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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Sa 18.02.2006 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe 1 | | Gegeben ist die Funktion f. Für welche Stelle a [mm] \in \IR [/mm] ist f nicht definiert? Bestimme [mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] f(x), falls dieser Grenzwert existiert. |
| Aufgabe 2 | Nun die einzelnen Aufgaben :
a.) f (x) = [mm] (x-1)*x/x^1
[/mm]
b.) f (x) = x*(x+4)/x
c.) f (x) = (x-1)²/1-x²
d.) f (x) = x²+4x+4/x+2
e.) f (x) = (x-1)*(x+2)/x+2
f.) f (x) = x³+x²+x-3/x-1
g.) f (x) = x²-1/x-1
h.) f (x) = x²+1/(x+1)³
i.) f (x) = x/x²-1 |
Okay,
Fangen wir an. Den ersten Teil der Aufgabenstellung nämlich : Bestimme [mm] \limes_{x\rightarrow a} [/mm] f(x) ist ja noch relativ einfach.
Fangen wir einfach an mit a.)
Habe da für x --> 0
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} (x-1)*x/x^1
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] (x-1)/1
= [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] (0-1)/1
= -1
Der Grenzwert liegt also bei der Aufgabe a.) bei -1 !
Wäre das richtig?
Bin mir bei den Aufgaben halt gar nicht sicher :(
Nun zu b.)
b.) f (x) = x*(x+4)/x
Habe dort x ---> 0
= [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] x*(x+4)/x
= [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] (x+4)/1
= [mm] \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] (0+4)/1
= 4
Hier würde der Grenzwert dann bei 4 liegen. Richtig?
Nun c.) da bin ich schon das erste mal so richtig unsicher gewesen. Denke nicht das es so wie ich es habe richtig ist aber naja.
c.) f (x) = (x-1)²/1-x²
Habe hier x --> 1
= [mm] \limes_{x\rightarrow 1} [/mm] (x-1)²/1-x²
= [mm] \limes_{x\rightarrow 1} [/mm] x²-2x+1/1-x²
= [mm] \limes_{x\rightarrow 1} [/mm] -2x/1 (ich glaub hier liegt irgendwo mein Fehler)
= [mm] \limes_{x\rightarrow 1} [/mm] -2*1/1
= -2
Hier liegt meiner Rechnung nach der Grenzwert bei -2 .
Ist sicher nicht richtig oder?
d.) f (x) = x²+4x+4/x+2
Für x ---> -2
= [mm] \limes_{x\rightarrow -2} [/mm] x²+4x+4/x+2
= [mm] \limes_{x\rightarrow -2} [/mm] (x+2)*(x+2)/x+2
= [mm] \limes_{x\rightarrow -2} [/mm] (x+2)/1
= [mm] \limes_{x\rightarrow -2} [/mm] (-2+2)/1
= 0
Hier liegt der Grenzwert bei 0.
e.) f (x) = (x-1)*(x+2)/x+2
Für x --> -2
= [mm] \limes_{x\rightarrow -2} [/mm] (x-1)*(x+2)/x+2
= [mm] \limes_{x\rightarrow -2} [/mm] (x-1)/1
= [mm] \limes_{x\rightarrow -2} [/mm] (-2-1)/1
= -3
Der Grenzwert liegt hier bei -3!
Bei f,g,h und i komme ich überhaupt gar nicht klar. Das bekomme ich leider nicht hin :( Weiß nur das bei f.) x gegen 1 strebt, bei g.) ebenso bei h.) strebt x gegen -1 und bei i.) strebt x wieder gegen 1.
Wäre super wenn ihr mir irgendwie helfen könntet.
Vielen Dank schonmal im Voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:12 Sa 18.02.2006 | | Autor: | Kristof |
Bei meinen Limes ist es irgendwie immer falsch.
Habe aber vorher ja hin geschrieben wogegen x strebt.
Hoffe das führt nicht zur unübersichtlichkeit :(
Naja...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Sa 18.02.2006 | | Autor: | Kristof |
> c.) f (x) = (x-1)²/1-x²
> Habe hier x --> 1
>
> = $ [mm] \limes_{x\rightarrow 1} [/mm] $ (x-1)²/1-x²
> = $ [mm] \limes_{x\rightarrow 1} [/mm] $ x²-2x+1/1-x²
> = $ [mm] \limes_{x\rightarrow 1} [/mm] $ -2x/1 (ich glaub hier liegt irgendwo mein Fehler)
Völlig richtig vermutet! Du darfst nämlich nicht aus Summen kürzen!
Aber löse den Nenner mal gemäß 3. binomischer Formel auf:
$ [mm] \bruch{(x-1)^2}{1-x^2} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{(x-1)^2}{x^2-1} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{(x-1)^2}{(x+1)\cdot{}(x-1)} [/mm] \ = \ ... $
Weißt Du nun alleine weiter?
________________
Ja klar ;)
Super daran habe ich gar nicht gedacht.
Nun mal die Aufgabe :
= [mm] \limes_{x \rightarrow 1} [/mm] (x-1)²/1-x²
= [mm] \limes_{x \rightarrow 1} [/mm] (x-1)*(x-1)/(x+1)(x-1)
= [mm] \limes_{x \rightarrow 1} [/mm] (x-1)/(x+1)
= [mm] \limes_{x \rightarrow 1} [/mm] (1-1)/(1+1)
= 0
Also ist der Grenzwert bei 0 ? Wäre ja cool wenn's jetzt richtig wäre.
Aufgabe f.)
Mit der Polynomdivision komme ich bei der Aufgabe nicht klar :(
Irgendwie schaff ich das nicht :(
Aufgabe g.)
Habe ich ausversehen die falsche aufgabenstellung gegeben die richtig ist :
f(x) = x³-1/x-1
Wie macht man es jetzt?
Zu h bzw. i) Darf denn im nenner überhaupt eine 0 stehen? Bedeutet das dann das der Grenzwert gegen [mm] \infty [/mm] läuft?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:09 Sa 18.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Kristof!
> Nun mal die Aufgabe :
>
> = [mm]\limes_{x \rightarrow 1}[/mm] (x-1)²/1-x²
> = [mm]\limes_{x \rightarrow 1}[/mm] (x-1)*(x-1)/(x+1)(x-1)
> = [mm]\limes_{x \rightarrow 1}[/mm] (x-1)/(x+1)
> = [mm]\limes_{x \rightarrow 1}[/mm] (1-1)/(1+1)
> = 0
Der Grenzwert stimmt am Ende. Allerdings verschlampst Du unterwegs ein Minsuzeichen (2. Zeile).
Es muss heißen:
[mm] $\red{-}\bruch{x-1}{x+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1-x}{1+x}$
[/mm]
> Aufgabe f.)
> Mit der Polynomdivision komme ich bei der Aufgabe nicht
> klar :(
> Irgendwie schaff ich das nicht :(
Dann poste doch mal bitte, wie weit Du hier kommst ...
> Aufgabe g.)
> Habe ich ausversehen die falsche aufgabenstellung gegeben
> die richtig ist :
>
> f(x) = x³-1/x-1
... denn auch hier ist eine  Polynomdivision [mm] $\left(x^3-1\right):(x-1)$ [/mm] erforderlich!
> Zu h bzw. i) Darf denn im nenner überhaupt eine 0 stehen?
Diese Ausdrücke mit der Null im Nenner sind selbstverständlich in Anführungszeichen zu verstehen, denn wir dürfen nicht durch Null teilen.
> Bedeutet das dann das der Grenzwert gegen [mm]\infty[/mm] läuft?
Das kommt drauf an, ob Du dich von rechts oder von links den jeweilgen Stellen näherst.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 So 19.02.2006 | | Autor: | Kristof |
> Hallo Kristof!
>
>
> > Nun mal die Aufgabe :
> >
> > = [mm]\limes_{x \rightarrow 1}[/mm] (x-1)²/1-x²
> > = [mm]\limes_{x \rightarrow 1}[/mm] (x-1)*(x-1)/(x+1)(x-1)
> > = [mm]\limes_{x \rightarrow 1}[/mm] (x-1)/(x+1)
> > = [mm]\limes_{x \rightarrow 1}[/mm] (1-1)/(1+1)
> > = 0
>
> Der Grenzwert stimmt am Ende. Allerdings verschlampst Du
> unterwegs ein Minsuzeichen (2. Zeile).
>
> Es muss heißen:
>
> [mm]\red{-}\bruch{x-1}{x+1} \ = \ \bruch{1-x}{1+x}[/mm]
>
>
> > Aufgabe f.)
> > Mit der Polynomdivision komme ich bei der Aufgabe nicht
> > klar :(
> > Irgendwie schaff ich das nicht :(
>
> Dann poste doch mal bitte, wie weit Du hier kommst ...
Habe es nun doch hinbekommen ;)
Gestern war es zuviel, aber heute morgen ging es eigentlich ganz easy. Wenn's jetzt nicht richtig ist bekomm ich 'nen Föhn...
Okay, Aufgabe f.)
f(x) = x³+x²+x-3/x-1
= [mm]\limes_{x \rightarrow 1}[/mm] x³+x²+x-3/x-1
Polynomdivision :
= [mm]\limes_{x \rightarrow 1}[/mm] (x³+x²+x-3)/(x-1) = x²+2x+3
= [mm]\limes_{x \rightarrow 1}[/mm] (x²+2x+3)*(x-1)/(x-1)
= [mm]\limes_{x \rightarrow 1}[/mm] (x²+2x+3)/1
= [mm]\limes_{x \rightarrow 1}[/mm] 1²+2*1+3/1
= 6
Demnach müsste der Grenzwert hier bei 6 liegen ist das richtig?
> > Aufgabe g.)
> > Habe ich ausversehen die falsche aufgabenstellung gegeben
> > die richtig ist :
> >
> > f(x) = x³-1/x-1
>
> ... denn auch hier ist eine Polynomdivision
> [mm]\left(x^3-1\right):(x-1)[/mm] erforderlich!
Okay Meister, habe ich gemacht :)
g.) f(x) = x³-1/x-1
= [mm]\limes_{x \rightarrow 1}[/mm] x³-1/x-1
Polynomdivision :
= [mm]\limes_{x \rightarrow 1}[/mm] (x³-1)/(x-1)=x²+1x+1
= [mm]\limes_{x \rightarrow 1}[/mm] (x²+1x+1)*(x-1)/(x-1)
= [mm]\limes_{x \rightarrow 1}[/mm] (x²+1x+1)/1
= [mm]\limes_{x \rightarrow 1}[/mm] 1²+1*1+1/1
= 3
Hier liegt der Grenzwert dann wohl bei 3 richtig?
> > Zu h bzw. i) Darf denn im nenner überhaupt eine 0 stehen?
>
> Diese Ausdrücke mit der Null im Nenner sind
> selbstverständlich in Anführungszeichen zu verstehen, denn
> wir dürfen nicht durch Null teilen.
>
>
> > Bedeutet das dann das der Grenzwert gegen [mm]\infty[/mm] läuft?
>
> Das kommt drauf an, ob Du dich von rechts oder von links
> den jeweilgen Stellen näherst.
Also ist der Grenzwert bei h und i.) [mm] \infty [/mm] aber wie bekomme ich raus von welcher Seite er sich nähert? Die Aufgabe verstehe ich leider gar nicht :(
*heul*
> Gruß
> Loddar
Vielen Dank für deine bisherige Hilfe,
Hoffe die letzte Aufgabe bekomm ich auch irgendwie noch hin...
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]"){kind=small}
Und ein Ausdruck [mm] $\bruch{c}{0}$ [/mm] strebt immer gegen [mm] $\pm\infty$ [/mm] (je nach dem Vorzeichen von $c_$) .
