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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:40 Sa 05.12.2009 | | Autor: | krauti |
Hallo,
ich habe eine Frage zu den Grenzwertsätzen. Ich habe es so verstanden, dass man diese nur anwenden kan, wenn die Einzelfolgen jeweils konvergent sind, also eine konstante Folge oder eine Nullfolge.
Gilt dies auch bei einer Division, denn wenn ich jetzt die Folge
an = (5+3*n) / [mm] n^5
[/mm]
dann kann ich dies ja zu
an = (5/n +3) / [mm] n^4 [/mm] umformen.
Der Zähler geht gegen 3 und der Nenner geht gegen unendlich. Nach dem Grenzwertsatz benötigt aber doch jedes Folgenglied einen Grenzwert und in diesem Fall hat der Nenner keinen Grenzwert, da er gegen unendlich geht.
Stimmt die Regel bei einer Division, weil die Folge hat ja mit 3 einen Grenzwert oder?
Gruß
Kraufi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:53 Sa 05.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich habe eine Frage zu den Grenzwertsätzen. Ich habe es so
> verstanden, dass man diese nur anwenden kan, wenn die
> Einzelfolgen jeweils konvergent sind, also eine konstante
> Folge oder eine Nullfolge.
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> Gilt dies auch bei einer Division, denn wenn ich jetzt die
> Folge
>
> an = (5+3*n) / [mm]n^5[/mm]
>
> dann kann ich dies ja zu
>
> an = (5/n +3) / [mm]n^4[/mm] umformen.
>
> Der Zähler geht gegen 3 und der Nenner geht gegen
> unendlich. Nach dem Grenzwertsatz benötigt aber doch jedes
> Folgenglied einen Grenzwert und in diesem Fall hat der
> Nenner keinen Grenzwert, da er gegen unendlich geht.
>
> Stimmt die Regel bei einer Division, weil die Folge hat ja
> mit 3 einen Grenzwert oder?
Nein . 3 ist nicht der Grenzwert !
Tipp: Ausklammern von [mm] n^5 [/mm] im Zähler und im Nenner
FRED
>
>
> Gruß
> Kraufi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:00 Sa 05.12.2009 | | Autor: | krauti |
Also muss ich, wenn ich einen Bruch habe immer oben und unten die höchste Potenz der Gesamtfolge ausklammern, sodass keine einzelne Folge gegen unendlich strebt? Danach kann ich die Grenzwertsätze anwenden, oder?
Bei der oben genannten Folge habe ich nun 0 als Grenzwert rausbekommen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:01 Sa 05.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Also muss ich, wenn ich einen Bruch habe immer oben und
> unten die höchste Potenz der Gesamtfolge ausklammern,
> sodass keine einzelne Folge gegen unendlich strebt? Danach
> kann ich die Grenzwertsätze anwenden, oder?
>
> Bei der oben genannten Folge habe ich nun 0 als Grenzwert
> rausbekommen.
Das ist richtig
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Sa 05.12.2009 | | Autor: | krauti |
Wenn ich jetzt z.B. die Folge an= 1 / ( [mm] \wurzel{n+1} [/mm] + [mm] \wurzel{n} [/mm] ) habe, muss ich dann auch etwas ausklammern, oder ist es eindeutig, dass es sich um eine Nullfolge hat, weil der Zähler konstant ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Sa 05.12.2009 | | Autor: | oli_k |
An dieser Stelle würde ich nun schon aufhören, das ist ja wirklich eindeutig. Du kannst natürlich noch eine Potenz deiner Wahl ausklammern, dann wirst du ein Produkt aus 1 und einer gegen unendlich Strebenden Folge im Nenner erhalten. Alternativ den Limes auf jedes Einzelglied anwenden.
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Hallo krauti,
> Hallo,
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> ich habe eine Frage zu den Grenzwertsätzen. Ich habe es so
> verstanden, dass man diese nur anwenden kan, wenn die
> Einzelfolgen jeweils konvergent sind, also eine konstante
> Folge oder eine Nullfolge.
>
> Gilt dies auch bei einer Division, denn wenn ich jetzt die
> Folge
>
> an = (5+3*n) / [mm]n^5[/mm]
>
> dann kann ich dies ja zu
>
> an = (5/n +3) / [mm]n^4[/mm] umformen.
>
> Der Zähler geht gegen 3 und der Nenner geht gegen
> unendlich. Nach dem Grenzwertsatz benötigt aber doch jedes
> Folgenglied einen Grenzwert und in diesem Fall hat der
> Nenner keinen Grenzwert, da er gegen unendlich geht.
Aber du kannst den Term der Folge solange arithmetisch umformen bis der Grenzwertsatz wieder gültig wird. Solange du dabei äquivalente Umformungen machst, behält der Satz seine Gültigkeit.
Z.B. kann man zeigen, daß [mm]\textstyle\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{n}}=0[/mm]. [mm](\dagger)[/mm]
Aber dann gilt auch nach den verschiedenen ![[]](/images/popup.gif) Rechenregeln für den Grenzwert einer Folge:
[mm]\lim_{n\to\infty}{\left(5\cdot{}\frac{1}{n}\cdot{}\frac{1}{n}\cdot{}\frac{1}{n}\cdot{}\frac{1}{n}\cdot{}\frac{1}{n}+3\cdot{}\frac{1}{n}\cdot{}\frac{1}{n}\cdot{}\frac{1}{n}\cdot{}\frac{1}{n}\right)}=5\cdot{}\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{n}}\cdot{}\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{n}}\cdot{}\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{n}}\cdot{}\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{n}}\cdot{}\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{n}}+3\cdot{}\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{n}}\cdot{}\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{n}}\cdot{}\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{n}}\cdot{}\lim_{n\to\infty}{\frac{1}{n}},[/mm]
[mm]=5\cdot{}0\cdot{}0\cdot{}0\cdot{}0\cdot{}0+3\cdot{}0\cdot{}0\cdot{}0\cdot{}0=0[/mm]
da ja wie gesagt [mm](\dagger)[/mm] gilt.
Viele Grüße
Karl
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