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Forum "Zahlentheorie" - Größenbschätzung von Primzahle
Größenbschätzung von Primzahle < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Größenbschätzung von Primzahle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:47 Do 15.04.2010
Autor: flachmann

Aufgabe
Zeigen Sie, daß für die Abschätzung der nach größe geordneten Primzahlen [mm] p_1, p_2, \ldots p_n [/mm] gilt:
[mm] p_n \le 2^{2^{(n-1)}} [/mm]

Hat jemand eine Idee, wie man das zeigen kann? Stehe total auf'm Schlauch.

Danke schonmal vorab für eure Ideen...

Steffen


Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Größenbschätzung von Primzahle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:46 Do 15.04.2010
Autor: felixf

Moin Steffen!

> Zeigen Sie, daß für die Abschätzung der nach größe
> geordneten Primzahlen [mm]p_1, p_2, \ldots p_n[/mm] gilt:
>  [mm]p_n \le 2^{2^{(n-1)}}[/mm]
>  Hat jemand eine Idee, wie man das
> zeigen kann? Stehe total auf'm Schlauch.
>  
> Danke schonmal vorab für eure Ideen...

Zeige dies doch per Induktion. Fuer $n = 1$ ist dies klar ;-)

Gelte jetzt die Aussage fuer ein $n$. Du weisst doch, dass [mm] $p_1 p_2 \cdots p_n [/mm] + 1$ eine Zahl ist, die nicht durch [mm] $p_1, p_2, \dots, p_n$ [/mm] teilbar ist. Damit muss diese Zahl [mm] $\ge p_{n+1}$ [/mm] sein (warum?).

Schaetze diese Zahl doch mal nach oben ab mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung und $1 + x [mm] \le [/mm] 2 x$ (fuer $x [mm] \ge [/mm] 1$). Dann hast du fast sofort die gesuchte Schranke da stehen.

LG Felix


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