Grenzwerte von Funktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:58 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Reaper |
| Aufgabe 1 | In unserem Skript steht:
"Sei f: A [mm] \to [/mm] B, [mm] x_{0} [/mm] Häufungspunkt von A.
f besitzt bei x [mm] \to x_{0} [/mm] den Grenzwert y, Symbol [mm] \limes_{x\rightarrow\x_{0}}f(x)=y:
[/mm]
[mm] \gdw \forall \varepsilon [/mm] >0 [mm] \exists\ \delta [/mm] >0 [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] \ [mm] (U_{\delta} [/mm] ( [mm] x_{0} [/mm] \ [mm] {x_0}) \cap [/mm] A:f(x) [mm] \in U_{\varepsilon} [/mm] (y). " |
| Aufgabe 2 | Skript:
"Man beachte, dass bei obiger Definition dass [mm] x_0 [/mm] nicht in A sein muss.
Falls [mm] x_0 \in [/mm] A, muss y nicht mit [mm] f(x_0) [/mm] übereinstimmen.
"Ist A = [-1,1] und f:A -> [mm] \IR [/mm] definiert durch f(x) = 0 für [mm] x\not=0
[/mm]
und f(0)=1,dann ist [mm] \limes_{x\rightarrow0}f(x)=0 \not= [/mm] f(0)" |
Aufgabe1:
Zum Häufungspunkt gibt es ja 2 Definitionen....ich tippe mal drauf dass
die gemeint ist: [mm] U_{\varepsilon} [/mm] ( x ) \ {x} ) [mm] \cap [/mm] A != [mm] \emptyset [/mm] oder?
x -> [mm] x_{0} [/mm] bedeutet dass im Urbild A die Werte x gegen [mm] x_{0} [/mm] konvergieren oder?
Wie soll mir die Definition z.b. beim unteren Bsp. helfen? Ich kann mir da absolut nichts drunter vorstellen...
Aufgabe2:
Dass [mm] x_{0} [/mm] nicht in A sein muss sondern nur eine Teil der Umgebung rund um den Punkt [mm] x_{0} [/mm] ist klar.....mehr leider nicht....
Wieso ist z.b. [mm] \limes_{x\rightarrow0}f(x)=0???
[/mm]
Wie kommt man da drauf? Was für einen Ansatz denkt man sich da?
mfg,
Hannes
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Sa 07.01.2006 | | Autor: | felixf |
> In unserem Skript steht:
> "Sei f: A [mm]\to[/mm] B, [mm]x_{0}[/mm] Häufungspunkt von A.
> f besitzt bei x [mm]\to x_{0}[/mm] den Grenzwert y, Symbol
> [mm]\limes_{x\rightarrow\x_{0}}f(x)=y:[/mm]
Du meinst sicher
> [mm]\gdw \forall \varepsilon[/mm] >0 [mm]\exists\ \delta[/mm] >0 [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] \ [mm](U_{\delta}[/mm] ( [mm]x_{0})[/mm] \ [mm]\{x_0\}) \cap[/mm] A:f(x) [mm]\in U_{\varepsilon}[/mm](y). "
oder?
> Skript:
> "Man beachte, dass bei obiger Definition dass [mm]x_0[/mm] nicht in
> A sein muss.
> Falls [mm]x_0 \in[/mm] A, muss y nicht mit [mm]f(x_0)[/mm] übereinstimmen.
> "Ist A = [-1,1] und f:A -> [mm]\IR[/mm] definiert durch f(x) = 0 für
> [mm]x\not=0[/mm]
> und f(0)=1,dann ist [mm]\limes_{x\rightarrow0}f(x)=0 \not=[/mm]
> f(0)"
>
> Aufgabe1:
> Zum Häufungspunkt gibt es ja 2 Definitionen....ich tippe
> mal drauf dass
> die gemeint ist: [mm]U_{\varepsilon}[/mm] ( x ) \ {x} ) [mm]\cap[/mm] A !=
> [mm]\emptyset[/mm]
... fuer alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$.
> oder?
Ja. Welche andere kennst du denn noch?
> x -> [mm]x_{0}[/mm] bedeutet dass im Urbild A die Werte x gegen
> [mm]x_{0}[/mm] konvergieren oder?
Sozusagen. Wobei sie den Wert [mm] $x_0$ [/mm] nicht annehmen. Eine andere Definition von $y = [mm] \lim_{x\to x_0} [/mm] f(x)$ verlangt, dass fuer jede Folge [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] in $A$ mit [mm] $x_n \neq x_0$ [/mm] fuer alle $n [mm] \in \IN_{>0}$ [/mm] gilt [mm] $f(x_n) \to [/mm] y$.
> Wie soll mir die Definition z.b. beim unteren Bsp. helfen?
> Ich kann mir da absolut nichts drunter vorstellen...
Nun. Sei ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ vorgegeben. Waehle [mm] $\delta [/mm] = 1$. (Da die Funktion immer konstant $0$ ist ist das voellig egal, solange $0 < [mm] \delta [/mm] < 1$ ist; insbesondere ist [mm] $\delta$ [/mm] hier unabhaengig von [mm] $\varepsilon$ [/mm] waehlbar. Im allgemeinen ist das nicht so!)
Dann nimm dir ein $x [mm] \in U_\delta(0) \setminus \{ 0 \}$, [/mm] also $x [mm] \in \left]-1, -1\right[$ [/mm] mit $x [mm] \neq [/mm] 0$. Dann ist $f(x) = 0$, also insbesondere $f(x) [mm] \in U_\varepsilon(0)$.
[/mm]
Damit ist die Bedingung aus der Definition erfuellt und somit ist [mm] $\lim_{x\to x_0} [/mm] f(x) = 0$.
HTH & LG Felix
> Aufgabe2:
> Dass [mm]x_{0}[/mm] nicht in A sein muss sondern nur eine Teil der
> Umgebung rund um den Punkt [mm]x_{0}[/mm] ist klar.....mehr leider
> nicht....
>
> Wieso ist z.b. [mm]\limes_{x\rightarrow0}f(x)=0???[/mm]
> Wie kommt man da drauf? Was für einen Ansatz denkt man
> sich da?
>
> mfg,
> Hannes
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:03 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Reaper |
Hallo....warum x [mm] \in [/mm] ]-1,-1[ ...gehärt da nicht eher [-1,1] ?
mfg,
Hannes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Sa 07.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Hallo....warum x [mm]\in[/mm] ]-1,-1[ ...gehärt da nicht eher [-1,1]
> ?
Nun, die [mm] $\delta$-Umgebung [/mm] um $0$ mit [mm] $\delta [/mm] = 1$ ist gerade [mm] $\left]-1, 1\right[$, [/mm] da sie offen ist 
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Reaper |
Blöde Frage aber woher weiß ich dass die Menge offen sein muss? Und ich kapier leider auch nicht deine sigma Wahl mit 1. Warum ist sie hier beliebig?
Ja weil die Funktion immer konstant bleibt ....aber warum weiß ich dass dann?
mfg,
Hannes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Sa 07.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Blöde Frage aber woher weiß ich dass die Menge offen sein
> muss?
Das [mm] $U_\delta(x)$? [/mm] Schau dir mal die Definition davon an!
> Und ich kapier leider auch nicht deine sigma Wahl mit
> 1. Warum ist sie hier beliebig?
Einmal ist es ein delta und kein sigma  Nun, du kannst auch jedes beliebige andere [mm] $\delta [/mm] > 0$ nehmen.
> Ja weil die Funktion immer konstant bleibt ....aber warum
> weiß ich dass dann?
Nun sie ist konstant ausser in $x = 0$: Das siehst du an der Definition der Funktion! Sie ist ja ueberall gleich $0$, ausser in $x = 0$, wo sie $1$ ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Sa 07.01.2006 | | Autor: | Reaper |
Hallo....ok jetzt weiß ich warum die Delta Umgebung offen sein muss.
Nun gut warum die Funktion konstant ist weiß ich auch......aber du sagst doch dass delta frei wählbar ist solange 0 < delta < 1 ist. Und dann nimmst du für delta plötzlich 1 her....auf was bezieht sich dass 0 < delta < 1 ? Kann ich für delta auch z.b. 2 hernehmen?
mfg,
Hannes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Sa 07.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Hallo....ok jetzt weiß ich warum die Delta Umgebung offen
> sein muss.
>
> Nun gut warum die Funktion konstant ist weiß ich
> auch......aber du sagst doch dass delta frei wählbar ist
> solange 0 < delta < 1 ist. Und dann nimmst du für delta
> plötzlich 1 her....auf was bezieht sich dass 0 < delta < 1
> ? Kann ich für delta auch z.b. 2 hernehmen?
Oeh ich wollte glaube ich $0 < [mm] \delta \le [/mm] 1$ schreiben :D Und [mm] $\delta$ [/mm] kann aber auch groesser als $1$ sein, da hast du schon recht. Sorry fuer die Verwirrung :)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:54 So 08.01.2006 | | Autor: | Reaper |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR [/mm] \ {0} -> [mm] \IRdefiniert [/mm] durch f(x):=1/x
Dann ist [mm] \limes_{x\rightarrow0^+}f(x) [/mm] = + [mm] \infty [/mm] und
[mm] \limes_{x\rightarrow0^-}f(x) [/mm] = - [mm] \infty ;\limes_{x\rightarrow0}f(x) [/mm] existiert nicht |
Aufgabe1:
Hier ist der Häufungspunkt 0. Angenommen ich weiß am Anfang noch nicht dass nur 2 einseitige Grenzwerte existieren. [mm] \varepsilon [/mm] > 0 sei gegeben und ich wähle mir ein [mm] \delta [/mm] = 1 aus.Die Delta-Umgebung schaut nun so aus:
]1,-1[ \ {0} . Wieso weiß ich jetzt dass [mm] \limes_{x\rightarrow0}f(x) [/mm] nicht existiert?
Kann ich hier wieder das [mm] \delta [/mm] beliebig wählen? Wahrscheinlich nicht da die Funktion nicht konstant ist.....aber wie weiß ich welches [mm] \delta [/mm] ich wählen soll?
Habs auch schon mit der anderen Defniton von Grenzwerten von Funktionen versucht:
Sei [mm] x_0 [/mm] Häufungspunkt von A und f:A->B.
Dann gilt:
[mm] \limes_{x\rightarrowx_0}f(x)=y \gdw \forall(x_n)\in(A [/mm] \ [mm] {x_0} )^\IN [/mm] :
[mm] (x_n [/mm] -> [mm] x_0 \Rightarrow f(x_n) [/mm] -> y)
OK...nehmen wir also die Folge 1/n her....die geht gegen 0. Aber wie komm ich dann auf das y???
mfg,
Hannes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:16 So 08.01.2006 | | Autor: | felixf |
> Sei f: [mm]\IR[/mm] \ {0} -> [mm]\IRdefiniert[/mm] durch f(x):=1/x
> Dann ist [mm]\limes_{x\rightarrow0^+}f(x)[/mm] = + [mm]\infty[/mm] und
> [mm]\limes_{x\rightarrow0^-}f(x)[/mm] = - [mm]\infty ;\limes_{x\rightarrow0}f(x)[/mm]
> existiert nicht
> Aufgabe1:
> Hier ist der Häufungspunkt 0. Angenommen ich weiß am
> Anfang noch nicht dass nur 2 einseitige Grenzwerte
> existieren. [mm]\varepsilon[/mm] > 0 sei gegeben und ich wähle mir
> ein [mm]\delta[/mm] = 1 aus.
Dir ist klar dass du bei einer allgemeineren Funktion [mm] $\delta$ [/mm] normalerweise abhaengig von [mm] $\varepsilon$ [/mm] waehlen musst? Nur bei sehr wenigen Funktionen ist die Wahl von [mm] $\delta$ [/mm] unabhaengig von [mm] $\varepsilon$!
[/mm]
Du willst zeigen, dass die Funktion $f$ in $x = 0$ nicht stetig ist. Also musst du ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ angeben, so dass zu jedem [mm] $\delta [/mm] > 0$ das Bild der Umgebung [mm] $U_\delta(0)$ [/mm] unter $f$ zwei Punkte enthaelt, deren Abstand $> 2 [mm] \varepsilon$ [/mm] ist.
Nun, es gibt immer ein $k > 0$ mit [mm] $\frac{1}{k} [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] und $k > 2 [mm] \varepsilon$. [/mm] Dann ist [mm] $\pm \frac{1}{k} \in U_\delta(0) \cap [/mm] A$. Jetzt schau dir mal die Werte von [mm] $\frac{1}{k}$ [/mm] unter $f$ an.
> Die Delta-Umgebung schaut nun so aus:
> ]1,-1[ \ {0} . Wieso weiß ich jetzt dass
> [mm]\limes_{x\rightarrow0}f(x)[/mm] nicht existiert?
> Kann ich hier wieder das [mm]\delta[/mm] beliebig wählen?
> Wahrscheinlich nicht da die Funktion nicht konstant
> ist.....aber wie weiß ich welches [mm]\delta[/mm] ich wählen soll?
> Habs auch schon mit der anderen Defniton von Grenzwerten
> von Funktionen versucht:
>
> Sei [mm]x_0[/mm] Häufungspunkt von A und f:A->B.
> Dann gilt:
> [mm]\limes_{x\rightarrowx_0}f(x)=y \gdw \forall(x_n)\in(A[/mm] \
> [mm]{x_0} )^\IN[/mm] :
> [mm](x_n[/mm] -> [mm]x_0 \Rightarrow f(x_n)[/mm] -> y)
>
> OK...nehmen wir also die Folge 1/n her....die geht gegen 0.
> Aber wie komm ich dann auf das y???
Nun, du nimmst an es gibt irgendein $y$: Die Folge $f(1/n)$ konvergiert sicher nicht gegen $y$! Also kann es keinen Grenzwert $y$ geben.
LG Felix
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