Große Abweichungen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:34 Mo 27.09.2010 | | Autor: | Mija |
| Aufgabe | Verwenden Sie die allgemeine Markov-Ungleichung
(also [mm] $\IP(X \ge [/mm] a) [mm] \le \bruch{E(h(X))}{h(a)}$ [/mm] )
um zu zeigen, dass für [mm] $X_n$ [/mm] eine Folge unabhängig identisch verteilter Zufallsvariablen gilt:
[mm] $\IP( \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} X_i \ge [/mm] a ) [mm] \le [/mm] exp(-nas) * [mm] (pe^{s} [/mm] + (1-p) [mm] )^{n}$ [/mm] |
Offenbar gilt $h(a) = [mm] e^{nas}$ [/mm] und $E(h(X)) = [mm] E(e^{nsx}) [/mm] = [mm] E(e^{sx})^{n}$, [/mm] also muss sein
[mm] $E(e^{sx})^{n}= (pe^{s} [/mm] + [mm] (1-p))^{n}
[/mm]
Allerdings zweifle ich gerade daran, ob es Sinn der Sache ist $p$ auszurechnen.
Daher: Wie beweise ich diesen Sachverhalt?
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Huhu,
> Offenbar gilt [mm]h(a) = e^{nas}[/mm]
Jop.
> und [mm]E(h(X)) = E(e^{nsx}) = E(e^{sx})^{n}[/mm],
> also muss sein
> [mm]$E(e^{sx})^{n}= (pe^{s}[/mm] + [mm](1-p))^{n}[/mm]
Öhm... nein.
Beachte, dass du $ [mm] \IP( \bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} X_i \ge [/mm] a )$ abschätzen sollst und nicht $ [mm] \IP(X \ge [/mm] a) $
Insofern musst du NICHT E[h(X)] berechnen (bzw. was ist X in deinem Fall?).
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Di 28.09.2010 | | Autor: | Mija |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Achso, stimmt, wie blöd von mir..
also ist die Ungleichung in diesem Fall
$\IP (\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} X_{i} \ge a) \le \bruch{E(h(\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} X_{i})}{h(a)}$
mit $h(a) = exp(-nas)$
also $E(h(\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} X_{i} )) = (pe^{s} + (1-p))^{n}$
$\gdw E(exp(-ns*\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} X_{i} )) = (pe^{s} + (1-p))^{n}$
$\gdw E(exp(-s \summe_{i=1}^{n} X_{i} )) = (pe^{s} + (1-p))^{n}$
$\gdw \integral_{0}^{\infty}{\summe_{i=1}^{n} X_{i} * e^{-s \summe_{i=1}^{n} X_{i} } dx } = (pe^[s} + (1-p))^{n}$
Stimmt das so?
Wie kann ich jetzt weitermachen?
Kann ich statt \summe_{i=1}^{n} X_{i} jetzt einfach x oder n schreiben?
Oder gehe ich in eine völlig falsche Richtung?
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Huhu,
auch wenn du [mm] \gdw [/mm] zeigen willst, lassen wir das mal lieber:
> $ [mm] E(h(\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} X_{i} [/mm] )) = [mm] (pe^{s} [/mm] + [mm] (1-p))^{n} [/mm] $
edit: Es gilt natürlich $h(a) = [mm] \exp(nas)$, [/mm] ohne das Minus.
Ja, das ist zu zeigen, fangen wir dafür mal links an und formen um.
$ [mm] E(h(\bruch{1}{n} \summe_{i=1}^{n} X_{i} [/mm] )) = [mm] E(\exp(s \summe_{i=1}^{n} X_{i} [/mm] ))$
Verwende nun Potenzgesetze und die Unabhängigkeit, um da nen Produkt von momenterzeugenden Funktionen draus zu zaubern.
Dann sind die [mm] X_i [/mm] garantiert Bernoulli-Verteilt, ansonsten stimmt die Aussage nämlich nicht.
MFG,
Gono.
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