Grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | a) Zeige, dass für alle x [mm] \in \IR [/mm] mit IxI < 1
[mm] \bruch{1}{(1-x)^2} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (n+1)x^k [/mm] und [mm] \bruch{2}{(1-x)^3} [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)x^k [/mm] gilt.
b) Berechen mit Teil a die Grenzwerte von
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{2^n} [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^2}{2^n} [/mm] |
brauche auch hier einige Tipps, weil ich nicht weiß wie ich hier vorgehen soll.
Kann mir jemand helfen?
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Fr 01.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> a) Zeige, dass für alle x [mm]\in \IR[/mm] mit IxI < 1
>
> [mm]\bruch{1}{(1-x)^2}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (n+1)x^k[/mm] und
> [mm]\bruch{2}{(1-x)^3}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)x^k[/mm]
> gilt.
Das muß wohl
[mm]\bruch{1}{(1-x)^2}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n[/mm] und
[mm]\bruch{2}{(1-x)^3}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)x^n[/mm]
heißen.
Damit hast Du Potenzreihen, die Du gliedweise integrieren kannst. Im ersten Beispiel einmal, im zweiten zweimal. Die Reihen der Stammfunktionen haben einen bekannten Grenzwert, den differenzierst Du und findest damit die behaupteten Beziehungen.
Versuchs mal...
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:48 Sa 02.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> a) Zeige, dass für alle x [mm]\in \IR[/mm] mit IxI < 1
>
> [mm]\bruch{1}{(1-x)^2}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (n+1)x^k[/mm] und
> [mm]\bruch{2}{(1-x)^3}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)x^k[/mm]
> gilt.
>
> b) Berechen mit Teil a die Grenzwerte von
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{2^n}[/mm] und
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^2}{2^n}[/mm]
> brauche auch hier
> einige Tipps, weil ich nicht weiß wie ich hier vorgehen
> soll.
>
> Kann mir jemand helfen?
Für [mm]\bruch{1}{(1-x)^2}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (n+1)x^k[/mm] berechne das Cauchyprodukt [mm] \sum p_n [/mm] der geometrischen Reihe mit sich selbst.
Für die 2. Behauptung berechne das Cauchyprodukt von [mm] \sum p_n [/mm] und der geometrischen Reihe
FRED
>
> LG
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ok ich habe es jetzt mal versucht:
für die 1. Behauptung:
[mm] \bruch{1}{(1-x)^2} [/mm] = [mm] (\summe_{n=0}^{\infty} p^n)^2 [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (\summe_{k=0}^{n} p^n p^{n-k}) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (p^n \summe_{k=0}^{n} [/mm] 1) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] (n+1) [mm] p^n
[/mm]
und für die 2. Behauptung:
[mm] \bruch{1}{(1-x)^2} \bruch{1}{(1-x)} [/mm] = ( [mm] (\summe_{n=0}^{\infty} [/mm] (n+1) [mm] p^n)) [/mm] ( [mm] (\summe_{n=0}^{\infty} p^n)) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] ( [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] (k+1) [mm] p^k p^{n-k}) [/mm] = [mm] \summe_{n=0}^{\infty}( p^n (\summe_{k=0}^{n} [/mm] ( k+1)) = [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2} [/mm] (n+1)(n+2) [mm] p^n [/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] (n+1) (n+2) [mm] x^k [/mm] = 2 [mm] (\bruch{1}{(1-x)}^2 \bruch{1}{(1-x)} [/mm] = [mm] \bruch{2}{(1-x)^3}
[/mm]
so ich habe es mal so gemacht, stimmt das so?
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und wie kann ich den mit dem ersten teil die grenzwerte von b berechnen?
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Hallo,
> und wie kann ich den mit dem ersten teil die grenzwerte von
> b berechnen?
Du musst das nur etwas umformen und in die Form der Reihen in a) bringen.
zB. [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n}{2^n}=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n+1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2}\cdot{}\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)\cdot{}\left(\frac{1}{2}\right)^n[/mm]
Nun scharf auf a) schauen ...
Gruß
schachuzipus
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aber in a ist ja noch ein [mm] x^n [/mm] enthalten, wie mache ich das damit?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:39 Sa 02.06.2012 | | Autor: | Helbig |
> aber in a ist ja noch ein [mm]x^n[/mm] enthalten, wie mache ich das
> damit?
Um a) anzuwenden, setze [mm] $x=\frac [/mm] 1 2$.
Gruß,
Wolfgang
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ich weiß nicht wie ich den Grenzwert berechnen soll?
kann mir jemand weiterhelfen?
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:34 So 03.06.2012 | | Autor: | Marc |
Hallo
> ich weiß nicht wie ich den Grenzwert berechnen soll?
> kann mir jemand weiterhelfen?
Ich fürchte nein, da die Darstellungsmöglichkeiten eines Forums nun ausgeschöpft sind. Es wurde bereits alles gesagt, ich fasse nochmal zusammen:
Du weiß aus Aufgabenteil a): [mm] $\summe_{n=0}^{\infty} (n+1)\red{x}^n=\bruch{1}{(1-x)^2}$
[/mm]
Die Reihe, deren Grenzwert du ausrechnen willst: [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}(n+1)\cdot{}\left(\red{\frac{1}{2}}\right)^n=\ldots$
[/mm]
Viele Grüße
Marc
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Sa 02.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> ok ich habe es jetzt mal versucht:
> für die 1. Behauptung:
>
> [mm]\bruch{1}{(1-x)^2}[/mm] = [mm](\summe_{n=0}^{\infty} p^n)^2[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (\summe_{k=0}^{n} p^n p^{n-k})[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (p^n \summe_{k=0}^{n}[/mm] 1) =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] (n+1) [mm]p^n[/mm]
>
> und für die 2. Behauptung:
>
> [mm]\bruch{1}{(1-x)^2} \bruch{1}{(1-x)}[/mm] = (
> [mm](\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] (n+1) [mm]p^n))[/mm] ( [mm](\summe_{n=0}^{\infty} p^n))[/mm]
> = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] ( [mm]\summe_{k=0}^{n}[/mm] (k+1) [mm]p^k p^{n-k})[/mm]
> = [mm]\summe_{n=0}^{\infty}( p^n (\summe_{k=0}^{n}[/mm] ( k+1)) =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{2}[/mm] (n+1)(n+2) [mm]p^n[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \summe_{n=0}^{\infty}[/mm] (n+1) (n+2) [mm]x^k[/mm] = 2
> [mm](\bruch{1}{(1-x)}^2 \bruch{1}{(1-x)}[/mm] = [mm]\bruch{2}{(1-x)^3}[/mm]
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> so ich habe es mal so gemacht, stimmt das so?
Ja, aber warum schreibst Du ständig "p" ?
FRED
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