Grenzwerte konvergenter Reihen < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Die nachfolgend gegebene Reihe konvergiert. Berechnen Sie bitte den Grenzwert |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
[mm] S_{b} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{2})^{i}
[/mm]
Unser Mathe-Prof hat letztes Semester ein Klausur- und Übungsaufgaben Buch herausgegeben, das auch die Lösungswege mit angibt...
Angegeben sind zunächst die ersten Summanden:
[mm] S_{b} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] ( [mm] \bruch{1}{2})^{i}
[/mm]
= 1 - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{8} [/mm] + [mm] \bruch{1}{16} [/mm] - [mm] \bruch{1}{32} [/mm] + [mm] \bruch{1}{64} [/mm] - [mm] \bruch{1}{128} [/mm] + [mm] \bruch{1}{256} [/mm] - [mm] \bruch{1}{512} \pm [/mm] ...
Darin steht nun, dass es sich hierbei um eine geometrische Reihe handelt mit [mm] a_{0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und q = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] !
Formel zur weiteren Berechnung etc hab ich.
Ich hab nur einfach keine Ahnung, wie man darauf kommt, dass es sich eben um eine geometrische Reihe mit [mm] a_{0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und q = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] handelt !!!
Bin für jede Hilfe und jeden Denkanstoß dankbar !
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 Mo 23.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Die nachfolgend gegebene Reihe konvergiert. Berechnen Sie
> bitte den Grenzwert
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
> [mm]S_{b}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{\infty}[/mm] ( [mm]\bruch{1}{2})^{i}[/mm]
>
Das ist eine geometrische Reihe.
> Unser Mathe-Prof hat letztes Semester ein Klausur- und
> Übungsaufgaben Buch herausgegeben, das auch die Lösungswege
> mit angibt...
>
> Angegeben sind zunächst die ersten Summanden:
>
> [mm]S_{b}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{\infty}[/mm] ( [mm]\bruch{1}{2})^{i}[/mm]
>
> = 1 - [mm]\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{1}{4}[/mm] - [mm]\bruch{1}{8}[/mm] +
> [mm]\bruch{1}{16}[/mm] - [mm]\bruch{1}{32}[/mm] + [mm]\bruch{1}{64}[/mm] -
> [mm]\bruch{1}{128}[/mm] + [mm]\bruch{1}{256}[/mm] - [mm]\bruch{1}{512} \pm[/mm] ...
>
>
Hier stimmt was nicht. Der Wert 1 kann nicht vorkommen und so wie Du es geschrieben hast, müsste in der Formel oben [mm] \left(\bruch{-1}{2}\right) [/mm] stehen, was es aber nicht tut.
> Darin steht nun, dass es sich hierbei um eine geometrische
> Reihe handelt mit [mm]a_{0}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und q = [mm]\bruch{1}{4}[/mm]
> !
>
Kann ich nicht nachvollziehen.
> Formel zur weiteren Berechnung etc hab ich.
>
> Ich hab nur einfach keine Ahnung, wie man darauf kommt,
> dass es sich eben um eine geometrische Reihe mit [mm]a_{0}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und q = [mm]\bruch{1}{4}[/mm] handelt !!!
>
> Bin für jede Hilfe und jeden Denkanstoß dankbar !
>
>
mfg ullim
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1.)
> Hier stimmt was nicht. Der Wert 1 kann nicht vorkommen und
> so wie Du es geschrieben hast, müsste in der Formel oben
> [mm]\left(\bruch{-1}{2}\right)[/mm] stehen, was es aber nicht tut.
> stehen, was es aber nicht tut.
Ja sorry, es heißt auch [mm]\left(\bruch{-1}{2}\right)[/mm] , mein Fehler
2.)
Darin steht nun, dass es sich hierbei um eine geometrische
Reihe handelt mit [mm] a_{0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und q = [mm] \bruch{1}{4} [/mm]
!
>Kann ich nicht nachvollziehen.
Tja, ich eben auch nicht so wirklich... im Lösungsweg steht, dass man die Summanden zu 2er-Gruppen zusammenfassen kann, um eine Systematik zu erkennen...
Sprich: 1 - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ; [mm] \bruch{1}{4} [/mm] - [mm] \bruch{1}{8} [/mm] ; [mm] \bruch{1}{16} [/mm] - [mm] \bruch{1}{16} [/mm] usw....
das ergibt dann:
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] ; [mm] \bruch{1}{8} [/mm] ; [mm] \bruch{1}{16} [/mm] usw...
Vom Verständnis bringt mich das aber kein Stück weiter !!!
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Hauptsächliche Frage ist eben, wieso man da einfach mal eben die Summanden zusammenschmeißen kann...
Leider hab ich die nächsten Tage auch nicht die Möglichkeit, den Prof zu fragen, weil der nicht da ist ....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:31 Mo 23.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn da [mm] \left(-\bruch{1}{2}\right) [/mm] steht und die Summe von 0 bis [mm] \infty [/mm] geht anstatt bei 1 zu beginnen,
entsteht in der Tat die Reihe [mm] 1-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{4}-\bruch{1}{8} [/mm] usw.
Wie Du schon gesagt hast folgt dann auch, dass die Reihe sich wie folgt berechnet
[mm] \bruch{1}{2}+\bruch{1}{8}+\bruch{1}{32} [/mm] usw.
also kann man [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ausklammern und es bleibt in der Klammer übrig [mm] 1+\bruch{1}{4}+\bruch{1}{16} [/mm] ...
Damit gilt [mm] \summe_{i=0}^{\infty}(-\bruch{1}{2})^i=\bruch{1}{2}*\summe_{i=0}^{\infty}(\bruch{1}{4})^i [/mm] was der Behauptung entsprechen würde.
Das Ganze kann man aber auch leichter berechnen als eine geometrische Reihe mit [mm] q=-\bruch{1}{2}
[/mm]
In beiden Fällen ist das Ergebniss [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
mfg ullim
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Grrrr... ich kann Formeleditoren nicht leiden, da übersieht man meist die kleinen, aber ausschlaggebenden Sachen :
Ja, das Ganze geht von 0 bis [mm] \infty
[/mm]
Heißt also im Endeffekt, wenn man partout keine Systematik ernennt, auf gut Glück, die Summanden mal zusammenfassen und schauen, ob sich dann etwas ergibt ?!?
Und Entschuldige die Fehler, die ich da reingehauen habe ! :-/
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:48 Mo 23.10.2006 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Grrrr... ich kann Formeleditoren nicht leiden, da übersieht
> man meist die kleinen, aber ausschlaggebenden Sachen :
>
> Ja, das Ganze geht von 0 bis [mm]\infty[/mm]
>
>
> Heißt also im Endeffekt, wenn man partout keine Systematik
> ernennt, auf gut Glück, die Summanden mal zusammenfassen
> und schauen, ob sich dann etwas ergibt ?!?
Eigentlich nicht, Du kannst das Ganze ja sofort als geometrische Reihe mit [mm] q=-\bruch{1}{2} [/mm] betrachten, dann brauchst Du den in der Tat umständlichen Weg mit zusammenfassen und so weiter erst gar nicht beschreiten. Und wie gesagt das Ergebnis ist
[mm] \bruch{1}{1-q} [/mm] mit [mm] q=-\bruch{1}{2} [/mm] als [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
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> Und Entschuldige die Fehler, die ich da reingehauen habe !
> :-/
>
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mfg ullim
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