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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Sa 14.08.2010 | | Autor: | M-Ti |
Hallo!
Ich habe eine Frage zur Grenzwertberechnung.
Folgende Funktion ist gegeben:
[mm] f(x)=\bruch{7x+5}{x^2+4x+3}
[/mm]
Die Polstellen sind bei -3 und -1
gesucht sind die Grenzwerte:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x)
[/mm]
Das habe ich mit L-Hospital gemacht und bekomme 0 raus.
Aber ich weiss nicht wie ich den grenzwert berechnen soll, wenn gefragt ist:
lim x->-3,x<-3 f(x) bzw. x->-3,x>-3 f(x)
Ich habe da jetzt schon lange bei verschiedenen Aufgaben rumprobiert aber bis auf einige Glückstreffer lag ich daneben.
Ich habe z.B. für lim x->-3,x<-3 f(x) einfach eine Zahl die kleiner ist als -3, z.B. -4 eingesetzt und geschaut ob das ganze negativ oder positiv wird.
Kann jemand bitte helfen?
Und wie mache ich das wenn ich eine Funktion
[mm] g(x)=e^{-x}*\bruch{x-3}{x+2} [/mm] habe. Die Polselle ist hier -2. Reicht es denn hier einfach, wenn ich für e^(-x) größere/kleinere Zahl für als -2 einsetzte? Oder muss ich den Rest der Fuktion (Bruch) auch betrachten?
lim x->-2, x<-2 z.B. e^(-3) würde meiner Meinung nach dann gegen -Unendlich und
lim x->-2, x>-2 z.B. e^(+3) würde m.E. gegen plus Unendlich laufen.
Vielen vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Sa 14.08.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast ja schon geschrieben, dass bei x=-1 und -3 polstellen sind. d.h. f geht gegen + oder - unendlich.
Der Zähler ist in er umgebung von beiden Stellen negativ, den Nenner schreibst du als (x+3)*(x+1)
wenn du von links gegen -3 gehst, also x<-3 sind beide faktoren negativ, der Nenner pos, Bruch neg also von links gegen -3 gegen [mm] -\infty, [/mm] von rechts -1>x>-3 ist Nenner neg, also Bruch gegen [mm] +\infty.
[/mm]
entsprechend bei -1 argumentieren.
Auch bei x gegen [mm] \infty [/mm] braucht man l'Hopital nicht (ist aber richtig) einfacher ist in Z und N x ausklammern, dann sieht man direkt, dass es gegen 0 geht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Sa 14.08.2010 | | Autor: | M-Ti |
Hallo!
Vielen Dank für die schnelle Antwort.
Also setze ich die Polstellen stets in den Zähler ein und und die x<-3 bzw. x>-3 oder x<-1 bzw. x>-1 in den Nenner? Kann ich immer sturr so vorgehen?
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Hallo M-Ti,
> Hallo!
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> Vielen Dank für die schnelle Antwort.
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> Also setze ich die Polstellen stets in den Zähler ein und
> und die x<-3 bzw. x>-3 oder x<-1 bzw. x>-1 in den Nenner?
> Kann ich immer sturr so vorgehen?
Wenn schon, dann stur ...
Du musst schauen, wie der Gesamtbruch sich "in der Nähe" der Polstellen verhält.
Dazu schaue, was die einzelnen Faktoren in Zähler und Nenner in der Nähe der Polstellen machen.
Du weißt vorab (da es Polstellen sind), dass der Gesamtbruch gegen [mm] $+\infty$ [/mm] oder [mm] $-\infty$ [/mm] abhaut.
Es gilt, das VZ rauszufinden:
Machen wir das an deinem Bsp. mal für die Polstelle $x=-3$
Schauen wir zunächst, was links von dieser Stelle, also für $x<-3$ los ist.
Im Zähler steht $7x+5$. Das ist für $x<-3$ sicher negativ, also $<0$
Im Nenner hast du die Faktoren $(x+3)$ und $(x+1)$
Für $x<-3$ ist $x+3<0$ und auch $x+1<0$
Also hast du insgesamt in der Nähe und links von $x=-3$ die Situation
[mm] $\frac{7x+5}{(x+3)\cdot{}(x+1)}$ [/mm] "=" [mm] $\frac{-}{- \ \cdot{} \ -}$
[/mm]
Mal ganz salopp geschrieben ...
"-" mal "-" gibt "+", und [mm] $\frac{-}{+}=-$, [/mm] also geht der Bruch gegen [mm] $-\infty$
[/mm]
Nun schaue mal, was passiert, wenn du dich von rechts, also für $x>-3$ an -3 heranpirscht ...
Genauso systematisch kannst du das für die andere Polstelle untersuchen ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:50 Sa 14.08.2010 | | Autor: | M-Ti |
OK, vielen lieben Dank!
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