Grenzwerte - Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | | Konvergieren die folgenden Folgen? Wenn ja, geben Sie den Grenzwert an. |
Hi,
ich habe mal diese zwei Aufgaben gerechnet. Die erste müsste stimmen, bei der zweiten weiß ich nicht weiter!
01:
$\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(n+1)(n^2-1)}{(2n+1)(3n^2+1)}$
$\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^3-n+n^2-1}{6n^3+2n+3n^2+1}$ erweitern mit $\bruch{1}{n^3}$
$\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1-\bruch{1}{n^2}+\bruch{1}{n}-1\bruch{1}{n^3}}{6+2\bruch{1}{n^2}+3\bruch{1}{n}+1\bruch{1}{n^3}$
$\bruch{1-0+0-0}{6+0+0+0}=\bruch{1}{6}$
02:
$\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{9n^2+10}}{12n+1}$
Mit den Wurzelgesetzen komme ich im Zähler nicht weiter, da sie über "Addition" verknüpft sind. Man könnte den lim hineinziehen, hätte dann aber ein Unendlich unter der wurzel stehen.
Danke
Grüße Thomas
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:41 Di 05.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Ich finde 1 ist richtig.
Bei 2 - die Folge konvergiert gegen 1/4 oder kleiner. Den Zähler kann man nämlich durch [mm] 3n+\wurzel{10} [/mm] nach oben abschätzen.
Gruß,
dormant
|
|
|
| |
|
> Hi!
>
> Ich finde 1 ist richtig.
>
> Bei 2 - die Folge konvergiert gegen 1/4 oder kleiner. Den
> Zähler kann man nämlich durch [mm]3n+\wurzel{10}[/mm] nach oben
> abschätzen.
>
> Gruß,
> dormant
Hi Dormant, danke für die Antwort!
Ich verstehe jedoch nicht ganz wie man das herausbekommt, ich kenne folgende Regel:
[mm] $\wurzel{a + b} \not= \wurzel{a}+\wurzel{b}$
[/mm]
[mm] $\wurzel{a * b} [/mm] = [mm] \wurzel{a}* \wurzel{b}$
[/mm]
Wie kann man dann diese Aufgabe lösen um auf 1/4 zu kommen?
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{9n^2+10}}{12n+1}$
[/mm]
Also ich würde gerne Zwischenschritte sehen.
Danke
Grüße Thomas
|
|
|
| |
|
Hallo Thomas,
um $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\wurzel{9n^2+10}}{12n+1} [/mm] $ zu bestimmen, klammere in der Wurzel mal [mm] $9n^2$ [/mm] aus und im Nenner $12n$
[mm] $\bruch{\wurzel{9n^2+10}}{12n+1}=\bruch{\wurzel{9n^2(1+\frac{10}{9n^2})}}{12n(1+\frac{1}{12n})} [/mm] $
[mm] $=\bruch{3n\wurzel{1+\frac{10}{9n^2}}}{12n(1+\frac{1}{12n})}=\bruch{1\wurzel{1+\frac{10}{9n^2}}}{4(1+\frac{1}{12n})}$
[/mm]
[mm] $\longrightarrow \frac{1\sqrt{1+0}}{4(1+0)}=\frac{1}{4}$ [/mm] für [mm] $n\to\infty$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:58 Di 05.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Schön umgeformt. Ich möchte nur anmerken, dass am Schluss 1/4 rauskommt (3/12 -> 1/4 -> 3/4 in der Rechnung).
Gruß,
dormant
|
|
|
| |
|
Danke, habs verbessert, war in der vorletzten Zeile noch richtig, hab aber dann wohl falsch abgeschrieben.
Naja
Danke nochmal
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:22 Mi 06.06.2007 | | Autor: | KnockDown |
Hi schachuzipus,
danke für den ausführlichen Lösungsweg! Ich werde mich jetzt mal an Folgen versuchen, die auch eine Wurzel haben!
Danke!
Grüße Thomas
|
|
|
|
