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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:02 Mo 03.12.2007 | | Autor: | lisa7 |
| Aufgabe | Seien a,b>0.Beweisen Sie zunächst [mm] \wurzel{ab}\le(a+b)/2 [/mm] .
Sei nun [mm] a_0=a, b_0=b, [/mm] und (rekursiv) [mm] a_{n+1}=\wurzel{a_n*b_n} [/mm] ,
[mm] b_{n+1}=a_n+b_n/2. [/mm] Ziegen Sie : [mm] a_n<=a_{n+1}\le b_{n+1}\le b_n (n\in\IN), [/mm] und [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] konvergieren gegen denselben Grenzwert. Dieser wird mit agm(a,b) bezeichnet (Arithmetisch-geometrisches Mittel).
Hinweis: Zeigen Sie [mm] 0\le b_{n+1}-a_{n+1}=\left( \bruch{(b_n-a_n)^2}{2(\wurzel{b_n}+\wurzel{a_n})^2} \right) [/mm] |
Hallo alle zusammen!
Kann mir jemand diese Aufgabe erklären, bitte.
Den Anfang konnte ich noch, den Rest leider nicht.
[mm] \wurzel{a+b}<=(a+b)/2
[/mm]
[mm] ab<=(a+b)^2/4 [/mm] /*4
[mm] 4a*b<=a^2+2*a*b+b^2 [/mm] /-4*a*b
[mm] a^2+2*a*b+b^2>=0
[/mm]
[mm] (a-b)^2>=0
[/mm]
und damit sind alle x aus R [mm] x^2>=0
[/mm]
Ist das richtig?
Bei der 2. ,weiss ich nicht so genau was ich machen soll. Reicht es nicht,wenn ich einfach zeigen, dass [mm] a_n<= b_n [/mm] ist?
Und bei der 3 habe ich keine Ahnung.
Danke im voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 Mo 03.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Seien a,b>0.Beweisen Sie zunächst [mm]\wurzel{ab}<=(a+b)/2.[/mm]
> Sei nun [mm]a_0=a, b_0=b,[/mm] und (rekursiv)
> [mm]a_{n+1}=\wurzel{a_n*b_n},[/mm]
> [mm]b_{n+1}=(a_n+b_n)/2.[/mm] Ziegen Sie : [mm]a_n<=a_{n+1}<=b_{n+1}<=b_n[/mm] (n
> N), und [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] konvergieren gegen denselben
> Grenzwert. Dieser wird mit agm(a,b) bezeichnet
> (Arithmetisch-geometrisches Mittel).
> Hinweis: Zeigen Sie [mm]0<=b_{n+1}-a_{n+1}=\left( \bruch{(b_n-a_n)^2}{2(\wurzel{b_n}+\wurzel{a_n})^2} \right)[/mm]
>
> Hallo alle zusammen!
> Kann mir jemand diese Aufgabe erklären, bitte.
> Den Anfang konnte ich noch, den Rest leider nicht.
> [mm]\wurzel{a+b}<=(a+b)/2[/mm]
> [mm]ab<=(a+b)^2/4[/mm] /*4
> [mm]4a*b<=a^2+2*a*b+b^2[/mm] /-4*a*b
> [mm]a^2\red{-}2*a*b+b^2>=0[/mm]
> [mm](a-b)^2>=0[/mm]
> und damit sind alle x aus R [mm]x^2>=0[/mm]
> Ist das richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Außer dass du beim Eintippen ein Vorzeichen falsch hast (rot markiert)
> Bei der 2. ,weiss ich nicht so genau was ich machen soll.
> Reicht es nicht,wenn ich einfach zeigen, dass [mm]a_n<= b_n[/mm]
> ist?
Nicht unbedingt. Es könnte ja sein, dass alle [mm]a_n[/mm] immer kleiner und alle [mm]b_n[/mm] immer größer werden. Dann wäre auch [mm]a_n\le b_n[/mm], aber sie würden immer weiter auseinanderlaufen. Dadurch, dass du alle drei Ungleichungen [mm]a_n\le a_{n+1}[/mm], [mm]a_{n+1}\le b_{n+1}[/mm], [mm]b_{n+1}\le b_n[/mm] nachweist, bekommst du heraus, dass beide Folgen monoton und beschränkt und daher konvergent sind.
Mit dem Hinweis bekommst du die zweite der drei Ungleichungen per vollständiger Induktion hin. Wenn du die hast, kannst du damit die anderen beiden [mm]a_n\le a_{n+1}[/mm] und [mm]b_{n+1}\le b_n[/mm] nachweisen.
> Und bei der 3 habe ich keine Ahnung.
Tipp: da du nun weisst, dass beide Folgen konvergent sind, kannst du auf beiden Seiten der Gleichung [mm]b_{n+1} = (a_n+b_n)/2[/mm] den Grenzübergang [mm]n\rightarrow\infty[/mm] machen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:26 Di 04.12.2007 | | Autor: | lisa7 |
Guten Tag reinerS,
danke für deine Hilfe!
Letzte Ungleichung habe ich einfach umgeformt.
Ich habe dann raus:
[mm] b_n+_1-a_n+_1=a_n+b_n/2-\wurze{a_n*b_n}=...=(\wurze{b_n}-\wurze{a_n})^2/2
[/mm]
[mm] =(\wurze{}b_n-\wurze{a_n})^2*(\wurze{b_n}+\wurze{a_n})^2/ 2*(\wurze{}b_n+\wurze{}a_n)^2=(b_n-a_n)^2/2*(\wurze{}b_n+\wurze{a_n})^2
[/mm]
Und das was, jedenfalls es kam dasselbe raus.
Kannst du mir bitte mit 2 helfen, einfach den Anfang zeigen.
Gruß lisa7
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