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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:17 Di 15.08.2006 | | Autor: | ff1985 |
| Aufgabe | Berechnen sie folgende Grenzwerte:
(denkt euch unter dem Limes ein x - das Programm zickt bei einem x)
a) [mm] \limes_{n\rightarrow -3} \bruch{x^2-x-12}{x+3} [/mm] Lösung: -7
b) [mm] \limes_{n\rightarrow 2} \bruch{(x-2)(3x+1)}{4x-8} [/mm] Lösung: 7/4
c) [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^2}{x^2-4x+1} [/mm] Lösung: 1
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Hallo!
Ich versuche nun schon seit Stunden heraus zu finden, wie man auf diese Lösungen kommt.
(da ich seit sehr laaaanger Zeit keine Grenzwertaufgaben mehr gelöst habe, sind meine theoretischen Grundlagen nicht mehr die besten - wundert euch also nicht, wenn ich ein paar Regeln durcheinander gebracht habe)
meine Ansätze wären
a) -3 einsetzen [mm] \to \bruch{9+3-12}{0} \to \bruch{0}{0} [/mm] (kann man da jetzt die Regel von L'Hospital anwenden?)
[mm] \to \bruch{2 (-3)-1}{1} [/mm] = -7 oder ist das nur Zufall? (ich meine nur, weil wir die Regel von L'Hospital erst viel später behandelt hatten und eigentlich alles ohne sie lösbar sein sollte)
b) ist auch mit L'Hospital lösbar, aber wie ohne?
c) wenn man [mm] \infty [/mm] hat, muss man doch schauen, dass es immer in Form eines Bruches steht, um einen Grenzwert zu bekommen, nicht?
[mm] \to [/mm] mit [mm] \bruch{1}{x^2} [/mm] erweitern [mm] \to \bruch{1}{1-\bruch{4}{x}+\bruch{1}{x^2}}
[/mm]
darf man jetzt für [mm] \bruch{4}{x} +\bruch{1}{x^2} [/mm] einfach = 0 schreiben? oder ist das nur ein Zufall?
falls ihr noch sonstige allg. Tipps zum lösen von Grenzwertaufgaben hättet, wäre ich ebenfalls sehr froh 
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Di 15.08.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo ff1985,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> a) -3 einsetzen [mm]\to \bruch{9+3-12}{0} \to \bruch{0}{0}[/mm]
> (kann man da jetzt die Regel von L'Hospital anwenden?)
> [mm]\to \bruch{2 (-3)-1}{1}[/mm] = -7 oder ist das nur Zufall?
Nein, das ist kein Zufall, sondern das Ergebnis von  de l'Hospital, den man hier auch wirklich anwenden darf, wegen des unbestimmten Ausdruckes [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] .
> (ich meine nur, weil wir die Regel von L'Hospital erst viel
> später behandelt hatten und eigentlich alles ohne sie
> lösbar sein sollte)
Wende im Zähler mal die p/q-Formel an und faktorisiere so den Zähler. Damit solltest Du erhalten:
$f(x) \ = \ [mm] \bruch{x^2-x-12}{x+3} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(x-4)*(x+3)}{x+3} [/mm] \ = \ ...$
Nun kannst Du den Term $(x+3)_$ kürzen und den Grenzwert berechnen.
> b) ist auch mit L'Hospital lösbar, aber wie ohne?
Klammere im Nenner mal $4_$ aus und Du kannst wieder einen Term kürzen.
> c) wenn man [mm]\infty[/mm] hat, muss man doch schauen, dass es
> immer in Form eines Bruches steht, um einen Grenzwert zu
> bekommen, nicht?
Nein, das ist nicht immer zwingend erforderlich, aber oft hilfreich ... 
> [mm]\to[/mm] mit [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm] erweitern [mm]\to \bruch{1}{1-\bruch{4}{x}+\bruch{1}{x^2}}[/mm]
>
> darf man jetzt für [mm]\bruch{4}{x} +\bruch{1}{x^2}[/mm] einfach = 0
> schreiben? oder ist das nur ein Zufall?
Nein, auch das ist kein Zufall, da ja jeweils gilt:
[mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{4}{x} [/mm] \ = \ 0$ bzw. [mm] $\limes_{x\rightarrow\infty}\bruch{1}{x^2} [/mm] \ = \ 0$ .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Di 15.08.2006 | | Autor: | ff1985 |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \bruch{(1+\bruch{x}{n})^n-e^x}{x^2} [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2 |
danke für deine Tipps! werd mich wohl mal wieder mit BinomischenFormeln etc. auseinander setzen müssen
zu der habe ich leider keine Lösung
kann es sein, dass das Ergebnis 0 ist?
denn:
$ [mm] \bruch{x}{n}= [/mm] 0 [mm] \to (1+0)^n [/mm] = [mm] 1^n [/mm] = 1 $ und $ [mm] e^0 [/mm] = 1 $
$ [mm] \to \bruch{1-1}{0^2} [/mm] = 0 $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:17 Di 15.08.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo ff1985!
diese Aufgabe würde ich entweder durch 2-faches Anwenden von de l'Hospital lösen oder durch den binomischen Lehrsatz für den Ausdruck [mm] $\left(1+\bruch{x}{n}\right)^n$ [/mm] .
[mm] $\left(1+\bruch{x}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{n}{n}+\bruch{x}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \left(\bruch{n+x}{n}\right)^n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{(n+x)^n}{n^n}$
[/mm]
Den Ausdruck im Zähler kann man nun gemäß
[mm] [quote]$(a+b)^n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*a^{n-k}*b^k [/mm] \ = \ [mm] \vektor{n\\0}*a^{n-0}*b^0+\vektor{n\\1}*a^{n-1}*b^1+...+\vektor{n\\n-1}*a^{1}*b^{n-1}+\vektor{n\\n}*a^{0}*b^n$[/quote]
[/mm]
zerlegen.
Damit wird:
[mm] $(n+x)^n [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=0}^{n}\vektor{n\\k}*n^{n-k}*x^k [/mm] \ = \ [mm] \vektor{n\\0}*n^{n}*x^0+\vektor{n\\1}*n^{n-1}*x^1+...+\vektor{n\\n-1}*n^{1}*x^{n-1}+\vektor{n\\n}*n^{0}*x^n$
[/mm]
Damit kann man dann auch durch den Term [mm] $x^2$ [/mm] teilen und den Grenzwert ermitteln.
Gruß
Loddar
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