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Grenzwertkriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:57 Fr 06.02.2009
Autor: Englein89

Hallo,

ich möchte für die folgende Reihe

[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{5^n}{n^2} [/mm] das Grenzwertkriterium anwenden, um auf die Konvergenz zu schließen.

Grenzwertkriterium, damit meine ich: Teile ich meine Reihe durch eine Reihe, dessen Konvergenz mir bekannt ist und bekomme ich ein Ergebnis zwischen 0 und unendlich, so nimmt meine Reihe die Konvergenz der Vergleichsreihe an.
Aber mit der Vergleichsreihe [mm] 1/n^2 [/mm] komme ich nicht wirklich voran, denn dann bekomme ich am Ende: [mm] 5^n. [/mm] Geht zwar für unendlich gegen unendlich, aber da meine Vergleichsreihe konvergiert, die Reihe aber divergiert klappt das nicht.

Wieso?

        
Bezug
Grenzwertkriterium: notwendiges Kriterium
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:02 Fr 06.02.2009
Autor: Loddar

Hallo Englein!


Dieses "Grenzwertkriterium" kenne ich nicht und ist mir sehr suspekt ...

Aber überprüfe diese Reihe auf das notwendige Kriterium: Ist [mm] $\bruch{5^n}{n^2}$ [/mm] eine Nullfolge?


Ansonsten kommst Du hier auch mit Quotienten- oder Wurzelkriterium weiter.


Gruß
Loddar


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Bezug
Grenzwertkriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:11 Fr 06.02.2009
Autor: Englein89

Stimmt, es ist keine Nullfolge, also divergiert sie.

Was ist damit

[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{n^2+4}}? [/mm]

Vermutlich sollte ich da mit dem Majoranten/Minoranenkriterium drangehen, aber da tu ich mir doch noch etwas schwer.


Denn ich könnte ja zb den Nenner größer, also die Reihe kleiner machen wenn ich statt 4 [mm] n^2 [/mm] nehme, aber es muss ja nicht sein, dass [mm] n^2 [/mm] immer größer als 1 ist.

Was würdet ihr machen?

Bezug
                        
Bezug
Grenzwertkriterium: abschätzen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:22 Fr 06.02.2009
Autor: kuemmelsche

Hallo,

was wäre denn, wenn du die 4 einfach wegfallen lässt?

Dann steht ja da [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{n^2+4}}< \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{n^2}}[/mm] , die harmonische Reihe.

Und was macht die harmonische Reihe?

lg Kai

Bezug
                                
Bezug
Grenzwertkriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:25 Fr 06.02.2009
Autor: Englein89

Ah, das ist dann 1/n und das divergiert, also divergiert meine Reihe? denn [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] ist doch 1/n.

Aber dann müsste die Reihe doch kleiner sein für das Minorantenkriterium.

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwertkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:39 Fr 06.02.2009
Autor: schachuzipus

Hallo,

> Ah, das ist dann 1/n und das divergiert, also divergiert
> meine Reihe? denn [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] ist doch 1/n.
>  
> Aber dann müsste die Reihe doch kleiner sein für das
> Minorantenkriterium. [ok]

Gut erkannt, die Abschätzung war nicht besonders hilfreich, eine divergente Majorante bringt dir nix.

Vergrößere den Nenne zu [mm] 2n^2, [/mm] dann hast du mit [mm] $\frac{1}{\sqrt{2}}\cdot{}\sum \frac{1}{n}$ [/mm] deine div. Minorante

LG

schachuzipus


Bezug
                                                
Bezug
Grenzwertkriterium: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:49 Fr 06.02.2009
Autor: Englein89

Aber [mm] \wurzel{n^2+n^2} [/mm] ist doch nicht zwanghaft größer als [mm] \wurzel{n^2+1} [/mm] oder?

Bezug
                                                        
Bezug
Grenzwertkriterium: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:53 Fr 06.02.2009
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Aber [mm]\wurzel{n^2+n^2}[/mm] ist doch nicht zwanghaft größer als
> [mm]\wurzel{n^2+1}[/mm] oder?

Für $n=1$ ist es gleich, ab $n=2$ ist es echt größer ...

Die Abschätzung müsste also streng genommen [mm] $\ge$ [/mm] sein ;-)

Aber der eine Summand (auch endlich viele) spielen für das Konvergenz-/Divergenzverhalten ja keine Rolle.

Wenn's dir lieber ist, vergrößere auf [mm] 10n^2 [/mm] oder auf [mm] 100000n^2 [/mm]


LG

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
Grenzwertkriterium: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:37 Fr 06.02.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Kai,

> Hallo,
>  
> was wäre denn, wenn du die 4 einfach wegfallen lässt?
>  
> Dann steht ja da [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{n^2+4}}< \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{\wurzel{n^2}}[/mm]
> , die harmonische Reihe.
>  
> Und was macht die harmonische Reihe?

Divergieren! Aber was nutzt das für dei Aufgabe?

Du hast eine divergente Majorante gefunden, das ist nicht hilfreich

Besser den Nenner vergrößern zu [mm] 2n^2, [/mm] dann hast du eine div. MINOrante

>  
> lg Kai  


LG

schachuzipus

Bezug
                                        
Bezug
Grenzwertkriterium: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:53 Fr 06.02.2009
Autor: kuemmelsche

Sorry, da hab ich mich wohl sehr vertan.

Stimmt... ich hab die Abschätzung mit der von [mm] \wurzel{n^2-4} [/mm] verwechselt!

lg Kai

Bezug
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