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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 Mo 08.11.2004 | | Autor: | kreudaa |
Hallo,
wir sollen als Hausaufgabe von der Folge a n = (1/2) ^ n den Grenzwert bestimmen und beweisen, dass es auch tatsächlich der Grenzwert ist.
Ich habe jetzt als Grenzwert 0 rausbekommen.
Den Beweis habe ich wie folgt angefangen:
[mm] \vmat{ (1/2)^n - 0 } [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] (1/2)^n [/mm] - 0 < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] (1/2)^n [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
ist der Beweis hiermit schon beendet. Leider haben wir die Hausaufgaben schon am Donnerstag aufbekommen und mir ist nicht mehr ganz klar, wie ich vorgehen soll! Für was steht denn das [mm] \varepsilon [/mm] ?
Wäre echt dankbar, wenn ihr mir weiterhelfen würdet.
Gruß, kreudaa
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Hallo!
> [mm]\vmat{ (1/2)^n - 0 }[/mm] < [mm]\varepsilon
[/mm]
> [mm](1/2)^n[/mm] - 0 < [mm]\varepsilon
[/mm]
> [mm](1/2)^n[/mm] < [mm]\varepsilon
[/mm]
so kannst du leider nicht vorgehen! Denn [mm] \varepsilon [/mm] steht für eine sehr kleine Zahl! Und du kannt nicht davon ausgehen das [mm]\vmat{ (1/2)^n - 0 }[/mm] < [mm]\varepsilon
[/mm] gilt, denn das ist es ja eigentlich was du zeigen willst.
Wie wäre es denn damit: [mm] (\bruch{1}{2})^{n}=\bruch{1^{n}}{2^{n}}
[/mm]
Da [mm] 2^{n} [/mm] schneller wächst als [mm] 1^{n}, [/mm] was ja gleich 1 ist, konvergiert die Folge für [mm] n\to\infty [/mm] gegen 0.
Ich hoffe ich konnte dir ein wenig weiterhelfen!
Liebe Grüße
Ulrike
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Mo 08.11.2004 | | Autor: | kreudaa |
Was ist denn jetzt eigentlich [mm] \varepsilon [/mm] ?
bin grade total durcheinander...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:54 Mo 08.11.2004 | | Autor: | cremchen |
[mm] \varepsilon [/mm] ist im Prinzip ein Symbol für eine beliebig kleine Zahl!
Wenn du zeigst, dass ein Ausdruck kleiner als [mm] \varepsilon [/mm] ist, dann hast du quasi gezeigt, dass dieser Ausdruck beliebig klein ist!
Ich selbst mag das [mm] \varepsilon [/mm] auch nicht besonders!
Wenn man Zahlen für [mm] \varepsilon [/mm] gegeben hat, sind die meist in der Art [mm] 1^{-10} [/mm] oder [mm] 1^{-5}.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:34 Mo 08.11.2004 | | Autor: | informix |
Hallo cremchen,
> [mm]\varepsilon[/mm] ist im Prinzip ein Symbol für eine beliebig
> kleine Zahl!
nein, kein Symbol, sondern eine Variable!
> Wenn du zeigst, dass ein Ausdruck kleiner als [mm]\varepsilon[/mm]
> ist, dann hast du quasi gezeigt, dass dieser Ausdruck
> beliebig klein ist!
> Ich selbst mag das [mm]\varepsilon[/mm] auch nicht besonders!
>
> Wenn man Zahlen für [mm]\varepsilon[/mm] gegeben hat, sind die meist
> in der Art [mm]1^{-10}[/mm] oder [mm]1^{-5}.[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
[mm] $1^{-10} [/mm] = [mm] \bruch{1}{1^{10}}= [/mm] 1 = [mm] 1^{-5}$
[/mm]
Du meinst wohl eher: [mm] $10^{-5} [/mm] = [mm] \bruch{1}{10^5}=\bruch{1}{100000}$, [/mm] oder?
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Hallo kreudaa und cremchen,
>
> wir sollen als Hausaufgabe von der Folge a n = (1/2) ^ n
> den Grenzwert bestimmen und beweisen, dass es auch
> tatsächlich der Grenzwert ist.
>
> Ich habe jetzt als Grenzwert 0 rausbekommen.
> Den Beweis habe ich wie folgt angefangen:
>
> [mm]\vmat{ (1/2)^n - 0 }[/mm] < [mm]\varepsilon
[/mm]
>
> [mm](1/2)^n[/mm] - 0 < [mm]\varepsilon
[/mm]
>
> [mm](1/2)^n[/mm] < [mm]\varepsilon
[/mm]
>
>
> ist der Beweis hiermit schon beendet. Leider haben wir die
> Hausaufgaben schon am Donnerstag aufbekommen und mir ist
> nicht mehr ganz klar, wie ich vorgehen soll! Für was steht
> denn das [mm]\varepsilon[/mm] ?
> Wäre echt dankbar, wenn ihr mir weiterhelfen würdet.
zunächst:  Konvergenz ![[buchlesen]](/images/smileys/buchlesen.gif "[buchlesen]") 
Was du so geschrieben hast, ist gar nicht verkehrt.
[mm] $\epsilon [/mm] > 0$ steht tatsächlich für eine (beliebig kleine) relle Zahl.
Um nun zu zeigen, dass eine Folge gegen einen Grenzwert g strebt, muss man "nur" noch zeigen, dass in jeder noch so kleinen Umgebung von g "fast alle" Folgenglieder liegen:
nehmen wir also obige Folge [mm] $a_n [/mm] = [mm] \left(\bruch{1}{2}\right)^n$
[/mm]
und suchen ein N dergestalt, dass von diesem N an alle weiteren Folgenglieder in der Nähe von g liegen:
[mm] $\left|\left(\bruch{1}{2}\right)^n - 0\right|< \epsilon [/mm] $ weil [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und [mm] \epsilon [/mm] >0 sind:
[mm] $\Rightarrow [/mm] n* [mm] \log {\bruch{1}{2}} [/mm] < [mm] \log {\epsilon}$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] n > [mm] \bruch{\log {\epsilon}}{\log {\bruch{1}{2}}}$ [/mm] weil [mm] $\log {\bruch{1}{2}}<0$
[/mm]
Wenn also [mm] $N>\bruch{\log {\epsilon}}{\log {\bruch{1}{2}}}$, [/mm] dann ist die Ungleichung sicher erfüllt.
Beispiel:
[mm] $\epsilon [/mm] = [mm] \bruch{1}{2^{10}} \Rightarrow [/mm] N > [mm] \bruch{-\log{2^{10}}}{-\log {2}}=10$
[/mm]
Für alle n>10 liegen also die weiteren Folgenglieder weniger als [mm] $\bruch{1}{2^{10}}$ [/mm] vom Grenzwert 0 entfernt.
Ist's jetzt klarer?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:23 Di 09.11.2004 | | Autor: | kreudaa |
Okay, vielen Dank an euch! Habs jetzt verstanden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Mi 10.11.2004 | | Autor: | kreudaa |
So... bis jetzt war alles klar aber heute sollen wir von folgender Folge den Grenzwert g=2 beweisen.
Wie kann ich denn
[mm] \vmat{(2n^2+3n-4):(n^2+1) - 2} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
nach n auflösen?
bis (3n-2) : [mm] (n^2+1) [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm]
bin ich schon gekommen. aber wie gehts weiter?
Danke!
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Hallo kreudaa,
> So... bis jetzt war alles klar aber heute sollen wir von
> folgender Folge den Grenzwert g=2 beweisen.
>
> Wie kann ich denn
>
> [mm]\vmat{(2n^2+3n-4):(n^2+1) - 2}[/mm] < [mm]\varepsilon
[/mm]
>
> nach n auflösen?
>
> bis (3n-2) : [mm](n^2+1)[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> bin ich schon gekommen. aber wie gehts weiter?
> Danke!
Kennt Ihr schon die Grenzwertsätze?
[mm] $\vmat {\bruch{2n^2+3n-4}{n^2+1}-2} [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm]
Dann ist es leichter zu zeigen, dass
[mm] $\bruch{2n^2+3n-4}{n^2+1}-2 [/mm] = [mm] \bruch{2+\bruch{3}{n}-\bruch{4}{n^2}}{1+\bruch{1}{n^2}}-2$ [/mm] für $n [mm] \rightarrow \infty$ [/mm] gegen 0 strebt und damit sicherlich kleiner [mm] \epsilon [/mm] ist.
Tipp: man kürzt den Bruch durch die höchste Potenz von n im Nenner.
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