sich durch den gesamten thread, bitte darauf achten!
Der "Schritt" oben ist ganz grober Unfug!
Es sieht so aus, als hätte der Urheber lediglich im Zähler die Grenzbetrachtung durchgeführt, also nur im Zähler [mm]x\to 2[/mm] gehen lassen.
Das ist aber Kokolores! Wenn der Grenzprozess durchgeführt ist, darf die Variable nicht mehr in dem Ausdruck stehen ...
Wie es richtig geht, hat Marius dir geschrieben ...
Gruß
schachuzipus
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