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| Aufgabe | | Vorgehen zur Bestimmung des Grenzwertes |
Hallo, ich würde gerne wissen, ob ich richtig vorgehe, wenn ich den Grenzwert einer Folge bestimme:
Nehmen wir an, ich hätte eine Folge:
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
Um jetzt g zu bestimmen muss man doch lediglich n [mm] \to \infty [/mm] laufen lassen und gucken gegen was der Grenzwert läuft, oder?
Natürlich darf man Dinge, wie Häufungspunkte nicht außer Acht lassen.
Aber noch eine Frage: Benötigt man die Epsilon-Umgebung, um den Grenzwert zu bestimmen?
Sie dient doch nur dazu, um einen frei bestimmbaren "Bereich" festzulegen,
für den ein N(ε) > [mm] n_{0} (n_{0} [/mm] = Die nächst größte ganze Zahl [mm] \bruch{1}{Epsilon} [/mm] ) festgelgt werden soll, das in diesem Bereich liegt, sodass
[mm] |a_{n}-g|<= [/mm] Epsilon ist? Aber was bringt es, einem, dass zu wissen?
Grüße. Und ich hoffe, das war nicht zu viel Text. :)
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Hallo,
ja, soweit ist das alles richtig und auch nicht zuviel Text. 
> Vorgehen zur Bestimmung des Grenzwertes
>
> Hallo, ich würde gerne wissen, ob ich richtig vorgehe,
> wenn ich den Grenzwert einer Folge bestimme:
>
> Nehmen wir an, ich hätte eine Folge:
>
> [mm]a_{n}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
>
> Um jetzt g zu bestimmen muss man doch lediglich n [mm]\to \infty[/mm]
> laufen lassen und gucken gegen was der Grenzwert läuft,
> oder?
Ja, das genügt hier völlig. Es ist allerdings fast die einfachste denkbare Grenzwertbestimmung. Einfacher wäre nur eine konstante Folge...
> Natürlich darf man Dinge, wie Häufungspunkte nicht außer
> Acht lassen.
Auch dieses Problem taucht hier ja nicht auf.
> Aber noch eine Frage: Benötigt man die Epsilon-Umgebung,
> um den Grenzwert zu bestimmen?
Nein, hier nicht.
> Sie dient doch nur dazu, um einen frei bestimmbaren
> "Bereich" festzulegen,
> für den ein N(ε) > [mm]n_{0} (n_{0}[/mm] = Die nächst größte
> ganze Zahl [mm]\bruch{1}{Epsilon}[/mm] ) festgelgt werden soll, das
> in diesem Bereich liegt, sodass
> [mm]|a_{n}-g|<=[/mm] Epsilon ist? Aber was bringt es, einem, dass zu
> wissen?
Solange Du nur den Grenzwert suchst, bringt das hier nichts. Aber Du wirst sehr schnell Aufgaben haben, bei denen Du das gut gebrauchen kannst.
> Grüße. Und ich hoffe, das war nicht zu viel Text. :)
Grüße
reverend
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Ich meine jetzt ja auch nicht NUR diese simple Folge.
Das diente lediglich zur Veranschaulichung.
Meine Frage war eher generell gerichtet.
Stimmt das somit auch?
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Hallo nochmal,
> Ich meine jetzt ja auch nicht NUR diese simple Folge.
> Das diente lediglich zur Veranschaulichung.
>
> Meine Frage war eher generell gerichtet.
>
> Stimmt das somit auch?
Ich glaube nicht, dass man die Frage so allgemein beantworten kann. Schon der erste Teil (wir schauen mal, wohin das so läuft) kann ziemlich mühsam sein, z.B. bei sehr langsam und monoton wachsenden Folgen. Sind die dann beschränkt (und haben somit einen Grenzwert)? Oder wachsen sie über alle Grenzen?
Es gibt dann schon noch eine Menge mehr Handwerkszeug. Das, was Du bisher nennst, kann aber nie schaden. Es wird nur oft nicht reichen, besonders wenn Ihr zu Reihen kommt, also aufsummierten Folgen (bzw. Folgen von Partialsummen).
Ich lasse die Frage halboffen, vielleicht mag ja jemand mehr dazu schreiben.
Grüße
rev
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Mo 12.05.2014 | | Autor: | Haloelite |
Ja, Partialsummen ist das nächste Thema.
Aber bei Folgen kann man das grundsätzlich so machen.
Zumindest wird auch im Skript keine andere Methode aufgezeigt.
Danke.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mi 14.05.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:58 Mo 12.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo,
Reverend hat dir im Grunde schon alles beantwortet, aber
mir ist etwas sehr wichtiges aufgefallen bei deiner For-
mulierung deiner Frage(n).
> Vorgehen zur Bestimmung des Grenzwertes
> Um jetzt g zu bestimmen muss man doch lediglich n [mm]\to \infty[/mm]
> laufen lassen und gucken gegen was der Grenzwert läuft,
> oder?
> Aber noch eine Frage: Benötigt man die Epsilon-Umgebung,
> um den Grenzwert zu bestimmen?
Du hast eventuell nicht verstanden, dass beide "Aussagen"
äquivalent sind. Eine reelle Folge
[mm] (a_n)_{n\in\IN},
[/mm]
konvergiert gegen
[mm] a\in\IR,
[/mm]
falls gilt:
[mm] $\forall\epsilon>0\exists N=N(\epsilon)\in\IN:|a_n-a|<\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$
[mm] \Longleftrightarrow
[/mm]
[mm] \lim_{n\to\infty}a_n=a.
[/mm]
Das war mir ganz am Anfang des Studiums auch nicht klar.
Beachte, dass dieses
[mm] a\in\IR
[/mm]
dein Grenzwert ist (sofern dieser existiert). Aus diesem
Grund definiert man auch eine Nullfolge mit
[mm] $\forall\epsilon>0\exists N=N(\epsilon)\in\IN:|a_n-0|<\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$
[mm] \Longleftrightarrow
[/mm]
[mm] $\forall\epsilon>0\exists N=N(\epsilon)\in\IN:|a_n|<\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$
[mm] \Longleftrightarrow
[/mm]
[mm] \lim_{n\to\infty}a_n=0.
[/mm]
Ich hoffe, dass nun bei dir eine Birne aufgeht. Bei mir war
das nämlich der Fall (damals). 
Gruß
DieAcht
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Hallo, danke für die gute Antwort.
Ich verstehe jetzt, dass das das selbe ist.
Aber was genau bringt einem das?
Man rechnet mit dem Epsilon doch nicht.
Oder ist das rein zur Definition gedacht?
Grüße
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Hallo,
> Hallo, danke für die gute Antwort.
> Ich verstehe jetzt, dass das das selbe ist.
>
> Aber was genau bringt einem das?
> Man rechnet mit dem Epsilon doch nicht.
>
> Oder ist das rein zur Definition gedacht?
man weist Konvergenz gegen einen (schon bekannten, manchmal aber auch gegen einen vermuteten) Grenzwert nach.
Das Konvergenzkriterium ist eine von mehreren möglichen Definitionen von Folgenkonvergenz. Es ist dabei, bspw. im Vergleich zum Cauchy-Kriterium, die anschaulichste und sicherlich historisch gesehen die älteste Definition von Konvergenz. Auch wenn sie es formal noch nicht so ausgedrückt haben, so haben es doch auch schon die Mathematiker der Antike angewendet, bspw. bei der sog. Exhaustionsmethode im antiken Griechenland.
Generell solltest du in der Analysis von der Vorstellung wegkommen, das man immer alles 'ausrechnen' kann. Nein: wenn einmal die reellen Zahlen eingeführt sind, dann braucht man ganz schnell eine Definition für das, was wir heutzutage Konvergenz nennen. Und diese Definition lässt sich dann eben im einen oder anderen Fall auch ganz praktisch anwenden aber vor allem und zuerst ist sie eine Definition. Bevor wir sie nicht haben können wir streng genommen noch nicht einmal so etwas wie
[mm] \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0
[/mm]
als gesichert annehmen.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:17 Di 13.05.2014 | | Autor: | Haloelite |
Okay, vielen Dank.
Ich werds mir merken.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:23 Di 13.05.2014 | | Autor: | fred97 |
>
> Du hast eventuell nicht verstanden, dass beide "Aussagen"
> äquivalent sind. Sei
>
> [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm]
>
> eine reelle Folge, die gegen
>
> [mm]a\in\IR[/mm]
>
> konvergiert. Dann gilt:
>
> [mm]\forall\epsilon>0\exists N=N(\epsilon)\in\IN:|a_n-a|<\epsilon[/mm]
> für alle [mm]n\ge N[/mm]
>
> [mm]\Longleftrightarrow[/mm]
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}a_n=a.[/mm]
Hallo Acht,
obiges gefällt mir ganz und gar nicht !
" Sei [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] eine reelle Folge, die gegen [mm]a\in\IR[/mm] konvergiert"
ist doch nur eine Sprechweise für den Sachverhalt:
(*) [mm]\forall\epsilon>0\exists N=N(\epsilon)\in\IN:|a_n-a|<\epsilon[/mm] für alle [mm]n\ge N[/mm]
$ [mm] \lim_{n\to\infty}a_n=a [/mm] $ ist nur eine Abkürzung für (*)
Gruß FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:39 Di 13.05.2014 | | Autor: | DieAcht |
Hallo Fred,
Stimmt, das macht so wirklich keinen Sinn. Nochmal:
Eine reelle Folge [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] heißt konvergent gegen [mm] a\in\IR, [/mm] falls gilt:
[mm] $\forall\epsilon>0 \exists N=N(\epsilon)\in\IN:|a_n-a|<\epsilon$ [/mm] für alle [mm] $n\ge [/mm] N$
[mm] \left(\Longleftrightarrow\lim_{n\to\infty}a_n=a\right).
[/mm]
So sollte es nun passen. Danke Dir für die Korrektur Fred.
Liebe Grüße
DieAcht
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:49 Di 13.05.2014 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
>
> Stimmt, das macht so wirklich keinen Sinn. Nochmal:
>
> Eine reelle Folge [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] heißt konvergent gegen
> [mm]a\in\IR,[/mm] falls gilt:
>
> [mm]\forall\epsilon>0 \exists N=N(\epsilon)\in\IN:|a_n-a|<\epsilon[/mm]
> für alle [mm]n\ge N[/mm]
>
> [mm]\left(\Longleftrightarrow\lim_{n\to\infty}a_n=a\right).[/mm]
>
>
> So sollte es nun passen. Danke Dir für die Korrektur Fred.
Noch besser wäre:
Eine Folge [mm] (a_n) [/mm] heisst konvergent [mm] \gdw
[/mm]
[mm]\exists a \in \IR \forall\epsilon>0 \exists N=N(\epsilon)\in\IN:|a_n-a|<\epsilon[/mm] für alle [mm]n\ge N[/mm]
FRED
>
>
>
> Liebe Grüße
> DieAcht
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