Grenzwerte und Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 Fr 10.03.2006 | | Autor: | AriR |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hey Leute, es gibt ja den Satz, dass wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n=a [/mm] gegen ist auch gilt: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(x_n)=f(a), [/mm] wenn f stetig ist.
Ich versuche gerade davon den Beweis nochmal herzuleiten, kann einer von euch mal gucken, ob ich das so richtig mache?
zz.: [mm] |f(x_n)-f(a)|< \varepsilon [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] N
Beweis: für [mm] n\to\infty [/mm] konvergiert [mm] x_n [/mm] gegen a. Da f auf dem ganzen Definitionsbereich stetig ist, existiert jeder grenzwert von [mm] f(x_n) [/mm] für [mm] n\to\infty, [/mm] also folt das was zu zeigen war... qed
ist das so richtig? wenn ja, sicher nicht formal genug oder?
könnte mir da bitte jemand weiterhelfen? danke schonmal vielmals im voraus.. gruß Ari :)
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Hallo Ari,
also das mit der Konvergenz der Bildfolgen konvergenter Folgen ist eine Moeglichkeit,
Stetigkeit von Funktionen zu charakterisieren. Ich vermute also mal, Du gehst von einer
anderen Stetigkeitsdefinition aus und moechtest dann die Aussage ueber Kovergenz von
Bildfolgen konvergenter Folgen daraus ableiten.
Welche Stetigkeitsdefinition legst Du denn zugrunde ? Kannst ja nicht jetzt argumentieren,
das sei ja schon die Definition.
Nehmen wir doch mal an, Du wuerdest die [mm] \epsilon-\delta [/mm] Definition von Stetigkeit
zugrundelegen.
Sei dann [mm] (a_n) [/mm] eine gegen a konvergent Folge.
Dann moechtest Du zeigen: Die Folge [mm] f(a_n) [/mm] konvergiert gegen f(a).
Def. der Konvergenz von Folgen eingesetzt, moechtest Du zeigen:
Zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 gibt es ein [mm] N\in\IN, [/mm] so daß fuer alle [mm] n\geq [/mm] N gilt:
[mm] |f(a_n)-f(a)|\leq \epsilon.\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: (\star)
[/mm]
Jetzt musst Du zunaechst die [mm] \epsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Definition der Stetigkeit
von f anwenden und Deine Anforderung [mm] (\star) [/mm] in eine Anforderung an die Folge [mm] (a_n) [/mm] uebersetzen,
d.h. zu [mm] \epsilon [/mm] gibt es ein [mm] \delta [/mm] .... und fuer dieses [mm] \delta [/mm] gibt es wg. der Konvergenz der Folge [mm] (a_n)
[/mm]
ein [mm] N\in\IN, [/mm] so dass fuer alle [mm] n\geq [/mm] N......
Ich denk, so wird deutlich, wie das Argument laufen sollte, richtig ?
Viele Gruesse
und frohes Schaffen,,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:23 Fr 10.03.2006 | | Autor: | AriR |
vielen dank schonmal..
ich habe eher an folgende def. der stetigkeit gedacht:
[mm] \limes_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)
[/mm]
geht das damit nicht?
danke im voraus =)
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Hallo Ari,
also wenn Du fuer die Def. ''Stetigkeit von f in a'' die Formel
[mm] \lim_{x\to a}f(x)\:\: =\:\: [/mm] f(a)
benutzt, so musst Du halt auch genau festlegen, was das heissen soll.
(a) Du koenntest sagen, dass soll heissen:
Fuer jede gegen a konvergente Folge [mm] (a_n) [/mm] konvergiert die Folge [mm] (f(a_n)) [/mm] gegen f(a).
(b) Du koenntest sagen, dass soll heissen::
Zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 gibt es [mm] \delta [/mm] > 0, so dass fuer alle [mm] x\in \IR [/mm] mit |x-a|< [mm] \delta
[/mm]
auch |f(x)-f(a)| [mm] <\epsilon [/mm] gilt.
Und diese beiden Definitionen sind halt aequivalent, d.h. f erfuellt Stetigkeit in a nach (a) genau dann, wenn
f Stetigkeit in a nach Definition (b) erfuellt.
Gruss,
Mathias
(Und viel Erfolg bei Deinen Klausurvorhaben !)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:51 Fr 10.03.2006 | | Autor: | AriR |
ich glaube ich habe eine lösung über deinen ansatz gefunden:
[mm] |x_n-a|< \delta [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] N , da f stetig [mm] \Rightarrow |f(x_n)-f(a)|<\varepsilon [/mm] für alle [mm] n\ge [/mm] N qed.
ist da so richtig +g+ ?
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