Grenzwerte diffbarer Fktn < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:57 Sa 06.04.2013 | | Autor: | Zero_112 |
| Aufgabe | | Es sei f: (0, [mm] \infty) \to \IR [/mm] differenzierbar, sodass [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x) [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f'(x) [/mm] existieren und endlich sind. Zeigen Sie, dass dann gilt, dass [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f'(x) [/mm] = 0 |
Hallo!
Mein Problem ist, dass ich nicht genau weiß, wie ich das "mathematisch" zeigen soll. Ich weiß zwar, dass [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f'(x) [/mm] = 0 gelten muss, denn die beiden Limites sind endlich , also gilt ab einem gewissen [mm] N\in\IN [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N ist also die Funktion f konstant und die Ableitung in konstanten Funktionsabschnitten ist ja nunmal gleich 0.
Sei y:= [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f(x) [/mm] dann gilt für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 , dass ein [mm] N\in\IN [/mm] existiert, sod. |f(x) - y|< [mm] \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N gilt.
Des Weiteren sei z:= [mm] \limes_{x\rightarrow\infty}f'(x) [/mm] dann gilt für alle [mm] \varepsilon [/mm] > 0 , dass ein [mm] N\in\IN [/mm] existiert, sod. |f'(x) - z|< [mm] \varepsilon [/mm] für alle n [mm] \ge [/mm] N gilt.
Ich muss zeigen, dass z = 0 ist, doch ich weiß nicht weiter....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Sa 06.04.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Es sei f: (0, [mm]\infty) \to \IR[/mm] differenzierbar, sodass
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f'(x)[/mm] existieren und endlich
> sind. Zeigen Sie, dass dann gilt, dass
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f'(x)[/mm] = 0
> Hallo!
>
> Mein Problem ist, dass ich nicht genau weiß, wie ich das
> "mathematisch" zeigen soll. Ich weiß zwar, dass
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f'(x)[/mm] = 0 gelten muss, denn die
> beiden Limites sind endlich , also gilt ab einem gewissen
> [mm]N\in\IN[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] N ist also die Funktion f konstant
> und die Ableitung in konstanten Funktionsabschnitten ist ja
> nunmal gleich 0.
>
> Sei y:= [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)[/mm] dann gilt für alle
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0 , dass ein [mm]N\in\IN[/mm] existiert, sod. |f(x) -
> y|< [mm]\varepsilon[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] N gilt.
>
> Des Weiteren sei z:= [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f'(x)[/mm] dann
> gilt für alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 , dass ein [mm]N\in\IN[/mm]
> existiert, sod. |f'(x) - z|< [mm]\varepsilon[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] N
> gilt.
>
> Ich muss zeigen, dass z = 0 ist, doch ich weiß nicht
> weiter....
Hallo
Das ganze mal in Formulierter Form, das ganze mathematisch exakt zu formulieren, versuche nachher mal selber.
Da [mm] \lim\limits_{x\to\infty}f(x)=a\ne\infty [/mm] findest du für jedes [mm] \verepsilon>0 [/mm] ein bestimmtes [mm] x_{a} [/mm] ab dem die Differenz zweier Funktions/Folgenwerte kleiner als eben dieses [mm] \verepsilon [/mm] sind. Das heisst auch, dass der Betrag der Differenz zweier Funktionswerte kleiner als dieses [mm] \varepsilon [/mm] ist, also [mm] \left|\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}\right|<\varepsilon
[/mm]
Vergleiche das mal mit der Definition der Ableitung.
Marius
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 14:12 So 07.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hi M.Rex,
es kann sein, dass es kein Fehler ist, aber ich sehe es gerade nicht - und
bis dahin wirkt es auf mich wie einer. 
> > Es sei f: (0, [mm]\infty) \to \IR[/mm] differenzierbar, sodass
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)[/mm] und
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f'(x)[/mm] existieren und endlich
> > sind. Zeigen Sie, dass dann gilt, dass
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f'(x)[/mm] = 0
> > Hallo!
> >
> > Mein Problem ist, dass ich nicht genau weiß, wie ich
> das
> > "mathematisch" zeigen soll. Ich weiß zwar, dass
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f'(x)[/mm] = 0 gelten muss, denn
> die
> > beiden Limites sind endlich , also gilt ab einem
> gewissen
> > [mm]N\in\IN[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] N ist also die Funktion f
> konstant
> > und die Ableitung in konstanten Funktionsabschnitten ist
> ja
> > nunmal gleich 0.
> >
> > Sei y:= [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)[/mm] dann gilt für
> alle
> > [mm]\varepsilon[/mm] > 0 , dass ein [mm]N\in\IN[/mm] existiert, sod. |f(x)
> -
> > y|< [mm]\varepsilon[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] N gilt.
> >
> > Des Weiteren sei z:= [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f'(x)[/mm]
> dann
> > gilt für alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 , dass ein [mm]N\in\IN[/mm]
> > existiert, sod. |f'(x) - z|< [mm]\varepsilon[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm]
> N
> > gilt.
> >
> > Ich muss zeigen, dass z = 0 ist, doch ich weiß nicht
> > weiter....
>
> Hallo
>
>
> Das ganze mal in Formulierter Form, das ganze mathematisch
> exakt zu formulieren, versuche nachher mal selber.
>
> Da [mm]\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=a\ne\infty[/mm] findest du für
> jedes [mm]\varepsilon>0[/mm] ein bestimmtes [mm]x_{a} [/mm] ab dem die
> Differenz zweier Funktions/Folgenwerte kleiner als eben
> dieses [mm]\verepsilon[/mm] sind.
Das ist klar: Für alle $x,y [mm] \ge x_a$ [/mm] ist $|f(x)-f(y)| [mm] \le [/mm] |f(x)-a|+|a-f(y)| < [mm] \varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon\,,$ [/mm]
wenn man [mm] $x_a$ [/mm] so gewählt hat, dass für alle $x [mm] \ge x_a$ [/mm] schon $|f(x)-a| < [mm] \varepsilon/2$ [/mm] folgt.
Und $f(x)-f(y) [mm] \le [/mm] |f(x)-f(y)|$ gilt eh - aber das ist das Uninteressante. Eigentlich
ist die obige Abschätzung die interessante, denn bei $f(x)-f(y) < [mm] \varepsilon$
[/mm]
könnte $f(x)-f(y)$ "beliebig gegen [mm] $-\infty$" [/mm] streben. Wegen der Betragsabschätzung
ist aber auch das nicht möglich!
> Das heisst auch,
Nein, das heisst es nicht: Sondern genau das, was Du nun sagst (und was
nicht aus dem vorhergesagten folgt), ist der Punkt:
Der Betrag der Differenz ist $< [mm] \varepsilon\,,$ [/mm] und damit auch
[mm] $$-\varepsilon [/mm] < f(x)-f(y) < [mm] \varepsilon\,.$$
[/mm]
Die Abschätzung $f(x)-f(y) < [mm] \varepsilon$ [/mm] ALLEINE bringt eigentlich so gut wie
gar nichts!
(Beispiel: [mm] $a_n:=2+(-1)^n*b_n\,$ [/mm] für alle [mm] $n\,,$ [/mm] mit [mm] $b_n:=1\,,$ [/mm] falls [mm] $n\,$ [/mm] gerade ist und
[mm] $b_n:=n\,$ [/mm] für ungerade [mm] $n\,.$ [/mm] Hier gilt sicher für jedes [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] dass [mm] $a_n [/mm] - 3 < [mm] \epsilon$ [/mm]
ist, und dennoch haben wir, dass [mm] $(a_n)_n$ [/mm] nach unten unbeschränkt ist. Insbesondere
folgt aus [mm] $a_n [/mm] - 3 < [mm] \varepsilon$ [/mm] somit keinesfalls [mm] $|a_n-3| [/mm] < [mm] \varepsilon\,.$)
[/mm]
> dass der Betrag
> der Differenz zweier Funktionswerte kleiner als dieses
> [mm]\varepsilon[/mm] ist, also
> [mm]\left|\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}\right|<\varepsilon[/mm]
Und das kapiere ich nicht: Wie folgerst Du aus $|f(x+h)-f(x)| < [mm] \varepsilon\,,$
[/mm]
dass auch [mm] $|(f(x+h)-f(x))\red{/h}| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] gilt?? Für $0 < |h| [mm] \le [/mm] 1$ ist doch
[mm] $$|(f(x+h)-f(x))/h|\;\; \ge \;\;|f(x+h)-f(x)|\,.$$ [/mm]
(Wobei man hier auch noch dazuschreiben sollte, dass $x > [mm] x_a$ [/mm] und [mm] $h\,$
[/mm]
o.E. mit [mm] $|h|\,$ [/mm] so klein gewählt sein soll, dass $x+h [mm] \ge x_a\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:54 So 07.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Es sei f: (0, [mm]\infty) \to \IR[/mm] differenzierbar, sodass
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f'(x)[/mm] existieren und endlich
> sind. Zeigen Sie, dass dann gilt, dass
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f'(x)[/mm] = 0
> Hallo!
>
> Mein Problem ist, dass ich nicht genau weiß, wie ich das
> "mathematisch" zeigen soll. Ich weiß zwar, dass
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f'(x)[/mm] = 0 gelten muss, denn die
> beiden Limites sind endlich , also gilt ab einem gewissen
> [mm]N\in\IN[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] N ist also die Funktion f konstant
> und die Ableitung in konstanten Funktionsabschnitten ist ja
> nunmal gleich 0.
>
> Sei y:= [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)[/mm] dann gilt für alle
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0 , dass ein [mm]N\in\IN[/mm] existiert, sod. |f(x) -
> y|< [mm]\varepsilon[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] N gilt.
>
> Des Weiteren sei z:= [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f'(x)[/mm] dann
> gilt für alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 , dass ein [mm]N\in\IN[/mm]
> existiert, sod. |f'(x) - z|< [mm]\varepsilon[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] N
> gilt.
>
> Ich muss zeigen, dass z = 0 ist, doch ich weiß nicht
> weiter....
>
Setze [mm]a:=\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)[/mm] und [mm]b:=\limes_{x\rightarrow\infty}f'(x)[/mm] .
Setze [mm] a_n:=f(n+1)-f(n) [/mm] für n [mm] \in \IN
[/mm]
Dann gilt : [mm] a_n \to [/mm] a-a=0 (n [mm] \to \infty)
[/mm]
Nach dem Mittelwertsatz gibt es zu jedem n ein [mm] x_n [/mm] zwischen n und n+1 mit
[mm] a_n=f'(x_n)
[/mm]
Da [mm] x_n \to \infty, [/mm] folgt: [mm] f'(x_n) \to [/mm] b (n [mm] \to \infty)
[/mm]
Wie fällt nun b aus ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:57 Mo 08.04.2013 | | Autor: | Zero_112 |
> Da [mm]x_n \to \infty,[/mm] folgt: [mm]f'(x_n) \to[/mm] b (n [mm]\to \infty)[/mm]
>
>
> Wie fällt nun b aus ?
Ich würde sagen, dass b = 0 ist.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f'(x_n) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(n+1)-f(n) [/mm] = a-a = 0 = b
Der Mittelwertsatz sagt ja, dass [mm] f'(x_n) [/mm] = f(n+1) - f(n), also ist meine obige Betrachtung doch eigentlich richtig oder?
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Hallo,
> > Da [mm]x_n \to \infty,[/mm] folgt: [mm]f'(x_n) \to[/mm] b (n [mm]\to \infty)[/mm]
>
> >
> >
> > Wie fällt nun b aus ?
>
>
> Ich würde sagen, dass b = 0 ist.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f'(x_n)[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(n+1)-f(n)[/mm] = a-a = 0 = b
Genau!
> Der Mittelwertsatz sagt ja, dass [mm]f'(x_n)[/mm] = f(n+1) - f(n),
... für ein [mm] $x_n \in [/mm] [n,n+1]$.
> also ist meine obige Betrachtung doch eigentlich richtig
> oder?
Du meinst deinen ersten Post? Was du da in den ersten vier Zeilen geschrieben hast, war völlig richtig, aber eben noch nicht mathematisch exakt. Und da Wort Mittelwertsatz kam darin noch nicht vor 
Bei den Limites darunter hattest du ja nur die Def. der Grenzwerte ausgeführt.
Viele Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:18 Di 09.04.2013 | | Autor: | Zero_112 |
Nein, ich meinte nicht meinen ersten Post, das Wort "Betrachtung" war wohl etwas ungünstig gewählt. ;D Ich meinte einfach nur diese Rechnung hier:
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f'(x_n)[/mm] =
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] =
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(n+1)-f(n)[/mm] = a-a = 0 = b
Gruß
Zero
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Ja, die ist richtig
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:16 Di 09.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Stefan,
> Hallo,
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> > > Da [mm]x_n \to \infty,[/mm] folgt: [mm]f'(x_n) \to[/mm] b (n [mm]\to \infty)[/mm]
>
> >
> > >
> > >
> > > Wie fällt nun b aus ?
> >
> >
> > Ich würde sagen, dass b = 0 ist.
> >
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f'(x_n)[/mm] =
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] =
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}f(n+1)-f(n)[/mm] = a-a = 0 = b
>
> Genau!
>
> > Der Mittelwertsatz sagt ja, dass [mm]f'(x_n)[/mm] = f(n+1) - f(n),
>
>
> ... für ein [mm]x_n \in [n,n+1][/mm].
>
> > also ist meine obige Betrachtung doch eigentlich richtig
> > oder?
>
> Du meinst deinen ersten Post? Was du da in den ersten vier
> Zeilen geschrieben hast, war völlig richtig, aber eben
> noch nicht mathematisch exakt.
es war auch nicht völlig richtig:
[mm] $f(x)=\tfrac{1}{x}*\sin(x)$ [/mm] ($x [mm] \not=0$)
[/mm]
wird nie konstant - noch nichtmal "stückweise" (sofern das "Stück" mehr
als einen Punkt enthält)!
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:43 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Zero_112 |
> > Du meinst deinen ersten Post? Was du da in den ersten vier
> > Zeilen geschrieben hast, war völlig richtig, aber eben
> > noch nicht mathematisch exakt.
>
> es war auch nicht völlig richtig:
>
> [mm]f(x)=\tfrac{1}{x}*\sin(x)[/mm] ([mm]x \not=0[/mm])
>
> wird nie konstant - noch nichtmal "stückweise" (sofern das
> "Stück" mehr
> als einen Punkt enthält)!
>
> Gruß,
> Marcel
Ja das ist natürlich richtig. Ich hätte das konstant zumindest in Klammern setzen sollen, ich weiß natürlich, dass man dann nicht wirklich von einer konstanten Funktion sprechen darf. Hätte mich wohl besser ausdrücken sollen :P
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:44 Mi 10.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > > Du meinst deinen ersten Post? Was du da in den ersten vier
> > > Zeilen geschrieben hast, war völlig richtig, aber eben
> > > noch nicht mathematisch exakt.
> >
> > es war auch nicht völlig richtig:
> >
> > [mm]f(x)=\tfrac{1}{x}*\sin(x)[/mm] ([mm]x \not=0[/mm])
> >
> > wird nie konstant - noch nichtmal "stückweise" (sofern das
> > "Stück" mehr
> > als einen Punkt enthält)!
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
>
> Ja das ist natürlich richtig. Ich hätte das konstant
> zumindest in Klammern setzen sollen, ich weiß natürlich,
> dass man dann nicht wirklich von einer konstanten Funktion
> sprechen darf. Hätte mich wohl besser ausdrücken sollen
> :P
okay. Mir ging's nur darum, dass Du nicht denkst, dass die Funktion
irgendwann konstant werden muss - wenn Dir das klar war, und Du Dich
nur sprachlich "unsauber" ausgedrückt hast, dann hat sich das erledigt.
Ist aber vielleicht dennoch besser, dass ich das nochmal erwähnt, nicht,
dass andere mitlesen und Dir das so, wie Du es sagtest, glauben.
P.S. Anstatt "konstant" hättest Du einfach sowas wie "so gut wie
konstant", "nahezu konstant" ... schreiben können!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 So 07.04.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es sei f: (0, [mm]\infty) \to \IR[/mm] differenzierbar, sodass
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f'(x)[/mm] existieren und endlich
> sind. Zeigen Sie, dass dann gilt, dass
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f'(x)[/mm] = 0
> Hallo!
>
> Mein Problem ist, dass ich nicht genau weiß, wie ich das
> "mathematisch" zeigen soll. Ich weiß zwar, dass
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f'(x)[/mm] = 0 gelten muss, denn die
> beiden Limites sind endlich , also gilt ab einem gewissen
> [mm]N\in\IN[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] N ist also die Funktion f konstant
nein, ist sie nicht. Betrachte einfach mal
[mm] $$f(x):=\frac{1}{x}*\sin(x)\;\;\;\text{ für }x \not=0\,.$$
[/mm]
Was Du sagen kannst, ist, dass "sich der Graph von [mm] $f\,$ [/mm] im Unendlichen
immer besser an die durch [mm] $g(x):=\lim_{x\to \infty}f(x)$ [/mm] gegebene Gerade
'anschmiegt'", oder etwas in der Art!
> und die Ableitung in konstanten Funktionsabschnitten ist ja
> nunmal gleich 0.
>
> Sei y:= [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f(x)[/mm] dann gilt für alle
> [mm]\varepsilon[/mm] > 0 , dass ein [mm]N\in\IN[/mm] existiert, sod. |f(x) -
> y|< [mm]\varepsilon[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] N gilt.
>
> Des Weiteren sei z:= [mm]\limes_{x\rightarrow\infty}f'(x)[/mm] dann
> gilt für alle [mm]\varepsilon[/mm] > 0 , dass ein [mm]N\in\IN[/mm]
> existiert, sod. |f'(x) - z|< [mm]\varepsilon[/mm] für alle n [mm]\ge[/mm] N
> gilt.
>
> Ich muss zeigen, dass z = 0 ist, doch ich weiß nicht
> weiter....
Fred hat Dir ja schon den Hinweis mit dem Mittelwertsatz gegeben - ich
denke, dass Du damit gut und schnell zum Ziel kommst!
Gruß,
Marcel
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