Grenzwerte einer Frunktion < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:40 Mi 07.09.2005 | | Autor: | NoClue84 |
Hi liebe Mathefans,
ich muss mich nach ca. 4 1/2 nun das erste mal wieder mit Grenzwerten auseinandersetzen und habe dazu folgende Aufgaben bekommen:
Prüfen sie ob Grenzwerte existeiren und ermitteln sie diese.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3x^2 + 1}{2x^2 + x}
[/mm]
Hier setzt man doch für unendlich eine 0 ein oder? Das ergebnis wäre dann unendlich. Das müsste heißen die Funktion läuft ins Unendliche hinaus oder?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}2^{\bruch{1+1}{x}}
[/mm]
Hier würde ich auch sagen, keinen Grenzwert [mm] \Rightarrow \infty
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a^{-x} [/mm] für a > 1
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ln x
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 Mi 07.09.2005 | | Autor: | djmatey |
> Hi liebe Mathefans,
Hallöchen!
> ich muss mich nach ca. 4 1/2 nun das erste mal wieder mit
> Grenzwerten auseinandersetzen und habe dazu folgende
> Aufgaben bekommen:
>
> Prüfen sie ob Grenzwerte existeiren und ermitteln sie
> diese.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{3x^2 + 1}{2x^2 + x}[/mm]
>
> Hier setzt man doch für unendlich eine 0 ein oder? Das
> ergebnis wäre dann unendlich. Das müsste heißen die
> Funktion läuft ins Unendliche hinaus oder?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Wie meinst Du das, für unendlich eine 0 einsetzen? Für x 0 einsetzen? Das kann doch nicht sein, wenn x doch gegen [mm] \infty [/mm] läuft! Wenn, dann müsstest Du für x [mm] \infty [/mm] einsetzen.
Versuche vorher mal, [mm] x^{2} [/mm] auszuklammern (im Zähler und im Nenner) und zu kürzen 
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}2^{\bruch{1+1}{x}}[/mm]
>
> Hier würde ich auch sagen, keinen Grenzwert [mm]\Rightarrow \infty[/mm]
Also, erstmal kann [mm] \infty [/mm] auch ein Grenzwert sein! Ist es hier aber nicht. Überlege, gegen was der gesamte Exponent [mm] \bruch{1+1}{x} [/mm] für x gegen [mm] \infty [/mm] konvergiert! Was passiert dann insgesamt?
Anmerkung: [mm] a^{0} [/mm] = 1 für alle [mm] a\in\IR [/mm]
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a^{-x}[/mm] für a > 1
Also es gilt ja [mm] a^{-x} [/mm] = [mm] \bruch{1}{a^{x}}. [/mm] Da a>1 ist, passiert also was mit dem Nenner für x gegen [mm] \infty? [/mm] Versuche, um das herauszufinden, nacheinander immer größer werdende Werte einzusetzen. Was passiert mit dem Nenner? Was passiert dann mit dem gesamten Bruch?
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ln x
Tip: ln x ist als Umkehrfunktion von [mm] e^{x} [/mm] streng monoton wachsend... !
Falls Du noch Schwierigkeiten hast, schreib' einfach nochmal, ja?
Beste Grüße,
djmatey
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Do 08.09.2005 | | Autor: | NoClue84 |
Danke erstmal.
Muss aber sagen das es doch recht schwer ist einfach so mal wieder mit solchen Aufgaben zu starten. Aber nun gut.
Also zu deinem ersten Tipp, mit dem [mm] x^2 [/mm] ausklammern
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{{3x^2 +1}}{{2x^2 + x}} [/mm] würd ich folgendes machen...
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^2\*(3x+\bruch{1}{x^2}}{x^2\*(2 + \bruch{1}{x}}
[/mm]
Beim Rest weiß ich einfach noch nicht weiter. Und was ich mit dem [mm] \infty [/mm] meinte ist, dass wenn man im Nenner [mm] \infty [/mm] hat, dann ist das Ergebnis der Gleichung = 0, denn [mm] \bruch{Zahl}{\infty} [/mm] ist 0 oder?
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Hallo!
> Danke erstmal.
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> Muss aber sagen das es doch recht schwer ist einfach so mal
> wieder mit solchen Aufgaben zu starten. Aber nun gut.
> Also zu deinem ersten Tipp, mit dem [mm]x^2[/mm] ausklammern
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{{3x^2 +1}}{{2x^2 + x}}[/mm]
> würd ich folgendes machen...
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{x^2\*(3x+\bruch{1}{x^2}}{x^2\*(2 + \bruch{1}{x}}[/mm]
Da hast du dich aber irgendwie verrechnet... So müsste es aussehen (außerdem muss es doch wohl [mm] \lim_{x\to\infty} [/mm] heißen, oder???):
[mm] \limes_{x\to\infty}\bruch{x^2(3+\bruch{1}{x^2})}{x^2(2+\bruch{x}{x^2})} [/mm] = [mm] \lim_{x\to\infty}\bruch{3+\bruch{1}{x^2}}{2+\bruch{1}{x}} [/mm]
und nun kannst du anwenden, was du mit [mm] \infty [/mm] und 0 meintest. (Und zwar im Zähler und im Nenner einzeln - du bekommst eine explizite Zahl als Grenzwert.
> Beim Rest weiß ich einfach noch nicht weiter. Und was ich
> mit dem [mm]\infty[/mm] meinte ist, dass wenn man im Nenner [mm]\infty[/mm]
> hat, dann ist das Ergebnis der Gleichung = 0, denn
> [mm]\bruch{Zahl}{\infty}[/mm] ist 0 oder?
Was du meinst, ist richtig, allerdings schreibt man es nicht so. Denn [mm] \infty [/mm] ist keine Zahl, die man einfach so einsetzen kann, deswegen gibt es ja die Grenzwerte.
Die anderen Aufgaben werde ich mir jetzt gerade nochmal angucken.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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Hallo!
Da du anscheinend die anderen Aufgaben immer noch nicht ganz verstehst, versuche ich es nochmal mit meinen Worten zu erklären, aber wahrscheinlich wird es nicht viel anders als das, was djmatey schon geschrieben hat.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}2^{\bruch{1+1}{x}}[/mm]
Naja, was [mm] \lim_{x\to\infty}\bruch{1+1}{x} [/mm] ist, müsstest du doch wissen, oder? Und dann schreibst du diesen Grenzwert als Expoenten für die 2 hin (und djmatey hat dir mit seinem Tipp quasi schon verraten, was letztendlich rauskommt. )
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a^{-x}[/mm] für a > 1
Wie schon gesagt, gilt folgendes: [mm] a^{-x}=\bruch{1}{a^x}. [/mm] Nun, was ist [mm] \lim_{x\to\infty}a^x? [/mm] Und was folgt daraus für [mm] \lim_{x\to\infty}\bruch{1}{a^x}? [/mm] Das müsstest du doch eigentlich hinbekommen.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ln x
Naja, ich weiß nicht, ob man da viel rechnen kann. Das sollte man wohl einfach wissen - lasse dir die Funktion doch mal zeichnen, dann siehst du's. Ansonsten kannst du's dir wohl wirklich nur über die Umkehrfunktion erklären.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Do 08.09.2005 | | Autor: | NoClue84 |
Oh je, ich sehe schon.. - leichter kann man es mir echt nicht machen. Super vielen lieben Dank.
Die Idee ist mir gerade eben gekommen, aber du warst da doch um einiges schneller [mm] Zahl^0 [/mm] = 1... --> liege da doch auf dem richtigen weg oder :)
Ja und was ln nochmal war... - frag nicht.
Gibt's eigentlich irgendwo eine Seite wo man sich Funktionen anzeigen lassen kann?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Do 08.09.2005 | | Autor: | NoClue84 |
Bei
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] ln x
sucht man da irgendwie mit der Regel von de L´Hospital?
Ich weiß zwar nicht was die Ableitung ist, aber kann das so sein?
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} x^{-1} [/mm]
das würde heißen es wäre kein Grenzwert vorhanden?!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:04 Do 08.09.2005 | | Autor: | clwoe |
Hallo,
die ln Funktion ist doch die Umkehrfunktion der e-Funktion. Die e-Funktion läuft doch gegen unendlich wenn x [mm] \mapsto \infty. [/mm] Die ln-Funktion läuft auch gegen unendlich wenn x [mm] \mapsto \infty. [/mm]
Allerdings läuft die ln-Funktion viel langsamer gegen unendlich wie die e-Funktion.
Da braucht man die Regel von L´Hospital nicht, da du dir die e-Funktion einfach gespiegelt an der Winkelhalbierenden zwischen dem 1 und 3 Quadranten im Koordinatensystem vorstellen kannst. Dann siehst du das sie gegen unendlich läuft. Man muss halt wissen das die ln-Funktion die Umkehrfunktion der e-Funktion ist.
Zu deiner zweiten Frage.
Die Ableitung der ln-Funktion ist [mm] \bruch{1}{x}. [/mm] Diese Standartableitung findest du in jeder Formelsammlung bei den Grundableitungen.
Schau doch einfach mal nach.
Gruß,
clwoe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:08 Do 08.09.2005 | | Autor: | NoClue84 |
Sorry hatte die Aufgabe falsch eingetippt
[mm] \limes_{n\rightarrow\ 0} [/mm] lnx
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 Do 08.09.2005 | | Autor: | clwoe |
Hi,
wenn doch die ln-Funktion die Umkehrfunktion der e-Funktion ist, also an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten gespiegelt wird, dann ist doch der Grenzwert für x [mm] \mapsto [/mm] 0 auch kein Problem. Überleg mal, wie der Graph der ln-Funktion verlaufen muss wenn er sich an die y-Achse annähert.
Es ist ganz einfach festzustellen.
Gruß,
clwoe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:50 Fr 09.09.2005 | | Autor: | NoClue84 |
Mhm *grübel*
Also wenn ln die umkehrfunktion von e ist - dann verläut die Funktion unter der x achse in den negativen Bereich oder?
So eine Zahl hoch 0 = 1 - müsste ja auch für die e funktion gelten
[mm] e^0 [/mm] = 1 dementsprechend auf für die umkehfunktion nur -1 oder?
wie ist eigentlich bei [mm] Zahl^{\infty} [/mm] = [mm] \infty [/mm] ?
Oh je irgendwie kann ich das alles nicht mehr.....
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hier![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
