Grenzwerte von Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:34 Sa 09.06.2007 | | Autor: | Zerwas |
| Aufgabe | (1) Sei [mm] n\ge [/mm] 2, [mm] n\in\IN [/mm] und [mm] a,x_0>0 [/mm] reelle Zahlen. Wir definieren die Folge [mm] (x_k)_{k\in\IN} [/mm] rekursiv durch
[mm] x_{k+1}:= \bruch{1}{n}((n-1)x_k+\bruch{a}{x_k^{n-1}}).
[/mm]
Zeigen Sie, dass [mm] (x_k)_{k\in\IN}gegen [/mm] eine eindeutig bestimmte Zahl x>0 mit [mm] x^n=a [/mm] konvergiert.
Folgern Sie daraus die Eindeutigkeit der Zahl [mm] x:=\wurzel[n]{a}, [/mm] für die x>0 und [mm] x^n=a [/mm] gilt. Eine andere Schreibweise für [mm] \wurzel[n]{a} [/mm] ist [mm] a^{\bruch{1}{n}}.
[/mm]
Tipp: Zeigen Sie für x,y>0, [mm] n\in\IN [/mm] : [mm] x>y\gdw x^n>y^n.
[/mm]
(2) Zeigen Sie, dass für x > 0, m, [mm] n\in\IN (x^n)^{\bruch{1}{m}}=(x^{\bruch{1}{m}})^n [/mm] gilt, d.h. [mm] x^q [/mm] für rationale q und positive x wohldefiniert ist.
Wir definieren weiterhin [mm] 0^q [/mm] := 0 für [mm] q\in\IQ, [/mm] q > 0. Wir haben somit [mm] x^q [/mm] für rationale q und positive x definiert.
(3)Sei [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] eine monoton fallende Folge nichtnegativer reeller Zahlen. [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_n [/mm] konvergiere. Zeigen Sie: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}na_n=0 [/mm] |
ÄÄhhmm ... ja ... eigentlich habe ich keinen Schimmer wie überhaupt ansetzen.
Zu(1):
Kann ich hier mit dem Cauchykriterium arbeiten? Also sagen dass [mm] |a_{k+1}-a_k|<\varepsilon [/mm] sein muss? Aber wie komme ich dann auf den Grenzwert?
Zu(2):
Hier einfach umformen? Oder gibt es andere Wege? Ich finde nämlich keine Möglichkeit das umzuformen so, dass es Sinn machen würde.
Zu(3):
[mm] a_n [/mm] wir also immer kleiner für große n ... wenn die Summe konvergiert muss die Folge gegen 0 streben für große n. Wenn man diese gegen 0 strebenden Werte dann mit einer immer größer werdenden Zahl multipliziert streben sie weiter gegen 0 aber wie zeige ich das???
Ich habe diese Frage auf keinem anderen Forum auf andern Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:27 Sa 09.06.2007 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
Zu 1.
WENN eine rekursiv def. folge konvergiert, dann geht ja x_k und x_{k+1} gegen denselben GW g. setz also in der Rekursoinsformel x_{k+1 und x_k gleich g und rechne g aus.
die Konvergenz geht hier wohl kaum über Cauchy, sondern 1. beschränkt, 2. monoton.
Zu 2 musst du erst sagen, wie x^{1/n} definiert ist. und das benutzen
Zu 3. aus n*a_n >\varepsilon einen Widerspruch zur Konvergenz der Summe konstruieren.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:48 So 10.06.2007 | | Autor: | Zerwas |
Okay ..vielen dank.
Dann also so:
Zu(1):
[mm] x_k [/mm] und [mm] x_{k+1} [/mm] konvergieren beide gegen x also setzte [mm] x_k=x_{k+1}=x
[/mm]
==>:
[mm] x=\bruch{1}{n}((n-1)x+\bruch{a}{x^{n-1}}) \gdw
[/mm]
[mm] x=\bruch{1}{n}(nx-x+\bruch{a}{x^{n-1}}) \gdw
[/mm]
[mm] x=x-\bruch{x}{n}+\bruch{a}{n*x^{n-1}} \gdw
[/mm]
[mm] 0=-\bruch{x}{n}+\bruch{a}{n*x^{n-1}} \gdw
[/mm]
[mm] 0=\bruch{-x^n+a}{n*x^{n-1}} \gdw
[/mm]
[mm] 0=-x^n+a \gdw
[/mm]
[mm] x^n=a [/mm]
Also ist der Grenzwert x = [mm] \wurzel[n]{a}
[/mm]
Die Eindeutigkeit kann ich dann zeigen indem ich sage, dass in [mm] \IR [/mm] eine Ordnung definiert ist und die beim Potenzieren und damit auch beim Wurzel ziehen erhalten bleibt (mit Beweis dessen nat) oder?
Zu(2):
[mm] x^{\bruch{1}{n}}=\wurzel[n]{x}
[/mm]
Also:
[mm] (x^n)^{\bruch{1}{m}}=\wurzel[/mm] [m][mm] {(x^n)}
[/mm]
m und n heben sich gegeneinander auf:
Sein nun [mm] n\ge [/mm] m:
[mm] \wurzel[/mm] [m][mm] {(x^n)}=x^{n-m} [/mm]
Und wie jetzt weiter?
Zu(3):
Durch Widerspruch:
Sei [mm] n*a_n >\varepsilon [/mm] für [mm] n\rightarrow\infty
[/mm]
Aber wie finde ich hier einen Widerspruch? Ich kann den Zsmhang leider nicht erkennen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Di 12.06.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
