Grenzwerte von Partialsummen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:19 Do 16.01.2014 | | Autor: | LPark |
| Aufgabe | Man untersuche die Folgende geometrische Reihe auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} 3^{n} [/mm] * [mm] 2^{-n-1} [/mm] |
Wo mir eben schon so nett geholfen wurde, habe ich grade nochmal eine Frage:
Um die geometrische Reihe auf Konvergenz zu überprüfen muss ich doch die geometrische Summenformel benutzen und den Grenzwert ausrechnen, falls dieser existiert, oder?
Und wie genau weiß ich, was das "q" ist? Ich denke, es ist hier die 3.
Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Man untersuche die Folgende geometrische Reihe auf
> Konvergenz:
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} 3^{n}[/mm] * [mm]2^{-n-1}[/mm]
> Wo mir eben schon so nett geholfen wurde, habe ich grade
> nochmal eine Frage:
>
> Um die geometrische Reihe auf Konvergenz zu überprüfen
> muss ich doch die geometrische Summenformel benutzen und
> den Grenzwert ausrechnen, falls dieser existiert, oder?
> Und wie genau weiß ich, was das "q" ist? Ich denke, es
> ist hier die 3.
>
Nein: hier musst du das allgemeine Reihenglied erst geeignet zusammenfassen, es muss zwangsläufig von der Form [mm] q^n [/mm] sein, damit die Summenformel für die geometrische Reihe angewendet werden kann.
Tipp wären diverse Potenzgesetze, u.a.:
[mm]a^{-k}=\bruch{1}{a^k}[/mm] ; für [mm] a\ne{0}
[/mm]
sowie
[mm] x^a*x^b=x^{a+b}
[/mm]
Wenn du alles richtig machst, kommt am Ende heraus, dass diese Reihe bestimmt divergent ist.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Do 16.01.2014 | | Autor: | LPark |
Ich habe jetzt mal umgeformt:
[mm] 3^{n} \* \bruch{1}{2^{n}} \* \bruch{1}{2}
[/mm]
Eine weitere Vereinfachung ist, meines Wissens nach (wobei ich mich gerne belehren lasse) nicht möglich.
Also wäre q in diesem Fall [mm] \bruch{3}{2} [/mm] .
Und die geometrische Summenformel müsste lauten:
[mm] \bruch{1-(\bruch{3}{2})^{n}\*\bruch{3}{2}}{1-\bruch{3}{2}}
[/mm]
Und somit wäre der Grenzwert der Partialsummenfolge bestimmt divergent gegen [mm] \infty.
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Do 16.01.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe jetzt mal umgeformt:
>
> [mm]3^{n} \* \bruch{1}{2^{n}} \* \bruch{1}{2}[/mm]
>
> Eine weitere Vereinfachung ist, meines Wissens nach (wobei
> ich mich gerne belehren lasse) nicht möglich.
>
> Also wäre q in diesem Fall [mm]\bruch{3}{2}[/mm] .
>
> Und die geometrische Summenformel müsste lauten:
>
> [mm]\bruch{1-(\bruch{3}{2})^{n}\*\bruch{3}{2}}{1-\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> Und somit wäre der Grenzwert der Partialsummenfolge
> bestimmt divergent gegen [mm]\infty.[/mm]
ja
FRED
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:44 Do 16.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe jetzt mal umgeformt:
>
> [mm]3^{n} \* \bruch{1}{2^{n}} \* \bruch{1}{2}[/mm]
>
> Eine weitere Vereinfachung ist, meines Wissens nach (wobei
> ich mich gerne belehren lasse) nicht möglich.
>
> Also wäre q in diesem Fall [mm]\bruch{3}{2}[/mm] .
>
> Und die geometrische Summenformel müsste lauten:
>
> [mm]\bruch{1-(\bruch{3}{2})^{n}\*\bruch{3}{2}}{1-\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> Und somit wäre der Grenzwert der Partialsummenfolge
> bestimmt divergent gegen [mm]\infty.[/mm]
Du musst da mit den Notationen aufpassen (Du schreibst ständig [mm] "$n\,$"):
[/mm]
Untersucht werden soll
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} 3^{n}*2^{-n-1}\,,$
[/mm]
und es gilt:
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} 3^{n} *2^{-n-1}=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2}*\left(\frac{3}{2}\right)^n.$
[/mm]
Wir erkennen analog
[mm] $\sum_{n=0}^\red{N} 3^{n}*2^{-n-1}=\frac{1}{2}*\frac{1-(3/2)^{\red{N}+1}}{1-3/2}\,,$
[/mm]
und daher
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} 3^{n} *2^{-n-1}=\lim_{\red{N} \to \infty}\summe_{n=0}^{\red{N}} 3^{n} *2^{-n-1}=\lim_{\red{N} \to \infty}\frac{1}{2}*\frac{1-(3/2)^{\red{N}+1}}{1-3/2}=...$
[/mm]
Ich habe das einmal so hingeschrieben, damit es zum einen sauber(er) da
steht, und zum anderen, damit Du erkennst, dass bei Dir einmal [mm] $n\,$ [/mm] als
"Laufvariable" verwendet wurde, und an anderer Stelle hast Du es dann
wieder als "obere Grenze beim Summenzeichen" benutzt. Das kann verwirren!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:46 Do 16.01.2014 | | Autor: | LPark |
Danke erstmal.
Aber kannst du mir bitte erklären, was es mit n und N auf sich hat?
Ich kenne den Unterschied nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:55 Do 16.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
erstmal auch noch was zur Sprache: "Der Grenzwert der Partialsummenfolge
divergiert bestimmt gegen [mm] $\infty$" [/mm] sagt man nicht - Grenzwerte sind Grenzwerte.
Die "laufen (meist) nicht". Die Partialsummenfolge divergiert bestimmt (das
ist übrigens eine mathematischer Ausdruck: "bestimmte Divergenz") gegen [mm] $\infty$.
[/mm]
> Danke erstmal.
> Aber kannst du mir bitte erklären, was es mit n und N auf
> sich hat?
> Ich kenne den Unterschied nicht?
Na, in
[mm] $\sum_{n=0}^N q^n=\frac{1-q^{N+1}}{1-q}$ [/mm] (für alle $q [mm] \not=1$)
[/mm]
ist doch [mm] $n\,$ [/mm] "Laufvariable" und $N [mm] \in \IN_0$ [/mm] als obere Grenze (ansonsten beliebig,
aber) fest.
Sinnfrei wäre sowas wie
[mm] $\sum_{n=0}^n q^n\,.$
[/mm]
Du schreibst halt einmal
[mm] $\sum_{n=0}^\infty q^n\,,$
[/mm]
aber wenn Du
[mm] $\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\sum_{...}^{...}q^{...}$
[/mm]
benützen willst, kannst Du nicht mehr [mm] $n\,$ [/mm] dabei als Laufvariable im
Summenzeichen wählen. Was ginge wäre bspw.
[mm] $\frac{1-q^{n+1}}{1-q}=\sum_{k=0}^n q^k\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Do 16.01.2014 | | Autor: | LPark |
Erstmal, ja, das werde ich berücksichtigen. ^^
Also Grenzwerte divergieren nicht, sondern lediglich die Partialsummen, okay.
Also ist N ein fester wert und n eine Laufvariable.
Danke für die einfache Erklärung.
Aus den Definitionen wurde ich einfach nicht schlau.
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:07 Do 16.01.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Erstmal, ja, das werde ich berücksichtigen. ^^
> Also Grenzwerte divergieren nicht, sondern lediglich die
> Partialsummen, okay.
>
> Also ist N ein fester wert und n eine Laufvariable.
ja, wenn Du
[mm] $\sum_{n=0}^N q^n$
[/mm]
schreibst. Wenn Du
[mm] $\sum_{\ell=0}^t q^\ell$
[/mm]
schreibst, steht (im Falle [mm] $t=N\,$) [/mm] genau das gleiche da, nur ist dann [mm] $\ell$ [/mm] die
Laufvariable und [mm] $t\,$ [/mm] der feste Wert.
Man hat doch (meist) immer sowas wie
[mm] $\sum_{\text{Lauvariable}=\text{Startwert}}^{\text{Endwert}}a_{\text{Laufvariable}}\,,$
[/mm]
oder meinetwegen wenn wir anstelle von [mm] $\text{Startwert}$ $\text{uG}$ [/mm] (untere Grenze) und anstatt
von [mm] $\text{Endwert}$ $\text{oG}$ [/mm] (obere Grenze) und anstatt [mm] $\text{Laufvariable}$ [/mm] einfach [mm] $L\,$ [/mm] schreiben
[mm] $\sum_{L=\text{uG}}^{\text{oG}}a_L=a_{\text{uG}}+a_{\text{uG}+1}+a_{\text{uG}+2}+...+a_{\text{oG}}\,.$
[/mm]
Die untere bzw. obere Grenze ist dabei ja fest!
> Danke für die einfache Erklärung.
> Aus den Definitionen wurde ich einfach nicht schlau.
Jetzt klar(er)/ganz klar?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 Do 16.01.2014 | | Autor: | LPark |
Jap, jetzt ist es mir klar.
Man muss immer darauf achten, wo was steht (Laufvariable bzw. End-/Startwert.)
Danke! =)
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