Größenvergleich konv. Folgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:14 Sa 10.12.2005 | | Autor: | Doreen |
Einen wunderschönen Nachmittag an alle,
ich bräuchte da mal wieder etwas Hilfe, um auf
die Sprünge zu kommen.
Wir sollen mit einem Gegenbeispiel beweisen, das die folgende Aussage
im Allgemeinen falsch ist.
[mm] a_{n} [/mm] < [mm] b_{n} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] < [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n}
[/mm]
[mm] (a_{n})_({n \in \IN}, (b_{n})_({n \in \IN}) [/mm] sind reelle Folgen
Ich hätte jetzt also gemeint, das [mm] a_{n} [/mm] < [mm] b_{n} [/mm] sein kann aber nicht
unbedingt das auch für deren Grenzwert gilt.
Und wie beweise ich das jetzt?
ich kann doch jetzt einfach annehmen, das [mm] b_{n} [/mm] - [mm] a_{n} [/mm] > 0 ist
und für das > 0 sage ich einfach c dann hieße dass: [mm] c_{n} \le b_{n} [/mm] - [mm] a_{n}
[/mm]
dann wäre c eine konvergente Folge für die gilt c [mm] \ge [/mm] 0 und [mm] lim_{c}_{n} \ge [/mm] 0
das muss ich jetzt beweisen mit einem Widerspruchsbeweis:
dann müsste c [mm] \le [/mm] 0 sein d.h. | [mm] c_{n} [/mm] - (- [mm] \varepsilon)| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
das führt zum Widerspruch, denn für n können ja nur natürlich Zahlen eingesetzt werden...
Und wie führe ich das jetzt zurück auf meine Aussage, die ich eigentlich
beweisen sollte?
Wäre toll, wenn mir jemand sagen könnte, ob ich bis hier richtig oder
falsch liege und/ oder wie es dann weitergeht.
Vielen Dank im Voraus
Doreen
Diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:34 Sa 10.12.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Doreen!
Mit Gegenbeispiel ist gar nicht ein Widerspruchsbeweis gemeint. Du sollst lediglich zwei Folgen [mm] $a_n$ [/mm] und [mm] $b_n$ [/mm] angeben, für welche die genannte Behauptung nicht stimmt.
Wie sieht es denn z.B. mit [mm] $a_n [/mm] \ = \ [mm] -b_n [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{n}$ [/mm] aus?
Gruß
Loddar
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