Grenzwerte von Riemannfolgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:19 Di 29.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Grenzwerte
[mm] $(1)\, \, \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} f(\frac{i}{n})$ [/mm] und
[mm] $(2)\, \, \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n} f(\frac{i^2}{n^2})*(2i [/mm] -1 )$ beide existieren und gleich sind.
(b) Zeigen Sie, dass der Grenzwert
[mm] $\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} f(\frac{2i-1}{2n})$
[/mm]
existiert und den beiden obigen Grenzwerten gleich ist. |
Also, ich wollte das so beweisen .
Ich Zeige, dass der Grenzwert (2) existiert, danach begründe ich mit einem Satz aus der Vorlesung(*)(alle Riemann folgen haben den selben Grenzwert, wenn die Zerlegung [mm] $Z_n$ [/mm] $ [mm] \lim_{n \to \infty} |Z_n| \to [/mm] 0 $ ), dass (1) den selben Grenzwert wie (2) hat.
Dazu
Sei $f$ Integrierbar, dann ist f beschränkt, also existiert min max, d.h wiederum, dass eine Konstante C gibt, sodass [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in[0,1], [/mm] f(x) <C$
Also gilt
[mm] $(2)\, \, \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n} f(\frac{i^2} {n^2})*(2i [/mm] -1 ) < [mm] \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n} [/mm] C*(2i -1 ) = [mm] \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n} [/mm] C*2i [mm] -\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n} [/mm] C = [mm] \lim_{n \to \infty}\frac{Cn*(n+1)}{n^2} -\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n} [/mm] C $
Beide Konvergieren, also Existiert der Grenzwert.
Nun zu (1), da [mm] $|\frac{1}{n}=Z_n__{n\to \infty}|\to [/mm] 0$ und mit (*)gilt die Behauptung.
Nun
zu dem 2 Aufgabenteil,wähle die Zwischenpunkte [mm] $\xi_i [/mm] = [mm] \frac{i^2-(i-1)^2}{2n} =\frac{2i-1}{2n} [/mm] $
Richtig so?
Viele Grüße
Nadia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:31 Di 29.03.2011 | | Autor: | fred97 |
Deine ganze Abschätzerei bringt Dir nichts !
Wenn Du von 2 Folgen [mm] (a_n) [/mm] und [mm] (b_n) [/mm] weißt, dass [mm] a_n \le b_n [/mm] ist und dass [mm] (b_n) [/mm] konvergiert, was weißt Du dann über die Konvergenz von [mm] (a_n) [/mm] ? Antwort : nix.
Beispiel: [mm] a_n= (-1)^n [/mm] und [mm] b_n [/mm] =1+1/n.
[mm] $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} f(\frac{i}{n}) [/mm] $ ist eine Riemannsumme für das Integral [mm] \integral_{0}^{1}{f(x) dx}. [/mm] Gib dazu eine geeignete Folge [mm] Z_n [/mm] von Zerlegungen und zugeh. Zwischen punkte an.
Dann weiß man: [mm] $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} f(\frac{i}{n}) \to \integral_{0}^{1}{f(x) dx}.$ [/mm]
Verfahre genauso bei (2) und (b)
FRED
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:52 Di 29.03.2011 | | Autor: | Nadia.. |
Oh danke, dann habe ich mir ja das Leben umsonst schwer gemacht.
Also nochmal
Sei f Integrierbar [mm] $Z_n [/mm] = [mm] \frac{1}{n} [/mm] , [mm] Z_n' [/mm] = [mm] \frac{1}{n^2} [/mm] $ eine Zerlegung und [mm] $x_i [/mm] = [mm] \frac{i(b-a)}{n}=\xi_i ,$x_i' [/mm] = [mm] \frac{i^2(b-a)}{n^2}=\xi_i'$ [/mm] die Zwischenpunkte
[mm] $\Rightarrow s(f,\xi,Z_n) [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} f(\frac{i}{n})= \integral_{0}^{1}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^{n} f(\frac{i^2}{n^2})\cdot{}(2i [/mm] -1 )= [mm] s(f,\xi',Z_n') [/mm] $
Reicht das so aus, oder versteh ich was falsch ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Do 31.03.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Guten Abend an alle,
würde gerne die Aufgabe lösen, nur weiß ich nicht wie ich vorgehen soll, alleine bei der Zerlegung habe ich Schwierigkeiten. Wäre jetzt richtig wie Nadia gemacht hat oder könnt ihr mir helfen wie ich mit der Zerlegung anfangen soll?
Viele liebe Grüße
Gina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Mi 29.10.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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