Grundlage der linearen Algebra < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich habe bereits schon einmal von Gruppen, Körpern, Vektorraum gehört, kann aber diese 3 Begriffen schon gar nicht gut genug gegeneinander abgrenzen. Auch fehlen mir vielen Beispiele oder überhaupt eine Vorstellung für diese Begriffe.
Deswegen folgende Frage: Wer kann mir die absoluten Grundlagen für Lin Alg erklären. Dies sind ungefähr die Sachen, womit man in der 12. Klasse anfängt.
Für gute Ratschläge bin ich dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Also all diese algebraischen Strukturen basieren immer auf Axiomen. Das sind nicht beweisbare Grundsätze.
Für die Gruppe gilt
[mm] G \times G \to G[/mm]
[mm]"*": \left( x,y \right)\rightarrow x*y[/mm]
1. Assoziativität
2. Das neutrale Element
3. Das Inverse Element
4. Kommutativität(*)
Falls die Kommutativität gilt, so nennt man eine Gruppe "abelsche Gruppe".
Für einen Körper gilt:
[mm] K \times K \to K[/mm]
[mm]"*": \left( x,y \right)\rightarrow x*y[/mm]
(1-4)* Falls hier die Kommutativität bezüglich der Multiplikation nicht gilt, nennt man den Körper "Schiefkörper"
[mm] K \times K \to K[/mm]
[mm]"+": \left( x,y \right)\rightarrow x+y[/mm]
5. Assoziativität
6. Das neutrale Element
7. Das Inverse Element
8. Kommutativität
Vektorraum
[mm] K \times V \to V[/mm]
[mm]"+": \left( x,y \right)\rightarrow x+y[/mm]
(5-8)*
[mm] K \times V \to V[/mm]
[mm]".": \left( x,y \right)\rightarrow x.y[/mm]
9.Assoziativität
10. Distributivität (hier gibt es zwei Nachweise: bzgl. des Körpers und des Vektorraums)
11. Das neutrale Element
Ich hoffe ich konnte helfen.
Christoph
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Mi 14.07.2010 | | Autor: | Feuerbach |
Ich habe bereits schon einmal von Gruppen, Körpern, Vektorraum gehört, kann aber diese 3 Begriffen schon gar nicht gut genug gegeneinander abgrenzen. Auch fehlen mir vielen Beispiele oder überhaupt eine Vorstellung für diese Begriffe.
Deswegen folgende Frage: Wer kann mir die absoluten Grundlagen für Lin Alg erklären. Dies sind ungefähr die Sachen, womit man in der 12. Klasse anfängt.
Für gute Ratschläge bin ich dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.> Also all diese algebraischen Strukturen basieren immer auf
> Axiomen. Das sind nicht beweisbare Grundsätze.
>
> Für die Gruppe gilt
>
> [mm]G \times G \to G[/mm]
>
> [mm]"*": \left( x,y \right)\rightarrow x*y[/mm]
>
> 1. Assoziativität
> 2. Das neutrale Element
> 3. Das Inverse Element
> 4. Kommutativität(*)
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> Falls die Kommutativität gilt, so nennt man eine Gruppe
> "abelsche Gruppe".
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>
> Für einen Körper gilt:
>
> [mm]K \times K \to K[/mm]
>
> [mm]"*": \left( x,y \right)\rightarrow x*y[/mm]
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> (1-4)* Falls hier die Kommutativität bezüglich der
> Multiplikation nicht gilt, nennt man den Körper
> "Schiefkörper"
>
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> [mm]K \times K \to K[/mm]
>
> [mm]"+": \left( x,y \right)\rightarrow x+y[/mm]
>
> 5. Assoziativität
> 6. Das neutrale Element
> 7. Das Inverse Element
> 8. Kommutativität
>
> Vektorraum
>
> [mm]K \times V \to V[/mm]
>
> [mm]"+": \left( x,y \right)\rightarrow x+y[/mm]
>
> (5-8)*
>
> [mm]K \times V \to V[/mm]
>
> [mm]".": \left( x,y \right)\rightarrow x.y[/mm]
>
> 9.Assoziativität
> 10. Distributivität (hier gibt es zwei Nachweise: bzgl.
> des Körpers und des Vektorraums)
> 11. Das neutrale Element
>
> Ich hoffe ich konnte helfen.
>
> Christoph
>
>
>
>
Hallo Christoph,
herzlichen Dank für Deine Antwort. Ich muß mir die Axiome erst noch anschauen.
Hängen die Definitionen irgendwie zusammen. Wie mache ich aus einer Gruppe einen Körper, aus einem Körper einen Vektroraum.
Gäbe es für solche Erweiterungen auch Beispiele?
Für weitergehende Infos wäre ich Dir sehr dankbar.
gruß,
richard
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Hallo Richard,
Vektorräume, Körper und Gruppen sind im Prinzip Mengen. Auf diesen Mengen sind jeweils Operationen (Plus, Mal, Skalarmultiplikation). Nimm zum Beispiel die reellen Zahlen. Die reellen Zahlen kann man als Vektorraum und als Körper auffassen (vgl. Axiome). Wenn du nur eine Gruppe auf den reellen zahlen definerst, erhälst du ledeglich eine Teilmenge in IR, auf die nur die Multiplikation angewendet werden darf.
Aufg.: Warum sind die ganzen Zahlen kein Körper?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:36 Do 15.07.2010 | | Autor: | Feuerbach |
Hallo Christoph,
die ganzen Zahlen bilden keinen Körper, da die ganzen Zahlen bezügl. der Multplikation kein inverses Element besitzen.
Nun: wie schreibe ich diese Erkenntnis auf. So ein Hauptsatz mit Nebensatz istnoch lange kein Beweis.
Wie sieht ein strikter Beweis aus?
Gruß,
richard
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Hallo Christoph,
die ganzen Zahlen bilden keinen Körper, da die ganzen Zahlen bezügl. der Multplikation kein inverses Element besitzen.
Nun: wie schreibe ich diese Erkenntnis auf. So ein Hauptsatz mit Nebensatz istnoch lange kein Beweis.
Wie sieht ein stringenter Beweis aus?
Gruß,
richard
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Hallo Richard,
du benutzt einfach die Axiome. Z.B.: wenn du nachweisen willst, dass [mm]\IR[/mm] ein Körper ist
1. Assoziativität bzgl. der Multiplikation
Es gibt [mm]a,b,c\in\IR:[/mm]
a(bc)=(ab)c
usw.
Gruß
Christoph
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Deine Antwort kann ich leider nicht verstehen, genausowenig, wie ich lineare Algebra verstanden habe. Das ist ein großes Problem für mich.
Bitte sei jetzt nicht beleidigt, traurig,...
Wenn mich mein Lehrer fragt, "Wie werden zwei Potenzen mulitpliziert", würde er sich niemals mit der Antwort zu frieden geben, "indem man die Exponenten addiert". Er würde einen Beweis verlangen.
Nun bestehen die meisten Beweise in der linearen Algebra aus Prosatext, in denen ich leider keine Beweise erkennen kann, die ich schlecht nachvollziehen.
Bei der linearen Algebra sehe ich wenig Ansatzpunkte für Beispiele. Zwar kenne ich die Zahlenmengen, aber Aufgaben mit diesen Mengen verknüpft mit lin Alg habe ich noch nicht gefunden. Wenn ich Aufgaben finde, sind die Lösungen so ellenlang, so daß ich gar nicht verstehen kann, warum das so sein muß. Auch finde ich schlecht den roten Faden bei solchen Beweisen.
Mit den Grundlagen der linearen Algebra (insbesondere Gruppentheorie)komme ich einfach nicht zurecht. Trotzdem fand ich die Eingangsfrage von Dir, ob die ganzen Zahlen einen Körper bilden, als Anfang ganz gut.
Konntest Du vielleicht verstehen, worin mein Problem liegt? Wie würde denn jetzt der Beweis für unser Körperproblem mit den ganzen Zahlen aussehen?
Auf ein Neues,
gruß,
richard
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> Konntest Du vielleicht verstehen, worin mein Problem liegt?
Hallo,
mir ist Dein genaues Problem nicht klar.
Offenbar bist Du Oberstufenschüler.
Hast Du Probleme mit dem Schulstoff der linearen Algebra?
Oder möchtest Du Dich privat weiterführend und in größerer Allgemeinheit mit der linearen Algebra beschäftigen und blickst hierbei nicht durch?
Um Dir helfen zu können, müßtest Du Dein Problem etwas konkretisieren, so daß Anliegen und das angepeilte Niveau klarer sind.
> Wie würde denn jetzt der Beweis für unser Körperproblem
> mit den ganzen Zahlen aussehen?
Wenn Du das verwendest, was Du aus der Mittelstufe über ganze Zahlen weißt, dann könntest Du es so machen:
Angenommen, die ganzen Zahlen wären zusammen mit der Addition und Multiplikation ein Körper.
Zu jeder ganzen Zahl gäbe es dann ein Inverses bzgl. der Multiplikation.
Wenn es zu jeder ganzen Zahl ein Inverses gibt, dann auch zu der Zahl 7.
Also gäbe es, wäre [mm] \IZ [/mm] ein Körper, eine ganze Zahl z mit 7*z=1.
z ist positiv, denn wäre z negativ, dann wäre 7*z negativ, also [mm] \not=1, [/mm] und wäre z=0, dann wäre 7*z=0, also auch [mm] \not=1.
[/mm]
Wenn z positiv ist, ist [mm] z\ge [/mm] 1, und damit ist [mm] 1=7*z\ge [/mm] 7*1=7. Das ist offenbar ein Widerspruch.
Die Annahme, daß [mm] \IZ [/mm] ein Körper ist, führt zum Widerspruch.
Also ist die Annahme falsch.
Also ist [mm] \IZ [/mm] kein Körper.
Gruß v. Angela
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Hallo Angela,
herzlichen Dank für Deine Antwort, auch noch ein Dankeschön an Mathestuden, der mir durch seine Problemstellung sehr geholfen hat.
Nun, ich bin leider kein Schüler mehr und hatte Mathematik abgewählt, da meine Vorbildung, die leider in der Mittelstufe gelegt war, nicht ausreichte, um weitere Mathematik-Kurse zu belegen.
Wir haben schon recht zeitig mit lin Alg angefangen. Alles, was ich nur verstanden habe, war das Wort "trivial". Wenn wir einen Körperbeweise durchführen sollten, machten wir das immer zu Hause, weil dieser Beweis ja auch trivial war.
Wenn eben alle Körperaxiome erfüllt sind, ist so ein Beweis wahrscheinlich trivial. Er ist eben immer von der gleichen Vorgehensweise. Wenn ich richtig verstanden habe, ist es eben etwas besonderes, wenn eine Menge (???) keine Gruppe, kein Körper,... ist. Dann muß feststellen, warum das so ist und ich notiere das oder die Axiome, die nicht erfüllt sind. Die wenigen Axiome reichen bei einem "Negativbeweis".
Habe ich das jetzt erst einmal so richtig verstanden?
Hättest Du ähnliche Aufgaben, über die ich nachdenken kann?
Gruß,
Feuerbach
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Do 22.07.2010 | | Autor: | meili |
Hallo Feuerbach,
> Hallo Angela,
> herzlichen Dank für Deine Antwort, auch noch ein
> Dankeschön an Mathestuden, der mir durch seine
> Problemstellung sehr geholfen hat.
>
> Nun, ich bin leider kein Schüler mehr und hatte Mathematik
> abgewählt, da meine Vorbildung, die leider in der
> Mittelstufe gelegt war, nicht ausreichte, um weitere
> Mathematik-Kurse zu belegen.
>
> Wir haben schon recht zeitig mit lin Alg angefangen. Alles,
> was ich nur verstanden habe, war das Wort "trivial". Wenn
> wir einen Körperbeweise durchführen sollten, machten wir
> das immer zu Hause, weil dieser Beweis ja auch trivial war.
>
> Wenn eben alle Körperaxiome erfüllt sind, ist so ein
> Beweis wahrscheinlich trivial. Er ist eben immer von der
> gleichen Vorgehensweise. Wenn ich richtig verstanden habe,
> ist es eben etwas besonderes, wenn eine Menge (???) keine
> Gruppe, kein Körper,... ist. Dann muß feststellen, warum
> das so ist und ich notiere das oder die Axiome, die nicht
> erfüllt sind. Die wenigen Axiome reichen bei einem
> "Negativbeweis".
>
Wenn man z. B. nachweisen will, dass [mm] ($\IQ$,+,$*$) [/mm] ein Körper ist, muss man nachweisen dass [mm] ($\IQ$,+,$*$) [/mm] jedes Axiom für Körper erfüllt. Beim Beweis ist nun die Frage was man alles voraussetzen darf, also schon als bewiesen ansehen darf. Setzt man die Rechenregel für Addtion, Subtraktion, Multiplikation und Division rationaler Zahlen voraus, werden die Beweise trivial.
Wenn man z.B. nachweisen will, dass [mm] ($\IN$,+) [/mm] keine Gruppe ist, reicht es wenn ein Axiom nicht erfüllt ist.
Es ist immer so: um zu zeigen, dass eine Aussage nicht wahr ist reicht ein Gegenbeispiel.
> Habe ich das jetzt erst einmal so richtig verstanden?
>
> Hättest Du ähnliche Aufgaben, über die ich nachdenken
> kann?
>
Als Übung könntest Du die Axiome, die im 2. Post nur in Worten aufgeführt sind, als Aussagen aufschreiben, z.B. "Kommutativität" als "für alle a,b [mm] $\in$ [/mm] G ist ab = ba" oder [mm] "$\forall [/mm] a, b [mm] \in [/mm] G: ab = ba$".
Überigens was fehlt im 2. Post bei den Axiome für Körper?
Ist [mm] $(\IZ, [/mm] +)$ eine Gruppe?
Finde ein Beispiel für einen Körper mit 5 Elementen.
[mm] $\IQ^4$ [/mm] ein Vektorraum mit welchen Operationen?
> Gruß,
> Feuerbach
>
Gruß meili
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Finde ein Beispiel für einen Körper mit 5 Elementen.
ein Vektorraum mit welchen Operationen?
Mit diesen beiden Aufgaben finde ich leider keinen Anfang. Wie kann ich diese Aufgaben lösen?
Kannst Du mir ein wenig dazu erklären?
Gruß,
feuerbach
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Hallo Feuerbach,
> Finde ein Beispiel für einen Körper mit 5 Elementen.
> ein Vektorraum mit welchen Operationen?
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> Mit diesen beiden Aufgaben finde ich leider keinen Anfang.
> Wie kann ich diese Aufgaben lösen?
Nun, der zweite Satz (?) oder besser die nachgeschobenen unzusammenhängenden Wortfetzen ergeben keinen Sinn, daher kann ich nur was zum Körper sagen:
Du könntest versuchen, dir eine Verknüpfungstafel zu "basteln".
Das wird aber u.U. etwas schreib- und denklastig.
Bedenke, dass für $p$ prim der Restklassenring [mm] $(\IZ/p\IZ,\overline +,\overline \cdot{})$ [/mm] ein Körper ist.
Das habt ihr mit Sicherheit in der Vorlesung oder Übung bereits gezeigt.
Das ist eine der Standardaufgaben schlechthin 
>
> Kannst Du mir ein wenig dazu erklären?
>
> Gruß,
> feuerbach
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:51 Do 22.07.2010 | | Autor: | gfm |
> Ich habe bereits schon einmal von Gruppen, Körpern,
> Vektorraum gehört, kann aber diese 3 Begriffen schon gar
> nicht gut genug gegeneinander abgrenzen. Auch fehlen mir
> vielen Beispiele oder überhaupt eine Vorstellung für
> diese Begriffe.
>
> Deswegen folgende Frage: Wer kann mir die absoluten
> Grundlagen für Lin Alg erklären. Dies sind ungefähr die
> Sachen, womit man in der 12. Klasse anfängt.
Die größten Verständnisprobleme in diesem Bereich haben meines Erachtens ihren Ursprung in drei Dingen:
1) In der formalen allgemein gehalten Definition dieser Dinge in Verbindung mit nicht ausreichender Übung/Gewöhnung in/an formaler "Buchstabenrechnung".
2) Lücken in grundlegensten mathematischen Konzepten.
3) Nicht ausreichender Kenntnis über die der Gruppe zugrundeliegenden Objekte.
1) Muss man trainieren und immer wieder mit konkreten Beipielen unterfüttern. Na ja und zu 2) und 3) eben seine Hausaufgaben machen. Und sonst sollte man in der Mathematik immer alles exakt und konkret wörtlich und erst einmal nicht zu viel eigenes hineininterpretieren.
LG
gfm
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Ich bin leider kein Schüler mehr und muß jeden Tag 8 Stunden arbeiten. So bin ich Autodidakt und versuche mir die LinAlg verständlich zu machen. Leider blieb es bisher bei den Versuchen.
Ich habe noch keine Aufgaben gefunden, die ich lösen konnte, da ich leider das ganze Prinzip der LinAlg nicht verstanden habe. LinAlg heißt Körper-, Gruppen- oder Vektorraumbeweise und hat leider nichts mit Gleichungen umstellten zu tun (so wurde mir immer gesagt).
Für einfache Aufgaben, die ich auch verstehen kann, bin ich sehr dankbar.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:59 Sa 14.08.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich bin leider kein Schüler mehr und muß jeden Tag 8
> Stunden arbeiten. So bin ich Autodidakt und versuche mir
> die LinAlg verständlich zu machen. Leider blieb es bisher
> bei den Versuchen.
>
> Ich habe noch keine Aufgaben gefunden, die ich lösen
> konnte, da ich leider das ganze Prinzip der LinAlg nicht
> verstanden habe. LinAlg heißt Körper-, Gruppen- oder
> Vektorraumbeweise und hat leider nichts mit Gleichungen
> umstellten zu tun (so wurde mir immer gesagt).
es hat schon damit zu tun - wenn man das nicht beherrscht, ist man auch in der linearen Algebra verloren (siehe etwa Begriffe wie Rang, lineare Unabhängigkeit, Dimension...) - aber das ist in etwa so, wie wenn Du fragen würdest, ob Buchstaben etwas mit Lyrik zu tun haben. Ohne das geht's halt nicht, aber das ist eine der Mindestvoraussetzungen, um überhaupt innerhalb dieses Gebietes arbeiten zu können. (Hinweis: Auch Wörter sind "gesprochene Laute", deren Entstehung man mit Buchstaben erklären kann.)
> Für einfache Aufgaben, die ich auch verstehen kann, bin
> ich sehr dankbar.
Ich lege Dir generell mal ein Buch nahe, was ich mir neulich mal aus Preisgründen gekauft habe (es dient mir fast nur als Nachschlagewerk):
![[]](/images/popup.gif) Gawronski, Grundlagen der linearen Algebra
Es ist vor mehr als zehn Jahren erschienen, daher wohl auch dieser Preis, der Dir aber sicher mehr als recht ist. Ich kenne Herrn Prof. Gawronski auch persönlich, und muss sagen, dass seine Vorlesungen immer extrem anspruchsvoll waren und er gerne auch "einige Rechentricks" mit einbaut - manchmal ist man kurz vor'm Verzweifeln, bis man das entdeckt, sofern man es überhaupt alleine entdecken kann.
Aber: Ich habe mir das Buch mal angeschaut und muss sagen, es ist wirklich eine sehr gute Einführung in die lineare Algebra. Sicher gibt es auch die ein oder andere kleine Stelle, wo man eigentlich auch schon Kenntnisse der Analysis benötigte - aber bisher habe ich noch keine gefunden, wo man dies dann nicht auch einfach ignorieren könnte. Es geht dann eher darum, zu zeigen, "wie zusammenhängend die Mathematik in sich ist und wie die Gebiete miteinander verknüpft werden können" - d.h. jmd., der sich da auskennt, versteht das Beispiel, jmd., der keine Ahnung hat, versteht das zwar (noch) nicht, verliert dadurch aber auch keine für die Theorie der linearen Algebra wesentlichen Kenntnisse. Aber wie so oft:
Selbst, wenn ich mich irren sollte, und es doch da solche Beispiele gibt: Das Buch hat natürlich auch ein Literaturverzeichnis zu anderen Büchern, wo man das dann ggf. nochmal selbst nachlesen kann.
P.S.:
Das Buch richtet sich eigentlich an Studierende, aber ich denke, mit etwas Fleiß kann auch ein motivierter Schüler es durcharbeiten!
Beste Grüß,
Marcel
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