Grenzwerte < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:30 So 04.12.2011 | | Autor: | hannali |
| Aufgabe | y= f(x) = x²-x-6/x-3
lim = ?
x->3
(x²-x-6):(x-3)=x+2
lim (x+2)(x-3)/(x-3)
x->3
lim (x+2)=5
x->3
3²-3-6/3-3=0 |
Hallo,
Hier ist eine Aufgabe aus meinen Unterlagen.
Meine Fragen:
- Da ich bei der Ausgangsgleichung sehe, dass im Falle von x=3 der Nenner null wird und die Funktion an dieser Stelle dann nicht definiert wäre, untersuche ich das Verhalten der Funktion bei x=3, ist das so richtig verstanden?
- Was soll die Vereinfachung des Zählers bringen? Ich hätte doch auch direkt in die Ausgangsgleichung x=3 einsetzen können, oder nicht? Was bringt mir das einsetzen von x=3 für x+2? Das hätte man doch auch weglassen können, oder?
- Dass die Funktion eine Lücke bei x=3 hat, habe ich doch schon ganz zu Beginn daran gesehen, dass x-3 mit x=3 null wird. Die Rechnung ist also nur noch einmal der Beweis, dass das stimmt, wäre aber nicht unbedingt nötig gewesen, um auf die Lösung zu kommen, oder?
- Wie kann ich nun herausfinden, ob diese Lücke stetig ergänzbar ist??
Ich hoffe, jemand nimmt sich die Zeit Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:38 So 04.12.2011 | | Autor: | abakus |
> y= f(x) = x²-x-6/x-3
> lim = ?
> x->3
>
> (x²-x-6):(x-3)=x+2
>
> lim (x+2)(x-3)/(x-3)
> x->3
>
> lim (x+2)=5
> x->3
>
> 3²-3-6/3-3=0
> Hallo,
>
> Hier ist eine Aufgabe aus meinen Unterlagen.
> Meine Fragen:
> - Da ich bei der Ausgangsgleichung sehe, dass im Falle von
> x=3 der Nenner null wird und die Funktion an dieser Stelle
> dann nicht definiert wäre, untersuche ich das Verhalten
> der Funktion bei x=3, ist das so richtig verstanden?
> - Was soll die Vereinfachung des Zählers bringen? Ich
> hätte doch auch direkt in die Ausgangsgleichung x=3
> einsetzen können, oder nicht? Was bringt mir das einsetzen
> von x=3 für x+2? Das hätte man doch auch weglassen
> können, oder?
> - Dass die Funktion eine Lücke bei x=3 hat, habe ich doch
> schon ganz zu Beginn daran gesehen, dass x-3 mit x=3 null
Daran siehst du aber nicht die Lücke, sondern erst einmal nur die Unstetigkeit.
Die Funktion [mm] f(x)=$\bruch{x-3}{(x-3)^2}$ [/mm] ist AUCH an der Stelle x=3 nicht definiert, hat aber keine Lücke, sondern eine Polstelle.
Gruß Abakus
> wird. Die Rechnung ist also nur noch einmal der Beweis,
> dass das stimmt, wäre aber nicht unbedingt nötig gewesen,
> um auf die Lösung zu kommen, oder?
> - Wie kann ich nun herausfinden, ob diese Lücke stetig
> ergänzbar ist??
>
> Ich hoffe, jemand nimmt sich die Zeit Danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:48 So 04.12.2011 | | Autor: | hannali |
okay, also wann immer ich für einen bruch einen x-wert finde, mit dem der nenner null wird, weiß ich, dass an dieser stelle eine unstetigkeit besteht.
ob es nun dort eine lücke gibt, oder nicht, kläre ich wie??
ich bitte um weitere hilfen zu meinen anderen fragen.
hanna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 So 04.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Eine Nullstelle des Nenners ist immer auch eine Definitionslücke, also kann sie dort auch nicht stetig sein. Was passieren kann, ist, dass du einen Wert findest, durch den die Funktion an dieser Stelle stetig fortsetzbar ist. Ein solches Beispiel ist deine Funktion [mm] f(x)=\frac{x^{2}-x-6}{x-3}, [/mm] denn:
[mm] f(x)=\frac{x^{2}-x-6}{x-3}=x+2
[/mm]
Nun gilt:
[mm] $\lim_{x\to3}\frac{x^{2}-x-6}{x-3}$
[/mm]
[mm] $\lim_{x\to3}=x+2$
[/mm]
$=5$
Also kannst du f(x) mit f(3):=5 stetig fortsetzen, der Graph der stetig fortgesetzen Funktion hat dann eben an der Stelle x=3 kein "Loch" mehr.
[mm] g(x)=\frac{(x-3)}{(x-3)(x+2)}=\frac{1}{x+2} [/mm] könnte man mit [mm] g(3)=\frac{1}{5} [/mm] ebenfalls stetig fortsetzen.
[mm] h(x)=\frac{(x-3)}{(x-3)^{2}}=\frac{1}{x-3} [/mm] kann man aber nicht mehr stetig fortsetzen, hier ist x=3 eine Polstelle.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 So 04.12.2011 | | Autor: | hannali |
Hallo Marius,
vielen dank, ich hab das jetzt endlich verstanden, was es in meinen unterlagen mit der x+2=5 auf sich hat!
wo ich mir jetzt aber noch unsicher bin:
$ [mm] f(x)=\frac{x^{2}-x-6}{x-3}=x+2 [/mm] $
an sich sind diese beiden darstellungen doch die gleiche funktion, oder nicht..? also wenn man die zeichnen würde, sähen die nicht gleich aus? wir haben die erste doch nur vereinfacht, aber letzendlich ist es doch noch die gleiche!?
wieso also klappt das nun plötzlich, dass x=3 eingesetzt werden kann.
also klar, 2+3=5, aber das macht für mich noch nicht so hundert pro sinn, weil doch in linken darstellung die gleiche funktion steht, nur etwas komplizierter!?
genauso bei deinem beispiel
$ [mm] g(x)=\frac{(x-3)}{(x-3)(x+2)}=\frac{1}{x+2} [/mm] $
auf der rechten seite macht es keine probleme, die 3 einzusetzen, aber links gehts gar nicht..
bedeutet das, dass man erstmal die funktionen so einfach machen muss, wie es geht und dann schauen muss, ob man einen wert herausbekommt?
viele grüße und danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:33 So 04.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo Marius,
>
> vielen dank, ich hab das jetzt endlich verstanden, was es
> in meinen unterlagen mit der x+2=5 auf sich hat!
>
> wo ich mir jetzt aber noch unsicher bin:
>
> [mm]f(x)=\frac{x^{2}-x-6}{x-3}=x+2[/mm]
>
> an sich sind diese beiden darstellungen doch die gleiche
> funktion, oder nicht..? also wenn man die zeichnen würde,
> sähen die nicht gleich aus? wir haben die erste doch nur
> vereinfacht, aber letzendlich ist es doch noch die
> gleiche!?
So ist es. die "gekürzte Version" ist immer noch dieselbe Funktion.
> wieso also klappt das nun plötzlich, dass x=3 eingesetzt
> werden kann.
Eigentlich darf ich es immer noch nicht, denn die Definitionslücke verschwidet wurch das kürzen nicht. Aber wenn man den Grenzwert berechnet, bekommt amn die 5 heraus, und man kann f(x) mit dem Zusatz f(3):=5 eben stetig fortsetzen.
> also klar, 2+3=5, aber das macht für mich noch nicht so
> hundert pro sinn, weil doch in linken darstellung die
> gleiche funktion steht, nur etwas komplizierter!?
So ist es, aber die Termumformungen innerhalb des Funktionstermes verändern weder die Definitionsbereiche, noch irgendwelche anderen Eingenschaften der Funktion f.
>
> genauso bei deinem beispiel
> [mm]g(x)=\frac{(x-3)}{(x-3)(x+2)}=\frac{1}{x+2}[/mm]
>
> auf der rechten seite macht es keine probleme, die 3
> einzusetzen, aber links gehts gar nicht..
> bedeutet das, dass man erstmal die funktionen so einfach
> machen muss, wie es geht und dann schauen muss, ob man
> einen wert herausbekommt?
Jein, du hast auch da immer noch die Definitionslücke, aber eben keine Polstelle, denn der Grenzwert [mm] \lim_{x\to3}=\frac{1}{5} [/mm] exsistiert, also kann man g(x) mit g(3):=1/5 stetig fortsetzen. g(x) hat aber an der Stelle x=3 immer noch eine Definitionslücke.
> viele grüße und danke!
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:16 So 04.12.2011 | | Autor: | hannali |
ich muss nun erstmal fragen, was überhaupt eine polstelle ist..?
und ich habe auch noch probleme, zu sagen, was bei so einer darstellung
$ [mm] \lim_{x\to3}=\frac{1}{5} [/mm] $
jetzt der grenzwert ist, oder wie man diese darstellung mit wörtern beschreibt.
ist in diesem fall 1/5 der grenzwert oder die 3? ich würde jetzt sagen, x strebt gegen 3, hat bei 3 ja die definitionslücke, also ist 1/5 der grenzwert an der stelle x=3. richtig?
und was mir jetzt auch schon wieder komisch vorkommt..
$ [mm] f(x)=\frac{x^{2}-x-6}{x-3}=x+2 [/mm] $
wenn ich jetzt einen ersten blick auf diese funktion werfe, denke ich, exponent ist 2, also irgendwas mit ner kurve. das ist aber nicht richtig, x+2 ist ja einfach eine gerade. da darf man sich also nicht verleiten lassen, dem x² zu viel abzuleiten, oder? denn unter dem bruch steht ja auch noch ein x,also ist es letzendlich ja doch nur [mm] x^1. [/mm] hab ich recht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 So 04.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> ich muss nun erstmal fragen, was überhaupt eine polstelle
> ist..?
> und ich habe auch noch probleme, zu sagen, was bei so einer
> darstellung
> [mm]\lim_{x\to3}=\frac{1}{5}[/mm]
> jetzt der grenzwert ist, oder wie man diese darstellung mit
> wörtern beschreibt.
> ist in diesem fall 1/5 der grenzwert oder die 3?
Die 1/5 ist der Grenzwert wenn x gegen 3 strebt.
> Ich
> würde jetzt sagen, x strebt gegen 3, hat bei 3 ja die
> definitionslücke, also ist 1/5 der grenzwert an der stelle
> x=3. richtig?
So kann man das ausdrücken.
>
> und was mir jetzt auch schon wieder komisch vorkommt..
>
> [mm]f(x)=\frac{x^{2}-x-6}{x-3}=x+2[/mm]
>
> wenn ich jetzt einen ersten blick auf diese funktion werfe,
> denke ich, exponent ist 2, also irgendwas mit ner kurve.
> das ist aber nicht richtig, x+2 ist ja einfach eine gerade.
> da darf man sich also nicht verleiten lassen, dem x² zu
> viel abzuleiten, oder? denn unter dem bruch steht ja auch
> noch ein x,also ist es letzendlich ja doch nur [mm]x^1.[/mm] hab ich
> recht?
Das ist zwar recht schwammig formuliert, aber richtig.
Du solltest dir unbedingt mal die verschiedenen Funktionstypen und die jeweiligen Eigenschaften anschauen, eine gute Übersicht dazu bietet ![[]](/images/popup.gif) poenitz-net.de.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 So 04.12.2011 | | Autor: | abakus |
> Hallo Marius,
>
> vielen dank, ich hab das jetzt endlich verstanden, was es
> in meinen unterlagen mit der x+2=5 auf sich hat!
>
> wo ich mir jetzt aber noch unsicher bin:
>
> [mm]f(x)=\frac{x^{2}-x-6}{x-3}=x+2[/mm]
>
> an sich sind diese beiden darstellungen doch die gleiche
> funktion, oder nicht..?
Du hast recht (allerdings mit deinem Zusatz "oder nicht")
Der rechte Term ist FÜR ALLE x definiert, der linke nicht.
Damit ist die Behauptung "gleiche Funktion" schon widerlegt.
Gruß Abakus
> also wenn man die zeichnen würde,
> sähen die nicht gleich aus? wir haben die erste doch nur
> vereinfacht, aber letzendlich ist es doch noch die
> gleiche!?
> wieso also klappt das nun plötzlich, dass x=3 eingesetzt
> werden kann.
> also klar, 2+3=5, aber das macht für mich noch nicht so
> hundert pro sinn, weil doch in linken darstellung die
> gleiche funktion steht, nur etwas komplizierter!?
>
> genauso bei deinem beispiel
> [mm]g(x)=\frac{(x-3)}{(x-3)(x+2)}=\frac{1}{x+2}[/mm]
>
> auf der rechten seite macht es keine probleme, die 3
> einzusetzen, aber links gehts gar nicht..
> bedeutet das, dass man erstmal die funktionen so einfach
> machen muss, wie es geht und dann schauen muss, ob man
> einen wert herausbekommt?
> viele grüße und danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:32 So 04.12.2011 | | Autor: | hannali |
du meinst, der linke term ist nicht für x=3 definiert, deswegen ist die funktion nicht die gleiche?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 So 04.12.2011 | | Autor: | hannali |
folgende funktion:
$ [mm] f(x)=\frac{x^{2}-x-6}{x-3}=x+2 [/mm] $
lim x+2 = 5
x->3
diese funktion hat eine lücke an der stelle x=3.
diese unstetigkeit ist mit dem grenzwert 5 stetig ergänzbar.
sind meine aussagen richtig???
vielen dank hanna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 So 04.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
> folgende funktion:
> [mm]f(x)=\frac{x^{2}-x-6}{x-3}=x+2[/mm]
>
> lim x+2 = 5
> x->3
>
> diese funktion hat eine lücke an der stelle x=3.
> diese unstetigkeit ist mit dem grenzwert 5 stetig
> ergänzbar.
>
> sind meine aussagen richtig???
> vielen dank hanna
So ist es korrekt formuliert.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:39 So 04.12.2011 | | Autor: | hannali |
DANKE!!!!!!
das ist ja echt toll hier, danke für die hilfen!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 So 04.12.2011 | | Autor: | hannali |
eine frage habe ich doch noch, ganz kurz!
der grenzwert ist doch immer der funktionswert zu dem eingesetzten x-wert, oder?
lim x+2 = 5
x->3
würde man hier sagen: mit dem funktionswert y=5 ist die funktion an der stelle x=3 stetig ergänzbar? oder sagt man "mit dem grenzwert 5 ist ..." ?
hanna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 So 04.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> eine frage habe ich doch noch, ganz kurz!
>
> der grenzwert ist doch immer der funktionswert zu dem
> eingesetzten x-wert, oder?
> lim x+2 = 5
> x->3
Hier ja.
>
> würde man hier sagen: mit dem funktionswert y=5 ist die
> funktion an der stelle x=3 stetig ergänzbar? oder sagt man
> "mit dem grenzwert 5 ist ..." ?
"Mit der Definition f(3):=5 ist die Funktion an der Stelle x=3 stetig fortsetzbar"
>
> hanna
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 So 04.12.2011 | | Autor: | hannali |
was bedeutet diese schreibweise
f(3):=5
??
und dann hab ichs auch! thank you so much!!!
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Hallo hannali,
> was bedeutet diese schreibweise
> f(3):=5
> ??
> und dann hab ichs auch! thank you so much!!!
Da der Funktionswert an der Stelle x=3 nicht definiert ist,
wird er definiert:
[mm]f(3):=5[/mm]
":=" ist gleichbedeutend mit "definiert".
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:40 So 04.12.2011 | | Autor: | hannali |
| Aufgabe | f(x)=(sgnx)²= {1 für x ungleich 0; 0 für x gleich 0}
lim (sgnx)²=1
x->0 |
nabend,
wie komme ich denn hier auf den grenzwert 1? wenn ich für x 0 einsetze, bekomme ich doch nicht 1..? oder hat das in diesem speziellen fall etwas mit der signum funktion zutun??
danke, hanna
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Hallo hannali,
> f(x)=(sgnx)²= {1 für x ungleich 0; 0 für x gleich 0}
>
> lim (sgnx)²=1
> x->0
> nabend,
>
> wie komme ich denn hier auf den grenzwert 1? wenn ich für
> x 0 einsetze, bekomme ich doch nicht 1..? oder hat das in
> diesem speziellen fall etwas mit der signum funktion
> zutun??
>
Hier nähert sich man von links und rechts der 0.
Damit ist das Vorzeichen [mm]\pm1[/mm].
Quadriert ergibnt 1.
> danke, hanna
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:51 So 04.12.2011 | | Autor: | hannali |
aber in all den fällen vorher habe ich mich doch nicht von links und rechts dem x-wert genähert,sondern immer genau diesen eingesetzt. woher weiß man bei dieser funktion, dass es anders ist??
gruß
hannali
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:14 Mo 05.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> aber in all den fällen vorher habe ich mich doch nicht von
> links und rechts dem x-wert genähert,sondern immer genau
> diesen eingesetzt.
Das ging bei den Funktionen, weil man durch die Termumformungen die Funktion dahingehend zurechtgebogen hat, dass man im Prinzip die "Grenzstelle" einsetzen konnte. Hier geht das nicht so ohne weiteres.
> woher weiß man bei dieser funktion,
> dass es anders ist??
Indem du dir mal die Signumfunktion genauer anschaust. Es gilt:
[mm]sgn(x)=\begin{cases} 1, & \mbox{fuer } x >0 \\
0, & \mbox{fuer } x =0\\
-1, & \mbox{fuer } x<0 \end{cases}[/mm]
>
> gruß
> hannali
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 So 04.12.2011 | | Autor: | M.Rex |
> du meinst, der linke term ist nicht für x=3 definiert,
> deswegen ist die funktion nicht die gleiche?
Das Problem ist, dass du hier eine Termumformung machst, bei der du durch einen Teilterm mit der Variablen dividierst. Dazu musst du den Fall, das dieser Term Null ist, gesondert betrachten. Also hier den Fall x=3.
Marius
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