Grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 So 15.04.2012 | | Autor: | Infoandi |
| Aufgabe | Nutzen Sie das Majorantenkriterium, um für die reelle Zahlenfolge [mm] (y_{n}) [/mm] n [mm] \in N_{+} [/mm] mit
[mm] y_{n} [/mm] = [mm] \bruch{sin(n)}{n} [/mm] ihren Grenzwert zu bestimmen. |
Nabend,
Ich glaube um das Majorantenkriterium erfüllen zu können, muss die Folge doch Monotonie und Beschränktheit aufweisen oder ?
Also habe ich probiert Monotonie nachzuweisen:
[mm] \bruch{sin(n)}{n} \le \bruch{sin(n+1)}{n+1} [/mm] | *n
sin(n) [mm] \le \bruch{sin(n+1)*n}{n+1} [/mm] | * (n+1)
sin(n)*(n+1) [mm] \le [/mm] sin(n+1)*n
sin(n)*n + sin(n) [mm] \le [/mm] sin(n+1)*n
weiter bin ich nicht gekommen. Ich habe die beiden Funktion mal skizziert und bemerkt, dass diese sich sehr ähneln. Die eine scheint die Spiegelung der anderen zu sein, aber ich weiß nicht wie ich das deuten soll.
kann mir wer weiter helfen ?
Danke im voraus,
Andi
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Hi!
> Nutzen Sie das Majorantenkriterium, um für die reelle
> Zahlenfolge [mm](y_{n})[/mm] n [mm]\in N_{+}[/mm] mit
> [mm]y_{n}[/mm] = [mm]\bruch{sin(n)}{n}[/mm] ihren Grenzwert zu bestimmen.
>
>
>
> Nabend,
> Ich glaube um das Majorantenkriterium erfüllen zu
> können, muss die Folge doch Monotonie und Beschränktheit
> aufweisen oder ?
> Also habe ich probiert Monotonie nachzuweisen:
> [mm]\bruch{sin(n)}{n} \le \bruch{sin(n+1)}{n+1}[/mm] | *n
> sin(n) [mm]\le \bruch{sin(n+1)*n}{n+1}[/mm] | * (n+1)
> sin(n)*(n+1) [mm]\le[/mm] sin(n+1)*n
> sin(n)*n + sin(n) [mm]\le[/mm] sin(n+1)*n
>
> weiter bin ich nicht gekommen. Ich habe die beiden Funktion
> mal skizziert und bemerkt, dass diese sich sehr ähneln.
> Die eine scheint die Spiegelung der anderen zu sein, aber
> ich weiß nicht wie ich das deuten soll.
>
> kann mir wer weiter helfen ?
> Danke im voraus,
> Andi
Das Majorantenkriterium liefert absolute Konvergenz einer Reihe:
[mm]\summe_{k=0}^{n}a_k [/mm]
wenn eine konvergente Reihe [mm]\summe_{k=0}^{n}b_k [/mm] und ein [mm]n_0[/mm] existiert mit [mm]|a_k|
In deinem Fall ist [mm]a_k=\frac{sin(n)}{n}[/mm].
Versuche also eine Folge [mm]b_k[/mm] zu finden, für die gilt: [mm]|a_k|=|\frac{sin(n)}{n}|[/mm][mm]\le b_k[/mm]
Tipp: Der Sinus ist zwischen zwei Zahlen beschränkt.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 So 15.04.2012 | | Autor: | Infoandi |
naja da [mm] \bruch{sin(n)}{n} [/mm] nie [mm] \ge [/mm] 1 ist würde doch schon [mm] b_{k}=n [/mm] reichen oder ?
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Hiho,
> naja da [mm]\bruch{sin(n)}{n}[/mm] nie [mm]\ge[/mm] 1 ist würde doch schon
> [mm]b_{k}=n[/mm] reichen oder ?
Der erste Teil des Satzes ist ok, der zweite weniger....
nochmal:
Offensichtlich gilt: $0 [mm] \le \left|\bruch{\sin(n)}{n}\right| [/mm] = [mm] \bruch{|\sin(n)|}{n}$
[/mm]
Wende nun deinen ersten Satzteil an und berechne überall den Grenzwert.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Mi 18.04.2012 | | Autor: | Infoandi |
Tut mir Leid ich habs immernoch nicht begriffen.
Offensichtlich gilt 0 [mm] \le \left|\bruch{\sin(n)}{n}\right| [/mm] = [mm] \bruch{|\sin(n)|}{n} [/mm] < 1
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{|\sin(n)|}{n} [/mm] = 0
somit konvergiert [mm] y_{n} [/mm] ggn 0. Aber muss ich nicht noch beweisen ,dass sin(n) < n immer ist ?
grüße, andi
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Ich hänge mich mal mit rein.
Der Tipp von Gonozal_IX war absolut ok.
Abschätzen ist eben das Stichwort:
[mm] 0\le\bruch{|sin(n)|}{n}\le\bruch{1}{n}
[/mm]
Da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}=0 [/mm] ist auch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|sin(n)|}{n}.
[/mm]
(Einschließungskriterium, oder umgangssprachlich auch als "Satz von zwei Polizisten")
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 02:44 Do 19.04.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> (Einschließungskriterium, oder umgangssprachlich auch als
> "Satz von zwei Polizisten")
Ich musste lachen. Wo immer du diese Bezeichnung auch her hast, ich denke mal "Sandwich-Lemma" oder "Quetsch-Lemma" ist gängiger ^^
MFG,
Gono.
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 06:54 Do 19.04.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Mein Matheprof benutzt den Ausdruck. Die beiden anderen kenne ich wirklich gar nicht, gut also auch das mal zu hören.
"Satz von dem zwei Polizisten" ist wohl in der russischen Literatur sehr gewöhnlich, als Ex-DDR'ler ist es also kein Wunder, dass es hier vertreten ist. Und schon sind wir hier in einem Geschichtsforum gelandet.
Die Eingangsfrage sollte ja aber mit allen Hinweisen beantwortet sein.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:46 So 15.04.2012 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Valerie,
> Das Majorantenkriterium liefert absolute Konvergenz einer
> Reihe:
Die Aussage ist in diesem Fall erstmal totaler Blödsinn. Wo geht es hier denn um Reihen? Du scheinst da verschiedene Dinge in einen Topf zu werfen!
> [mm]\summe_{k=0}^{n}a_k[/mm]
>
> wenn eine konvergente Reihe [mm]\summe_{k=0}^{n}b_k[/mm] und ein [mm]n_0[/mm]
> existiert mit [mm]|a_k|
>
> In deinem Fall ist [mm]a_k=\frac{sin(n)}{n}[/mm].
>
> Versuche also eine Folge [mm]b_k[/mm] zu finden, für die gilt:
> [mm]|a_k|=|\frac{sin(n)}{n}|[/mm][mm]\le b_k[/mm]
>
> Tipp: Der Sinus ist zwischen zwei Zahlen beschränkt.
Für die Folge ist das ja nen guter Tip. Aber was soll der Kram mit den Reihen vorher?
Insbesondere, weil es hier (auch bei Reihen!) gar nix nützen würde....
MFG,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:01 Mo 16.04.2012 | | Autor: | Valerie20 |
Hi!
> Hallo Valerie,
>
>
> > Das Majorantenkriterium liefert absolute Konvergenz einer
> > Reihe:
>
> Die Aussage ist in diesem Fall erstmal totaler Blödsinn.
> Wo geht es hier denn um Reihen? Du scheinst da verschiedene
> Dinge in einen Topf zu werfen!
>
> > [mm]\summe_{k=0}^{n}a_k[/mm]
> >
> > wenn eine konvergente Reihe [mm]\summe_{k=0}^{n}b_k[/mm] und ein [mm]n_0[/mm]
> > existiert mit [mm]|a_k|
> >
> > In deinem Fall ist [mm]a_k=\frac{sin(n)}{n}[/mm].
> >
> > Versuche also eine Folge [mm]b_k[/mm] zu finden, für die gilt:
> > [mm]|a_k|=|\frac{sin(n)}{n}|[/mm][mm]\le b_k[/mm]
> >
> > Tipp: Der Sinus ist zwischen zwei Zahlen beschränkt.
>
> Für die Folge ist das ja nen guter Tip. Aber was soll der
> Kram mit den Reihen vorher?
Habe mir die Aufgabe nicht richtig durchgelesen. Beim Antworten habe ich gedacht es ginge um Reihen.
Danke für die Korrektur.
> Insbesondere, weil es hier (auch bei Reihen!) gar nix
> nützen würde....
>
> MFG,
> Gono.
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