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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:03 So 26.06.2005 | | Autor: | orbis |
Hallo,
ich stehe im Moment vor einem dickem Problem und zwar muß ich folgende Aufgabe lösen:
Gegeben ist die Funktion f: [mm] \IR \to \IR, [/mm] definiert durch
*Hier fehlt noch die geschweifte Klammer vor den Funktionen*
[mm] \bruch{5-4x-x²}{x²-6x+5} [/mm] für x < 1
f(x)= [mm] \bruch{1}{2}(x+x²+x³) [/mm] für 1 [mm] \le [/mm] x < 2
[mm] \wurzel{12x²+2} [/mm] für 2 < 0
Zu untersuchen ist die Funktion f in den Punkten x0=1 und x1 = 2 auf Stetigkeit.
Kann mit hier irgendjemand helfen? Weil ich komme einfach nicht zur Lösung.
Mein bisheriger Lösungansatz sah folgendermaßen aus:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1 x<1} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1 x<1} \bruch{-x²+4x+5}{x²-6x+6}
[/mm]
= [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1 x<1} \bruch{(x-1)(x+5)}{(x-1)(x-5)} [/mm] *Zerlegung in Linearfaktoren*
= [mm] \limes_{x\rightarrow\ 1 x<1} \bruch{(x+5)}{(x-5)} [/mm] = [mm] \bruch{(1+5)}{(1-5)}= [/mm] -1,5
Nun bin ich aber auch schon am Ende mit meinem Latein. Ich weiss nicht wie ich nun die 2+3 Funktion angehen soll. Davon abgesehen bin ich mir nocht einmal sicher aber mein bisheriger Ansatz überhaupt stimmt. Ich hoffe mir kann hier jemand weiterhelfen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, Andreas,
> [mm]\bruch{5-4x-x²}{x²-6x+5}[/mm] für x < 1
> f(x)= [mm]\bruch{1}{2}(x+x²+x³)[/mm] für 1 [mm]\le[/mm] x < 2
> [mm]\wurzel{12x²+2}[/mm] für 2 < 0
Statt 2 < 0 (???) soll es wohl heißen: x [mm] \ge [/mm] 2.
>
> Zu untersuchen ist die Funktion f in den Punkten x0=1 und
> x1 = 2 auf Stetigkeit.
>
> Mein bisheriger Lösungansatz sah folgendermaßen aus:
>
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1 x<1}[/mm] f(x) = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1 x<1} \bruch{-x²+4x+5}{x²-6x+6}[/mm]
Tippfehler im Nenner, aber wohl unerheblich!
>
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1 x<1} \bruch{(x-1)(x+5)}{(x-1)(x-5)}[/mm]
> *Zerlegung in Linearfaktoren*
> = [mm]\limes_{x\rightarrow\ 1 x<1} \bruch{(x+5)}{(x-5)}[/mm]
> = [mm]\bruch{(1+5)}{(1-5)}=[/mm] -1,5
>
Vorzeichenfehler: Im Zähler muss es heißen: -(x-1)(x+5) bzw. nach dem Kürzen: -x-5; daher Ergebnis: +1,5.
Nun brauchst Du den Funktionswert f(1) = [mm] \bruch{1}{2}*(1+1^{2}+1^{3}) [/mm] = 1,5
und der Grenzwert von rechts:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 1 x>1} \bruch{1}{2}*(x+x^{2}+x^{3}) [/mm] = 1,5
Dreimal derselbe Wert (1,5) als Ergebnis; daher: f stetig in [mm] x_{0}=1.
[/mm]
Analog bei [mm] x_{1}=2:
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 2 x<1} \bruch{1}{2}*(x+x^{2}+x^{3}) [/mm] = 7
f(2) = [mm] \wurzel{12*2^{2}+2} [/mm] = [mm] \wurzel{50}
[/mm]
Schade! Wenn's [mm] \wurzel{12x^{2}+1} [/mm] geheißen hätte, käm [mm] \wurzel{49}=7 [/mm] raus und die Funktion wär' auch bei [mm] x_{1}=2 [/mm] stetig!
So aber brauchst Du den zweiten Grenzwert gar nicht mehr hinzuschreiben: Die Funktion ist unstetig bei [mm] x_{1}=2.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 So 26.06.2005 | | Autor: | orbis |
Hallo,
erst einmal vielen Dank für deine Antwort.
Im übrigen sollt es heißen "für 2 < x" und nicht "2 < 0". Sorry!
Du sagtest "Dreimal derselbe Wert (1,5) als Ergebnis; daher: f stetig in $ [mm] x_{0}=1. [/mm] $
Wenn ich aber 1,5 in [mm] \wurzel{12x²+2} [/mm] einsetze erhalte ich [mm] \wurzel{14} [/mm] = 3,74
Also wäre f doch auch in $ [mm] x_{0}=1. [/mm] $ untestetig? Oder irre ich mich da jetzt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 So 26.06.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Orbis,
> Hallo,
>
> erst einmal vielen Dank für deine Antwort.
>
> Im übrigen sollt es heißen "für 2 < x" und nicht "2 < 0".
> Sorry!
Wenn es hier 2<x und nicht 2 [mm] \le [/mm] x heißt, müsste es bei dem 2.Teil der Definition heißen [mm] 1 \le x \le2 [/mm].
Prüfst du das nochmal. Denn sonst ist die Funktion an der Stelle 2 nicht definiert.
>
>
> Du sagtest "Dreimal derselbe Wert (1,5) als Ergebnis;
> daher: f stetig in [mm]x_{0}=1.[/mm]
>
> Wenn ich aber 1,5 in [mm]\wurzel{12x²+2}[/mm] einsetze erhalte ich
> [mm]\wurzel{14}[/mm] = 3,74
>
> Also wäre f doch auch in [mm]x_{0}=1.[/mm] untestetig? Oder irre ich
> mich da jetzt?
Hier machst du einen Denkfehler. Die x-Werte gehen doch gegen 1, also musst du die Grenzwerte mit f(1) vergleichen. Wie Zwerglein vorgerechnet hat, ist f(1)=1,5.
Die beiden Grenzwertberechnungen besagen, dass sich die y-Werte immer mehr der Zahl 1,5 annähern, wenn sich die x-Werte immer mehr der 1 annähern.
Es muss doch bei Stetigkeit gelten:
[mm] \limes_{x\rightarrow x_0\wedge xx_0} f(x) = f(x_0) [/mm]
Gruß
Sigrid
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 So 26.06.2005 | | Autor: | orbis |
Hallo Sigrid,
> Wenn es hier 2<x und nicht 2 [mm]\le[/mm] x heißt, müsste es bei
> dem 2.Teil der Definition heißen [mm]1 \le x \le2 [/mm].
> Prüfst du
> das nochmal. Denn sonst ist die Funktion an der Stelle 2
> nicht definiert.
>
Also es beim 1.Teil heißt es "für x < 1", beim 2.Teil für [mm]1 \le x \le2 [/mm] und beim 3.Teil für 2<x.
> Wenn ich aber 1,5 in $ [mm] \wurzel{12x²+2} [/mm] $ einsetze erhalte ich $ [mm] \wurzel{14} [/mm] $= 3,74
Ich meine natürlich 1 und nicht 1,5. Dieses ergibt dann $ [mm] \wurzel{14} [/mm] $= 3,74
> Also wäre f doch auch in $ [mm] x_{0}=1. [/mm] $untestetig? Oder irre ich mich da jetzt?
>Hier machst du einen Denkfehler. Die x-Werte gehen doch gegen 1, also musst du die Grenzwerte >mit f(1) vergleichen. Wie Zwerglein vorgerechnet hat, ist f(1)=1,5.
>Die beiden Grenzwertberechnungen besagen, dass sich die y-Werte immer mehr der Zahl 1,5 >annähern, wenn sich die x-Werte immer mehr der 1 annähern.
>Es muss doch bei Stetigkeit gelten:
>$ [mm] \limes_{x\rightarrow x_0\wedge xx_0} [/mm] f(x) = [mm] f(x_0) [/mm] $
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Hi, orbis,
Du musst Dir das so vorstellen:
Deine Funktion besteht aus 3 Stücken:
(1) Links von x=1 ist es der Graph einer gebrochen-rationalen Funktion,
(2) zwischen 1 und 2 ein klitzekleines Stück einer Kurve 3. Grades und
(3) rechts von x=2 der Graph einer Wurzelfunktion.
Bei der Stetigkeit geht's nun darum, ob die Teile "direkt aneinanderkleben" oder ob ein kleiner (manchmal auch großer) "Sprung" dazwischen ist.
Bei x=1 spielen nur die Teile (1) und (2) eine Rolle; Teil (3) liegt zu weit weg. Daher werden für die Stetigkeit in x=1 auch nur die ersten beiden Terme berücksichtigt.
Bei x=2 werden analog natürlich nur Teil (2) und Teil (3) berücksichtigt: das linke Stück der Kurve "liegt zu weit ab vom Schuss".
Wie kannst Du Dir nun anschaulich vorstellen, was beim Beweis der Stetigkeit gemacht wird?
Nun: Du läufst auf dem Graphen der Funktion auf den gesuchten x-Wert zu (sagen wir: in Deinem Beispiel x=1), und zwar
- einmal von links (Grenzwert von links) und
- einmal von rechts (Grenzwert von rechts).
Du solltest beide Male "an derselben Stelle" (y-Wert!) ankommen!
(Passt in Deinem Beispiel, weil beide Male y=1,5 rauskommt!)
AABERRR: Selbst das reicht noch nicht, denn der Graph der Funktion könnte immer noch dort, wo Du ankommst, ein "Loch" (Definitionslücke) haben.
Daher musst Du auch noch den Funktionswert an der betreffenden Stelle (bei uns x=1) ausrechnen. Kommt zum dritten mal derselbe y-Wert (1,5) raus, ist die Funktion endgültig als stetig AN DIESER STELLE erkannt.
Die zweite Stelle (x=2) muss natürlich nach demselben Muster untersucht werden, wobei eben nur die BEIDEN (!) Teile der Funktion berücksichtigt werden, die "in der Nähe dieser Stelle" liegen (aber das hatten wir ja schon)!
Und: Die oben berechnete y-Koordinate des ersten Punktes, also y=1,5, hat für diesen zweiten Teil der Rechnung ÜBERHAUPT NICHT DIE GERINGSTE BEDEUTUNG; speziell ist es völlig sinnlos, y=1,5 für x (??!!??) irgendwo einsetzen zu wollen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:41 So 26.06.2005 | | Autor: | orbis |
Hallo Zwerglein,
danke nochmal für Hilfe. Langsam dämmerst bei mir. Nun habe ich trotzdem eine so hoffe ich letzte Frage. Und zwar du sprachst davon "dreimal derselbe Wert (1,5) als Ergebnis; daher f stetig in x0=1
Wo setze ich x0=1 als drittes denn ein, wenn nicht in den 3.Term ?
Das erschließt sich für mich leider noch nicht ganz.
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Hi, orbis,
Du setzt das x dort ein, wo es der Aufgabensteller definiert hat.
Nehmen wir wieder Dein Beispiel:
Bei Term (1) steht x < 1. Heißt: Da gehört x=1 nicht dazu! Ich komm' zwar "ganz nah ran", aber doch nicht ganz hin!
Bei Term (2) steht: 1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2. Aha, oho, aufgepasst: hier gehören beide Ränder dazu, sowohl x=1, als auch x=2.
Mit diesem Term und keinem anderen musst Du f(1) ausrechnen!!!
(Und für den 2.Teil der Aufgabe auch f(2)!).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:22 Mo 27.06.2005 | | Autor: | orbis |
Hallo,
also der Vollständigkeit halber müßte meine Lösung dann so aussehen:
[mm] \bruch{5-4x-x²}{x²-6x+5} [/mm] für x < 1
f(x) = [mm] \bruch{1}{2}(x+x²+x³) [/mm] für 1 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 2
[mm] \wurzel{12x²+2} [/mm] für 2 < x
[mm] \limes_{x\rightarrow\1x<1} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow\1x<1} \bruch{-x²-4x+5}{x²-6x+5} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\1x<1} \bruch{-(x-1)(x+5)}{(x-1)(x-5)} [/mm] = [mm] \bruch{-(1+5)}{(1-5)}= [/mm] 1,5 Linker Grenzwert
Funktionswert f(1) = [mm] \bruch{1}{2}*(1+1²+1³) [/mm] = 1,5
Grenzwert von rechts:
[mm] \limes_{x\rightarrow\1x<1} \bruch{1}{2}*(x+x²+x³) [/mm] = 1,5
daher ist f stetig in [mm] x_{0}=1
[/mm]
[mm] x_{1}=2
[/mm]
Funktionswert f(2) = [mm] \bruch{1}{2}*(2+2²+2³) [/mm] = 7
[mm] \limes_{x\rightarrow\1x<1} \bruch{1}{2}*(x+x²+x³) [/mm] = 7
f(2) = [mm] \wurzel{12*2²+2} [/mm] = [mm] \wurzel{50} [/mm] daraus folgt: Die Funktion ist untestetig in [mm] x_{1}=2
[/mm]
Wenn ich nichts vergessen habe, müßte meine Lösung doch so aussehen. Oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Mo 27.06.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Roadrunner,
bring' mir den armen orbis nicht durcheinander!
>
> > Grenzwert von rechts:
> > [mm]\limes_{x\rightarrow\1x<1} \bruch{1}{2}*(x+x²+x³)[/mm] = 1,5
>
> Diese Zeile ist überflüssig, da sie ja bereits mit dem
> Funktionswert abgedeckt wird.
>
Zwar reiner Formalismus, aber:
DIESE ZEILE IST NICHT ÜBERFLÜSSIG,
da in der Rechnung klargemacht werden MUSS,
dass auch der rechtsseitige Grenzwert 1,5 ist!
Wie will man das anders tun, als ihn hinzuschreiben?
MERKE: Drei Dinge braucht der Mann für die Stetigkeit:
- Grenzwert von links,
- Grenzwert von rechts,
- Funktionswert.
(PS: Die Frau natürlich auch!)
Lediglich in äußeren Randpunkten wird oft definiert,
dass "einseitige" Stetigkeit als echte Stetigkeit gilt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:03 Mo 27.06.2005 | | Autor: | orbis |
Hallo Zusammen,
Danke für die super Hilfe ! Denke das ich es nun so langsam verstanden habe.
Gruß
Andreas alias Orbis
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Fast richtig! Hier mußt Du das beim Wurzelausdruck auch mit der Limes-Schreibweise formulieren, da der Wert $x \ [mm] \red{=} [/mm] \ 2$ nicht mehr zu dieser Funktionsvorschrift gehört.
