Grenzwerte berechnen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:57 Di 20.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Hallo, ich soll bei folgenden Aufgaben den Grenzwert berechnen und falls es möglich ist, mit der Regel von l`Hospital:
a) [mm] \limes_{n\rightarrow\1} \bruch{x-1}{ln(x)}
[/mm]
b) [mm] \limes_{n\rightarrow\0} \bruch{cos(x)-1}{x^{2}}
[/mm]
c) [mm] \limes_{n\rightarrow\0} (\bruch{1}{sin(x)}-\bruch{1}{x})
[/mm]
d) [mm] \limes_{n\rightarrow\0} \bruch{x^{2}*cos(\bruch{1}{x}}{sin(x)}
[/mm]
e) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] tanh(x) = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{sinh(x)}{cosh(x)}
[/mm]
f) [mm] \limes_{n\rightarrow\0+0} x^{x} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\0+0} e^{ln(x^{x})}
[/mm]
Vielleicht könnte mir jemand bei den jeweiligen Aufgaben auf die Sprünge helfen mit kurzen Statements was zu machen ist, damit mir das ganze hier etwas leichter fällt!
Wäre super nett
lg Surfer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Di 20.05.2008 | | Autor: | fred97 |
Bei a) bis d) schreibst Du unter "lim" n statt x, und wogegen x streben soll hast Du uns verheimlicht.
FRED
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Hallo Surfer,
du könntest wahrlich etwas sorgfältiger aufschreiben und mal die Vorschaufunktion benutzen.
Lasse bei dem Limesausdruck den Backslash vor dem Grenzwert weg
Klicke mal auf meine Formel für (a), dann siehst du's:
[mm] $\lim\limits_{x\to 1}\bruch{x-1}{\ln(x)}$
[/mm]
Was passiert, wenn du 1 mal einsetzt? Dann steht da der unbestimmte Ausdruck [mm] $\bruch{0}{0}$, [/mm] also kannst du die Regel von de l'Hôpital anwenden.
Leite Zähler und Nenner getrennt ab und schaue, was mit dem Ergebnis passiert für [mm] $x\to [/mm] 1$
Also [mm] $\lim\limits_{x\to 1}\bruch{x-1}{\ln(x)}=\lim\limits_{x\to 1}\bruch{[x-1]'}{[\ln(x)]'}=\lim\limits_{x\to 1}\bruch{1}{\bruch{1}{x}}=\lim\limits_{x\to 1}x=1$
[/mm]
Die Regel von de l'Hôpital kannst du immer dann anwenden, wenn der Quotient [mm] $\frac{f(x)}{g(x)}$ [/mm] für [mm] $x\to x_0$ [/mm] gegen einen unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$ [/mm] oder [mm] $\pm\frac{\infty}{\infty}$ [/mm] strebt
Das gilt auch für mehrfache Anwendung dieser Regel, bei (b) zB brauchst du de l'Hôpital 2mal...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:33 Di 20.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Oh sorry, ja man sollte manchmal aufmerksamer im Leben sein, sorry nochmal, habs jetzt nochmal verbessert:
a) [mm] \limes_{x\rightarrow\\1} \bruch{x-1}{ln(x)} [/mm]
b) [mm] \limes_{x\rightarrow\\0} \bruch{cos(x)-1}{x^{2}} [/mm]
c) [mm] \limes_{x\rightarrow\\0} (\bruch{1}{sin(x)}-\bruch{1}{x}) [/mm]
d) [mm] \limes_{x\rightarrow\\0} \bruch{x^{2}*cos(\bruch{1}{x})}{sin(x)} [/mm]
e) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] tanh(x) = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{sinh(x)}{cosh(x)} [/mm]
f) [mm] \limes_{x\rightarrow\\0+0} x^{x} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\\0+0} e^{ln(x^{x})} [/mm]
Vielleicht könnte mir jemand bei den jeweiligen Aufgaben auf die Sprünge helfen mit kurzen Statements was zu machen ist, damit mir das ganze hier etwas leichter fällt!
Wäre super nett
lg Surfer
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Hallo Surfer!
Bei L'Hospital musst du Nenner und Zähler getrennt ableiten(Keine Quotientenregel) und dann versuchen den Limes der so abgeleiteten Funktion zu bilden:
a) lim x gegen 1 = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{x}} [/mm] = 1
b) Da bei diesem Limes auch nach 1maligem Ableiten wieder 0/0 (unbestimmter Ausdruck)gilt wendest du L' Hospital nochmals an und erhälst -0,5. (Probiere selbst weiter!)
Gruß
Angelika
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Di 20.05.2008 | | Autor: | Surfer |
wie mache ich es bei c) kann sein dass ich dort erst mal einen Hauptnenner bilden sollte um etwas ableiten zu können?
Gruß Surfer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Di 20.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, warum probierst du sowas nicht bevor du fragst?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Di 20.05.2008 | | Autor: | Surfer |
kann das sein, dass nach 3 maligem anwenden der Regel von l`Hopital der Grenzwert 1 herauskommt?
lg Surfer
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Hallo nochmal,
wenn du (c) meinst, dann nein, 2malige Anwendung von de l'Hôpital sollte reichen und zum GW 0 führen
Zeige am besten immer deine Rechnung, dann müssen wir 1. nicht alles selber nachrechnen und können 2. schneller sehen, wo evtl ein Fehler ist
Also schreib mal auf, was du gerechnet hast
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Di 20.05.2008 | | Autor: | Surfer |
also bei der c) erhalte ich durch Hauptnennerbildung:
[mm] \limes_{x\rightarrow\\0} (\bruch{x-sin(x)}{x*sin(x)} [/mm] nach dem ersten anwenden von l`Hopital:
[mm] \limes_{x\rightarrow\\0} (\bruch{1-cos(x)}{sin(x)+x*cos(x)} [/mm] nach dem zweiten anwenden von l`Hopital:
[mm] \limes_{x\rightarrow\\0} (\bruch{sin(x)}{2cos(x)-x*sin(x)} [/mm] und daraus ergibt sich dann der GW = 0
und bei d) zunächst umgeformt zu:
[mm] \limes_{n\rightarrow\\0} \bruch{x^{2}*cos(x^{-1}}{sin(x)}
[/mm]
und durch anwenden von l`Hopital egibt sich dann:
[mm] \limes_{n\rightarrow\\0} \bruch{2x*cos(x^{-1}-x^{2}*sin(x^{-1})*(-1x^{-2})}{cos(x)} [/mm] und daraus folgt der GW = 2
stimmen diese zwei Aufgaben so?
und wie muss ich bei e) und f) vorgehen?? keine Ahnung
darf ich bei e) auch l`Hopital anwenden?
lg Surfer
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Hallo Surfer,
> also bei der c) erhalte ich durch Hauptnennerbildung:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\\0} (\bruch{x-sin(x)}{x*sin(x)}[/mm] nach
> dem ersten anwenden von l'Hopital:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\\0} (\bruch{1-cos(x)}{sin(x)+x*cos(x)}[/mm]
> nach dem zweiten anwenden von l'Hopital:
> [mm]\limes_{x\rightarrow\\0} (\bruch{sin(x)}{2cos(x)-x*sin(x)}[/mm]
> und daraus ergibt sich dann der GW = 0 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, sehr schön so !
>
> und bei d) zunächst umgeformt zu:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\\0} \bruch{x^{2}*cos(x^{-1}}{sin(x)}[/mm]
>
> und durch anwenden von l'Hopital egibt sich dann:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\\0} \bruch{2x*cos(x^{-1}-x^{2}*sin(x^{-1})*(-1x^{-2})}{cos(x)}[/mm]
> und daraus folgt der GW = 2 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Ich habe mir das so überlegt, das [mm] $\cos\left(\frac{1}{x}\right)$ [/mm] geht ja für [mm] $x\to [/mm] 0$ gegen [mm] $\cos(\infty)$, [/mm] das oszilliert also immer zwischen -1 und 1 rum, ist also betragsmäßig durch 1 beschränkt
Ich habe mir dann [mm] $\frac{x^2}{\sin(x)}$ [/mm] angeschaut und. Das geht gegen $0$ für [mm] $x\to [/mm] 0$ (1mal de l'Hôpital)
>
> stimmen diese zwei Aufgaben so?
> und wie muss ich bei e) und f) vorgehen?? keine Ahnung
> darf ich bei e) auch l'Hopital anwenden?
Sind denn bei (e) die Voraussetzungen erfüllt, um de l'Hôpital anwenden zu können?
Du kannst ganz einfach über die Definition von [mm] $\sinh(x)$ [/mm] und [mm] $\cosh(x)$ [/mm] gehen, zusammenfassen und [mm] $e^x$ [/mm] in Zähler und Nenner ausklammern, dann siehst du's...
Bei (f) untersuche den Exponenten von [mm] $e^{x\ln(x)}$, [/mm] also [mm] $x\ln(x)$ [/mm] mit de l'Hôpital
Dazu bringe es zuerst in die passende Form:
[mm] $x\ln(x)=\frac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}$ [/mm]
Das strebt für [mm] $x\downarrow [/mm] 0$ gegen [mm] $-\frac{\infty}{\infty}$
[/mm]
Wunderbar, also ran mit de l'Hôpital. Das Ergebnis dann am Ende [mm] $e^{(...)}$ [/mm] nehmen...
> lg Surfer
>
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Surfer |
also die e) und f) hab ich jetzt mal so gemacht wie es mir hier erklärt wurde:
e) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\bruch{e^{x}-e^{-x}}{2}}{\bruch{e^{x}+e^{-x}}{2}}
[/mm]
dann kann man [mm] e^{x} [/mm] ausklammern und es ergibt sich:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{e^{x}(1-e^{-2x})}{e^{x}(1+e^{-2x})} [/mm] und daraus folgt der GW = 0
f) hab ich xln(x) nach l`Hopital abgeleitet und erhalte dann [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] also GW = [mm] e^{-\bruch{1}{2}} [/mm]
stimmt dies soweit?
nur bei der d) kappiere ich nicht wieso man dies so aufsplitten darf wieso darf ich sagen [mm] cos(\bruch{1}{x}) [/mm] wird für [mm] x\to [/mm] 0 unendlich und man leitet nur noch [mm] \bruch{x^{2}}{sin(x)} [/mm] ab?
lg Surfer
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GW = 1 ist richtig, denn es ist
[mm]\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{e^{x}(1-e^{-2x})}{e^{x}(1+e^{-2x})}[/mm]
[mm]= \limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1-e^{-2x}}{1+e^{-2x}}[/mm]
[mm]= \bruch{1-0}{1+0} = 1[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Für [mm] $\limes_{x\rightarrow 0}x*\ln(x)$ [/mm] solltest Du aber den Grenzwert $0_$ erhalten. Wie hast Du denn gerechnet? Wie lautet der Bruch nach der de l'Hospital-Anwendung?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Surfer |
Nach der l`Hopital Anwendung habe ich :
[mm] \bruch{\bruch{1}{x}}{-x^{-2}} [/mm] oder?
lg Surfer
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> Nach der l'Hopital Anwendung habe ich :
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> [mm]\bruch{\bruch{1}{x}}{-x^{-2}}[/mm] oder?
>
> lg Surfer
Genau, und somit kannst du nun schreiben:
[mm]\limes_{x\rightarrow 0}\left(x^{x}\right) = \limes_{x\rightarrow 0}\left(e^{\ln(x)}\right)^{x} = \limes_{x\rightarrow 0}\left(e^{x*\ln(x)}\right)[/mm]
Da [mm] e^{(...)} [/mm] stetig ist, durftest du nun auch schreiben:
[mm]\limes_{x\rightarrow 0}\left(e^{x*\ln(x)}\right) = e^{\limes_{x\rightarrow 0}{x*\ln(x)}}[/mm]
Nun berechnest du zunächst den Grenzwert in der e-Funktion, und zwar
[mm]\limes_{x\rightarrow 0}{x*\ln(x)} = \limes_{x\rightarrow 0}{\bruch{\ln(x)}{\bruch{1}{x}}} \overbrace{=}^{l'H} \limes_{x\rightarrow 0}{\bruch{\left(\ln(x)\right)'}{\left(\bruch{1}{x}\right)'}} = \limes_{x\rightarrow 0}{\bruch{\bruch{1}{x}}{-\bruch{1}{x^{2}}}} = \limes_{x\rightarrow 0}-x[/mm] = 0.
Nun ist also
[mm]\limes_{x\rightarrow 0}\left(x^{x}\right) = e^{\limes_{x\rightarrow 0}{x*\ln(x)}} = e^{0} = 1[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Surfer |
ändert das was, dass der limes von rechts kommend gemeint ist?
da es ja heißt: [mm] \limes_{x\rightarrow\\0+0} x^{x} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\\0+0} e^{ln(x^{x})}
[/mm]
achso bei der d) verstehe ich das vorgehen immer noch nicht, vielleicht könnte mir dies nochmals jemand erklären!!
lg Surfer
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> ändert das was, dass der limes von rechts kommend gemeint
> ist?
> da es ja heißt: [mm]\limes_{x\rightarrow\\0+0} x^{x}[/mm] =
> [mm]limes_{x\rightarrow\\0+0} e^{ln(x^{x})}[/mm]
Nein, das ändert nichts. Ich vermute, das hat man hingeschrieben, damit von der "netten" [mm] x^{x}-Funktion [/mm] von rechts her ausgehen kann und nicht von der "schlimmen" von links, die ja eine "alternierende Funktion" ist.
> achso bei der d) verstehe ich das vorgehen immer noch
> nicht, vielleicht könnte mir dies nochmals jemand
> erklären!!
Das Vorgehen zu d) habe ich unten erklärt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Mi 21.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Surfer!
Für negative $x_$ wäre die Umformung in die e-Funktion nicht möglich, da [mm] $\ln(x)$ [/mm] ausschließlich für positive Zahlen definiert ist.
Gruß
Loddar
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Zu d)
Zunächst musst du dir klar machen, dass man L'Hospital hier nicht anwenden kann; daran ist vor allem der [mm]\cos\left(\bruch{1}{x}\right)[/mm] schuld, da er keinen festen Grenzwert für [mm]x \to 0[/mm] liefert... Auf jeden Fall wird durch ihn irgendetwas verletzt, was Voraussetzung für L'Hospital ist (Guck mal in deine Mitschriften).
Schachuzipus' Überlegung geht so:
[mm]\limes_{x\rightarrow 0}\cos\left(\bruch{1}{x}\right)[/mm]
hat zwar keinen festen Grenzwert, wir können den Grenzwert aber abschätzen:
[mm]-1 \le \limes_{x\rightarrow 0}\cos\left(\bruch{1}{x}\right) \le 1[/mm]
Das ist klar, denn der Grenzwert kann ja nicht außerhalb des Wertebereiches vom Cosinus liegen. An sich bringt dieses Wissen erstmal relativ wenig - wenn man aber zeigen kann, dass der restliche Faktor gegen 0 geht, ist klar dass dann auch der [mm]\cos\left(\bruch{1}{x}\right)[/mm] diesen Grenzwert nicht mehr beeinflusst.
D.h. man untersucht jetzt den Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\bruch{x^2}{sin(x)}
[/mm]
und stellt relativ schnell fest (L'hospital). dass der gegen 0 geht. Das heißt man kann den ganzen Grenzwert wegen obiger Begründung berechnen, er ist 0.
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