Grenzwerte + l' Hospital < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 Di 19.12.2006 | | Autor: | Idale |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{n\rightarrow 0} \bruch{e^x - e^{sinx}}{x - sinx} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
ich soll mit Hilfe der Regel von l'hospital die Grenzwerte berechnen, u. bei den folgenden Aufgaben hab ich so meine Probleme...
[mm] \limes_{n\rightarrow 0} \bruch{e^x - e^{sinx}}{x - sinx}
[/mm]
Mach ich die erste Ableitung: [mm] \bruch{e^x - e^{sinx} * cosx}{1- cosx} [/mm] kommt immer noch [mm] \bruch{0}{0}
[/mm]
Mach ich die zweite Ableitung ebenso...wat mach ich falsch??
Das gleiche gilt für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2e^x}{3x + 7e^x}
[/mm]
Erste Ableitung: [mm] \bruch{ 2e^x}{3 + 7e^x} [/mm] schon wieder [mm] \bruch{\infty}{\infty}???
[/mm]
Komisch, komisch
MFG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:52 Di 19.12.2006 | | Autor: | hopsie |
> Das gleiche gilt für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2e^x}{3x + 7e^x}[/mm]
>
> Erste Ableitung: [mm]\bruch{ 2e^x}{3 + 7e^x}[/mm] schon wieder
> [mm]\bruch{\infty}{\infty}???[/mm]
Hier musst du einfach nochmal L'Hospital anwenden, dann klappt's.
Grüße, hopsie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Idale |
Danke schön für die Antwort...
Zur Aufgabe: wenn ich aber noch mal ableite...dann fällt doch lediglich die 3 weg, sprich ich hab immer noch [mm] \bruch{2e^x}{7e^x} [/mm] ergo unendlich durch unendlich, oder etwa nicht???
Danke
MFG
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> Danke schön für die Antwort...
>
> Zur Aufgabe: wenn ich aber noch mal ableite...dann fällt
> doch lediglich die 3 weg, sprich ich hab immer noch
> [mm]\bruch{2e^x}{7e^x}[/mm] ergo unendlich durch unendlich, oder
> etwa nicht???
Hallo,
Du kannst die [mm] e^x [/mm] dann "wegkürzen".
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Di 19.12.2006 | | Autor: | hopsie |
> Hallo,
>
> ich soll mit Hilfe der Regel von l'hospital die Grenzwerte
> berechnen, u. bei den folgenden Aufgaben hab ich so meine
> Probleme...
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\0} \bruch{e^x - e^sinx}{x - sinx}[/mm]
>
> Mach ich die erste Ableitung: [mm]\bruch{e^x - e^sinx * cosx}{1- cosx}[/mm]
> kommt immer noch [mm]\bruch{0}{0}[/mm]
>
> Mach ich die zweite Ableitung ebenso...wat mach ich
> falsch??
Hallo!
Auch hier musst du die Regel einfach nochmal anwenden (also insgesamt 3 mal), dann kommt man auf den Grenzwert.
Gruß, hospie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Idale |
3.Ableitungen?!?! wohhaa
Da bin ich aber jetzt am zweifeln, dass meine 2.Ableitung überhaupt richtig ist...
[mm] \bruch{e^x - e^sinx * cos²x - e^sinx * -sinx}{sinx} [/mm] -> das sieht doch ganz schön komisch aus, oder?
Ich wüsste gar nicht so genau, wie ich davon die dritte Ableitung machen sollte? So etwa: [mm] \bruch{e^x - e^sinx * cos³x -e^sinx 2cosx(-sinx) -e^sinx *-sin²x-cosx}{cosx} [/mm] -> das kann doch erst recht nicht stimmen?!?
MFG & danke für die bisherige Hilfe
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[mm] $\rmfamily \text{Hi,}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Was heißt denn }e^8\red{inx}\text{?}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{-----------------------------------------------------------------------------------------------------------}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily f(x)=\bruch{2e^x}{3x + 7e^x}$
[/mm]
> Zur Aufgabe: wenn ich aber noch mal ableite...dann fällt doch lediglich die 3 weg
[mm] $\rmfamily \text{Du hast die erste Ableitung falsch gebildet (Quotientenregel anwenden).}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \left(\bruch{u}{v}\right)'\eqqcolon=\bruch{u'*v-u*v'}{v^2}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily f(x)=\bruch{2e^x}{3x + 7e^x} \Rightarrow f'(x)=\bruch{6e^x(x-1)}{(3x+7e^x)^2} \Rightarrow f''(x)=\bruch{6e^x(3(x^2-2x+2)-7e^x(x-2))}{(3x+7e^x)^3} \Rightarrow f'''(x)=\bruch{6e^x\left(49e^{2x}\left(x-3\right)-84e^x\left(x^2-3x+3\right)+9\left(x^3-3x^2+6x-6\right)\right)}{(3x+7e^x)^4}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Gruß, Stefan.}$
[/mm]
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> [mm]\rmfamily \text{Hi,}[/mm]
>
> [mm]\rmfamily \text{Was heißt denn }e^8\red{inx}\text{?}[/mm]
>
Hallo,
ich habe mir nicht alles durchgelesen, gehe aber ganz stark davon aus, daß es sich um einen Verstümmelten sinus handelt, also sin.
Edit: inzwischen HABE ich alles durchgelesen: es ist [mm] e^{sinx} [/mm] gemeint.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:45 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Rene |
Hinweis!
Bei der Regel von l'Hospital , werden Zähler und Nenner als Eigenständige Funktionen angesehen und Sowohl die Ableitung vom Zähler als auch vom Nenner gebildet!
d.h. [mm] \lim_{x \to \infty}{\frac {f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \infty}{ \frac{f'(x)}{g'(x)} [/mm]
Es wird nicht die gesamte Funktion abgeleitet!
MFG
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> Hinweis!
>
> Bei der Regel von l'Hospital , werden Zähler und Nenner als
> Eigenständige Funktionen angesehen und Sowohl die Ableitung
> vom Zähler als auch vom Nenner gebildet!
>
> d.h. [mm]\lim_{x \to \infty}{\frac {f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \infty}{ \frac{f'(x)}{g'(x)} [/mm]
>
Hallo Rene,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
und vielen Dank für den Hinweis!
Da ist weiter vorn im Thread etwas verkehrt.
Man hat hier übrigens die Möglichkeit, Posts, in denen einem ein Fehler auffällt, als "fehlerhaft" zu kennzeichnen, sinnigerweise schließt man dann eine Mitteilung an, in der man erklärt, was verkehrt ist.
Gruß v. Angela
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 17:27 Mi 20.12.2006 | | Autor: | angela.h.b. |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Stefan,
Rene macht darauf aufmerksam, daß Dir ein Fehler unterlaufen ist:
Du schreibst, daß Idale die Ableitung falsch gebildet hat. Das Ist nicht der Fall, denn Idale hat kein Interesse an der Ableitung der Funktion $ \rmfamily f(x)=\bruch{2e^x}{3x + 7e^x} $ , sondern sie (er?) möchte mit Hilfe der Hospitalregel $ \lim_{x \to \infty}{\frac {f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to \infty}{ \frac{f'(x)}{g'(x)} $ den Grenzwert berechnen.
Gruß v. Angela
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[mm] $\rmfamily \text{Hab' die Vermutung, dass es }\sin x\text{ heißen soll.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily f\left(x\right)=\bruch{e^x-e^8\sin x}{x-\sin x}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \Rightarrow f'\left(x\right)=\bruch{e^x\left(\cos x-\sin x+x-1\right)+e^8\left(\sin x-x*\cos x\right)}{\left(\sin x-x\right)^2}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \Rightarrow f''\left(x\right)=\bruch{e^x\left(2*\cos x*\left(\sin x-x+2\right)+\left(3x-2\right)\sin x-x^2+2x-4\right)+e^8\left(x*\cos^2 x-2*\cos x*\left(\sin x+x\right)+\left(2-x^2\right)*\sin x+x\right)}{\left(\sin x-x\right)^3}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \Rightarrow f'''\left(x\right)=\bruch{e^x\left(6*\cos^2 x*\left(\sin x-x+2\right)-2*\cos x*\left(\sin^2 x+\left(6-5x\right)*\sin x+x^2-6x+12\right)+4*\sin^3x+3\left(1-3x\right)*\sin^2 x+6\left(x^2-2x+1\right)*\sin x-x^3+3\left(x^2-2x+4\right)\right)+e^8\left(3x*\cos^3 x-6*\cos^2 x*\left(\sin x+2x\right)+\cos x*\left(2x*\sin^2x+4\left(3-x^2\right)*\sin x-x\left(x^2-9\right)\right)-3*\sin x*\left(\sin^2 x-x^2+2\right)\right)}{\left(\sin x-x\right)^4}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Stefan.}$
[/mm]
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Hallo,
ich habe nicht geprüft, ob deine Ableitungen richtig sind.
Es gilt dasselbe wie oben: diese Ableitungen interessieren im Moment nicht, da es nicht um die Ableitung der Funktion f(x) geht, sondern darum, ihren Grenzwert mit der Regel von l'Hospital zu ermitteln.
Gruß v. Angela
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
$\rmfamily \text{Übrigens:}$
$\rmfamily \text{Der Grenzwert von }f\left(x\right)=\bruch{e^x-e^8\sin x}{x-\sin x}\text{ mit }x\text{ gegen }\infty \text{ ist in der Tat }+\infty\text{!}$
$\rmfamily \text{Der Grenzwert von }f\left(x\right)=\bruch{2e^x}{3x + 7e^x}\text{ mit }x\text{ gegen }\infty }\text{: }\bruch{2}{7}\text{.}$
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:51 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Idale |
> [mm]\rmfamily \text{Übrigens:}[/mm]
>
> [mm]\rmfamily \text{Der Grenzwert von }f\left(x\right)=\bruch{e^x-e^8\sin x}{x-\sin x}\text{ mit }x\text{ gegen }\infty \text{ ist in der Tat }+\infty\text{!}[/mm]
>
> [mm]\rmfamily \text{Der Grenzwert von }f\left(x\right)=\bruch{2e^x}{3x + 7e^x}\text{ mit }x\text{ gegen }\infty }\text{: }\bruch{2}{7}\text{.}[/mm]
Mensch, so eine Aufregung und das nur wegen ein paar mathe Aufgaben...
Also das zweite Beispiel habe ich jetzt verstanden, einfach kürzen(darauf hätte ich auch selber kommen können, naja manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht)...aber wie kommt du bei
> [mm]\rmfamily \text{Der Grenzwert von }f\left(x\right)=\bruch{e^x-e^8\sin x}{x-\sin x}\text{ mit }x\text{ gegen }\infty \text{ ist in der Tat }+\infty\text{!}[/mm]
auf plus Unendlich? Das ist mir bisher ein Rätsel??
MFG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:38 Do 21.12.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo Idale.
> Also das zweite Beispiel habe ich jetzt verstanden, einfach
> kürzen(darauf hätte ich auch selber kommen können, naja
> manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht)...aber
> wie kommt du bei
> > [mm]\rmfamily \text{Der Grenzwert von }f\left(x\right)=\bruch{e^x-e^8\sin x}{x-\sin x}\text{ mit }x\text{ gegen }\infty \text{ ist in der Tat }+\infty\text{!}[/mm]
>
> auf plus Unendlich? Das ist mir bisher ein Rätsel??
Ist dir denn klar, dass [mm] e^x [/mm] schneller wächst als x, d. h. das [mm] e^x [/mm] (für große x) größere Werte annimmt als x?
[mm] \bruch{\red{e^x}-e^8\sin x}{\red{x}-\sin x}
[/mm]
Nun ziehen wir noch von [mm] e^x [/mm] :::::: [mm] e^8\sin [/mm] x ab.
[mm] e^8 [/mm] ist nur ein Vorfaktor, der in diesem Fall den Grenzwert nicht verändert.
[mm] e^8 [/mm] ist also irgendeine Zahl. Aber wie verhält sich der sinus für große x? Der nimmt Werte von -1 bis 1 an.
D.h. im schlimmsten Fall haben wir für plus 1: [mm] e^x -e^8*1
[/mm]
Das ist aber immernoch [mm] e^x. [/mm] Das heißt die Funktion [mm] $e^x -e^8 [/mm] sin(x)$ geht für große x ins Unendliche.
Selbiges bei x-sin(x). sin(x) nimmt für große x nur die Werte zwischen -1 und 1 an.
D. h. man hat z. B. da stehen x-1
Und nun hat man (mal als Gedanke aufgeschrieben):
[mm] \br{e^x-e^8}{x-1}
[/mm]
Das ändert den Grenzwert jetzt aber nicht wirklich. [mm] e^x [/mm] wächst schneller als x, geht also gegen unendlich.
Wenn ich von Unendlich (bei [mm] e^x) e^8 [/mm] abziehe, macht das auch keinen Unterschied mehr. SElbiges bei x - Wenn ich 1 abziehe, interessiert mich das für große X auch nicht mehr (oder ob ich einen drauf addiere, ist ja auch egal)
Ich habe mir das Thema nicht ganz durchgelesen, solltet ihr das mit L'Hospital lösen oder gabs da eine bestimmte Vorgehensweise?
Na ja, vielleicht ist es ja hilfreich, das abschätzen zu können.
Viele Grüße
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:00 Do 21.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Idale und auch Disap!
Ich denke, an dieser Stelle sollten wir nochmals über die korrekte Aufgabenstellung klar machen.
Nach meinem Verständnis (bzw. meiner Lesekenntnis  nach) soll das heißen:
[mm] $\limes_{x\rightarrow\red{0}}\bruch{e^x-e^{\red{\sin(x)}}}{x-\sin(x)}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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> [mm]\limes_{n\rightarrow 0} \bruch{e^x - e^{sinx}}{x - sinx}[/mm]
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> ich soll mit Hilfe der Regel von l'hospital die Grenzwerte
> berechnen, u. bei den folgenden Aufgaben hab ich so meine
> Probleme...
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow 0} \bruch{e^x - e^{sinx}}{x - sinx}[/mm]
>
> Mach ich die erste Ableitung: [mm]\bruch{e^x - e^{sinx} * cosx}{1- cosx}[/mm]
> kommt immer noch [mm]\bruch{0}{0}[/mm]
>
> Mach ich die zweite Ableitung ebenso.
Hallo,
Der Formeleditor hatte Dir leider einen Streich gespielt, und es beziehen sich Antworten auf eine Aufgabe, die Du eigentlich gar nicht stellen wolltest...
Ich hab's inzwischen editiert, und ich möchte Dir auf die Frage antworten, die Du ursprünglich stellen wolltest.
Wie Dir jemand bereits anders mitgeteilt hat, mußt Du weiter ableiten.
[mm] \limes_{n\rightarrow 0} \bruch{e^x - e^{sinx}}{x - sinx}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow 0}\bruch{e^x - e^{sinx} * cosx}{1- cosx}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow 0}\bruch{e^x +sinx*e^{sinx}-cos^2x*e^{sinx} }{sinx}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow 0}\bruch{e^x +cosx*e^{sinx}+sinx cosxe^{sinx} -cos^3xe^{sinx} -2cosxsinxe^{sinx}}{cosx}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow 0}(\bruch{e^x }{cosx}+e^{sinx}+sinx e^{sinx} -cos^2xe^{sinx} -2sinxe^{sinx})
[/mm]
[mm] =\bruch{1 }{1}+1+0-1-0=1
[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Do 21.12.2006 | | Autor: | Idale |
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow 0}\bruch{e^x +cosx*e^{sinx}+sinx cosxe^{sinx} -cos^3xe^{sinx} -2cosxsinxe^{sinx}}{cosx}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow 0}(\bruch{e^x }{cosx}+e^{sinx}+sinx e^{sinx} -cos^2xe^{sinx} -2sinxe^{sinx})[/mm]
>
> [mm]=\bruch{1 }{1}+1+0-1-0=1[/mm]
>
>
Danke, Danke, ich muss sagen ich hab jetzt alles verstanden, bis auf eine kleine winzigkeit -:)
Nämlich, woher hast du das Minus bei [mm] -2cosxsinxe^{sinx} [/mm] her? denn [-cos²xe^sinx]' ist doch = - 2cosx(-sinx)e^sinx - cos³xe^sinx
und das ergibt dann doch +2cosxsinxe^sinx
Am Ergebnis ändert sich zwar nichts, aber wissen möchte ich es schon, nicht dass ich hier mit falschen Ableitungsregeln zu werke gehe...
MFG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:05 Do 21.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Idale!
Gut aufgepasst! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Deine Variante ist richtig, da ist Angela ein Vorzeichenfehler unterlaufen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:03 Do 21.12.2006 | | Autor: | Idale |
Alles klar...
Danke schön!
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