Grundlagen der Integralrechnun < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:19 Do 21.05.2009 | | Autor: | bebek |
Hallo
Ich habe am Montag Mathe Colloquium mit dem Schwerpunkt gebrochen rationale Funtionen. Da ich Stochastik ausgeschlossen habe, werden mir noch 15 Minuten lang Fragen zur Integralrechnung und Analytischer Geometrie gestellt. Da Integralrechnung schon etwas länger:) her ist und ich auch nicht wirklich gut darin war (4 punkte) fällt es mir schwer das komplette Gebiet auf zu arbeiten und benötige dringend Hilfe.
Ich weiß meine Bitte ist nicht gerade eine kleine, aber Ich wäre jedem höchst dankbar, der mir die Grundlagen knapp erklären würde, und vor allen Dingen die wichtigsten mathematischen Fachbegriffe erläutern könnte.
Ein geringes Vorwissen habe ich, mir fehlt nur leider der Zusammenhang....:(
Vielen Vielen Dank im voraus
Bebek
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:11 Do 21.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das geht sicher so nicht. du musst schon genauer sagen, was du kannst. Denn du verlangst von uns ja ca 1/2 jahr Unterricht zusammenzufassen. Warum nicht dein Schulbuch nehmen?
Also sag , was du kannst und wo deine Luecken sind.
gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:35 Fr 22.05.2009 | | Autor: | bebek |
Hallo
Da hast du recht!! Da hab ich mich wohl etwas schlecht ausgedrückt....
Was ich meinte ist keine Zusammenfassung, sondern eine Art Überblick, welche Fachbegriffe für die Integration entscheidend sind.
Ich habe mir bereits die Stammfunktion, Integralfunktion, Integrandenfunktion,das bestimmte und unbestimmte Integral, die Flächenberechnung, die Streifenmethode und den HDI erarbeitet.
Was Ich allerdings nicht verstehe ist die Ableitung (Kurvendiskussion) und Integration des ln bzw. von [mm] e^{x}.
[/mm]
Ich weiß, dass ln x abgeleitet [mm] \bruch{1}{x} [/mm] ist.
Die Definitonsmenge errechnet sich durch das Argument > 0 und die Nullstellen durch ln x = 0. Da der ln die Basis e hat und der ln der Basis e von 1 gleich Null ist muss das Argument = 1 sein:
z.B: ln (2x+1) = 0
2x+1 = [mm] e^{0}
[/mm]
2x+1=1
=> x=0
Bei der ersten Ableitung komm ich jetzt aber nicht mehr weiter, da ich nicht verstehe was ich in den Nenner schreiben muss und was nachdifferenziert werden muss.
Somit verstehe ich auch nicht die 2. Ableitung....hat der ln x nie Wendepunkte und ist immer rechtsgekrümmt??
Was ich aber allgemein nicht verstehe, ist wie das Argument den Graphen von ln x beeinflusst.
Hat der ln x immer nur eine Nullstelle bei 1 oder kann sich das durch das Argument verändern?
Bei den allgemeinen Exponentialfunktionen ist es ähnlich ich verstehe da allerdings noch nicht einmal den Zusammenhang zwischen [mm] a^{x} [/mm] und [mm] e^{x}.
[/mm]
Warum ist [mm] a^{x}=e^{x*lna}?
[/mm]
Hat [mm] e^{x} [/mm] nie eine Nullstelle und in wie weit beeinflusst der Exponent den Graphen?? Kann [mm] e^{x} [/mm] ein Extremum haben?
Womit ich auch ein Problem habe ist mit der Integration des sinx und des cosx.
Ich weiß dass [mm] \integral{cosx dx}=sinx [/mm] und [mm] \integral{sinx dx}=-cosx
[/mm]
aber wie integriere ich wenn noch etwas vor dem x steht? also z.B
sin (2x-1)?
Zusätzlich stellt sich mir auch die Frage für welche Berechnung ich den cos oder sin brauche??
Also entschuldige nochmal meine unpräzise Frage. Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen; ich hab schon versucht es mir selbst bei zubringen aber leider fehlt mir dafür offensichtlich der Verstand:))
Vielen Dank schon mal im Vorraus.
Liebe Grüße Bebek
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Fr 22.05.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Zu den Begriffen:
1. wichtig Definition des  Integrals als verallgemeinerte Summe, bzw als GW einer Summe
2. Flaechenberechnung mit dem Integral.
3. Integralfunktion
4. theoretisch am wichtigsten hauptsatz der differential und Integralrechnung,
zu deinen Fragen.:
[mm] $\ln [/mm] x$ ist eine monotone, im ganzen Def Bereich steigende Fkt.
dasselbe gilt fuer [mm] e^x [/mm] oder [mm] a^x
[/mm]
Der [mm] \ln [/mm] ist definiert als Umkehrfkt von [mm] e^x
[/mm]
d.h. [mm] \ln(e^x)=x [/mm] :
entsprechend [mm] e^{\ln x}=x, e^{\ln a}=a
[/mm]
dass das Mit Umkehrfunktion so ist sollte dir klar sein [mm] \wurzel{x} [/mm] ist die Umkehrfkt von [mm] x^2
[/mm]
deshalb: [mm] (\wurzel{x})^2=x [/mm] entsprechend [mm] \wurzel{x^2}=x
[/mm]
Da man sich nicht Ableitungsregeln fuer jedes a und [mm] a^x [/mm] herleiten und merken will,
schreibt man in [mm] $a^x$: $a=e^{\ln a}$:
[/mm]
deshalb [mm] a^x=(e^{\ln a})^x=e^{x*\ln a}
[/mm]
Ableitung: Kettenregel: (f(g(x))'=f(g(x))*g'(x)
angewendet wenn [mm] f=\ln [/mm] und g=2x-1
[mm] (\ln(2x-1))'=\bruch{1}{2x-1}*2
[/mm]
[mm] (\ln(2x^2-x))'=\bruch{1}{2x^2-x}*(2*2x-1)
[/mm]
usw.
angewendet auf [mm] e^{g(x)} [/mm] mit [mm] g(x)=x^2+3x
[/mm]
[mm] (e^{x^2+3x})'=e^{x^2+3x}*(2x+3)
[/mm]
viele leute kommen bei [mm] e^x [/mm] nicht darauf, das als Funktion zu sehen, dann schreib in Gedanken oder echt statt [mm] e^x=exp(x)
[/mm]
mit (exp(x))'=exp(x)
Wie das Argument den ln beeinflusst ist schwerer zu sagen.
also [mm] \ln(g(x))
[/mm]
0<g(x)<1 folgt [mm] \ln(g(x))<0
[/mm]
g(x)>1 folgt [mm] \ln(g(x))>0
[/mm]
g(x)=1 folgt [mm] \ln(g(x))=0
[/mm]
je nach g(x) kann die fkt natuerlich auch max und min haben.
da ja g(x) auch Max und Min haben kann.
Wenn du in die Funktion [mm] f(x)=x^2 [/mm] als "Argument" eine funktion einsetzt, kannst du dann sagen, wie das arg. die fkt beeinflusst?
etwa [mm] f(\sin x)=(\sin x)^2
[/mm]
oder [mm] f(x^3-1)=(x^3-1)^2 [/mm]
naechster Punkt:
$ [mm] \integral{\sin(2x-1) dx}$
[/mm]
entweder kennst du die Methode der Substitution und setzest z=2x-1, dz=2*dx dx=0.5dz
und hast : [mm] \integral{0.5*\sin z \ dz}
[/mm]
was du kannst. oder du sagst: es muss ungefaehr
[mm] -\cos(2x-1) [/mm] sein, differenzierst das: [mm] (-\cos(2x-1))=2*\sin(2x-1)
[/mm]
also nicht genau die fkt unter dem Integral, deshalb schreibst du
$ [mm] \integral{\sin(2x-1) dx}=0.5* \integral{2*\sin(2x-1) dx}$ [/mm] und dann kennst du die Stammfkt.
Soweit erstmal.
Wieviel und was die fragen haengt davon ab, ob du auf "1" geprueft wirst oder auf "4-5"
Gruss leduart
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Fr 22.05.2009 | | Autor: | bebek |
lieber leduart
Vielen Dank ersteinmal für deine ausführliche Antwort. Den ln und [mm] e^{x} [/mm] habe ich jetzt verstanden.
Was ich allerdings noch nicht verstanden habe ist die Integration von sin x bzw. cosx.
Also mit der Substitution bin ich ehrlich gesagt nicht so vertraut.
Aber warum ergibt
[mm] 0.5\integral{2* sin(2x-1) dx} [/mm] =-cos(2x-1) ?
Ich hätte jetzt gesagt dass [mm] \integral{sin(2x-1) dx}=-\bruch{1}{2}*cos(2x-1)
[/mm]
ist. Meine Stammfunktion muss doch eine Konstante c haben oder?
oder ist das das gleiche??
wenn ich nämlich jetzt [mm] -\bruch{1}{2}*cos(2x-1) [/mm] ableite bekomme ich doch wieder
sin(2x-1) da die konstante doch wegfällt.
ausserdem müsste ich doch wenn ich -cos (2x-1) ableite auch das argument nachdifferenzieren.das besagt doch die Kettenregel und somit würde ja
F'(x)=- [mm] \bruch{1}{2}*cos(2x-1)
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*sin(2x-1)*2
[/mm]
= sin(2x-1)
zusätzlich hätte ich noch eine Frage:
was ist denn dann die Stammfunktion von [mm] \integral{sin(2x^{2}-1) dx}.
[/mm]
Vielen Dank für deine Hilfe
liebe Grüße
bebek
|
|
|
| |
|
Hallo bebek,
> lieber leduart
>
> zusätzlich hätte ich noch eine Frage:
> was ist denn dann die Stammfunktion von
> [mm]\integral{sin(2x^{2}-1) dx}.[/mm]
> weil nach meiner Rechnung
> müsste ich ja dann
> [mm]-\bruch{1}{2}x*cos(2x-1)[/mm] erhalten. dann würde abgeleitet
> aber das [mm]\bruch{1}{2}[/mm] stehen bleiben was ja meiner f(x)
> nicht ensprechen würde.
>
leduart schrieb:
> oder du sagst: es muss ungefaehr
> $ [mm] -\cos(2x-1) [/mm] $ sein, differenzierst das: $ [mm] (-\cos(2x-1))=2\cdot{}\sin(2x-1) [/mm] $
> also nicht genau die fkt unter dem Integral, deshalb schreibst du
> $ [mm] \integral{\sin(2x-1) dx}=0.5\cdot{} \integral{2\cdot{}\sin(2x-1) dx} [/mm] $ und dann kennst du die Stammfkt.
So etwas nennt man "intelligentes Probieren" 
zunächst nimmst du die Tatsache zu Hilfe, dass die Stammfunktion zu [mm] \cos [/mm] im wesentlichen [mm] -\sin [/mm] ist.
Dann überlegst du, dass die Ableitung der Stammfunktion wieder die Ausgangsfunktion ergeben muss, und vergleichst die Ergebnisse:
$f(x)= [mm] \sin(2x-1) [/mm] $ ungefähr $ [mm] F(x)=-\cos(2x-1) [/mm] $
jetzt die Ableitung [mm] F'(x)=2\cdot{}\sin(2x-1) [/mm] wegen der inneren Ableitung; aber wir brauchen nur [mm] \sin(2x-1)
[/mm]
der konstante Faktor ist offenbar zu viel! Also wählen wir stattdessen: [mm] F(x)=-\bruch{1}{2}\cos(2x-1) [/mm] als Stammfunktion, und alles stimmt!
Jetzt klar(er)?
Gruß informix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:25 Fr 22.05.2009 | | Autor: | bebek |
lieber informix,
Danke für die schnelle Antwort.
Also gehe ich recht in der annahme dass die Stammfunktion zu
[mm] \integral{sin(2x-1) dx} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2}*cos(2x-1) [/mm] ist??
das bedeutet also dass ich für jede Stammfunktion einen konstanten Vorfaktor benötige der sich beim ableiten durch das nachdifferenzieren wieder rauskürzt?
z.B
[mm] \integral{sin(2x²-1) dx}=-\bruch{1}{4x}*cos(2x²-1)
[/mm]
da [mm] F'(x)=-\bruch{1}{4x}*cos(2x²-1)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4x}*sin(2x²-1)*4x
[/mm]
= sin(2x²-1)
das würde bedeuten dass
[mm] \integral{cos(2x-1) dx}=\bruch{1}{2}*sin(2x-1)
[/mm]
abe ich das jetzt richtig verstanden?
Vielen lieben dank für deine Hilfe.jetzt kann ja fast nichts mehr schief gehen:)
liebe grüße bebek
|
|
|
| |
|
Hallo bebek,
> lieber informix,
>
> Danke für die schnelle Antwort.
> Also gehe ich recht in der annahme dass die Stammfunktion
> zu
> [mm]\integral{sin(2x-1) dx}[/mm] = [mm]-\bruch{1}{2}*cos(2x-1)[/mm] ist??
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> das bedeutet also dass ich für jede Stammfunktion einen
> konstanten Vorfaktor benötige der sich beim ableiten durch
> das nachdifferenzieren wieder rauskürzt?
Ja.
> z.B
> [mm]\integral{sin(2x²-1) dx}=-\bruch{1}{4x}*cos(2x²-1)[/mm]
>
> da [mm]F'(x)=-\bruch{1}{4x}*cos(2x²-1)[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{4x}*sin(2x²-1)*4x[/mm]
> = sin(2x²-1)
>
> das würde bedeuten dass
> [mm]\integral{cos(2x-1) dx}=\bruch{1}{2}*sin(2x-1)[/mm]
[mm]4x[/mm] ist keine Konstante.
>
> abe ich das jetzt richtig verstanden?
>
> Vielen lieben dank für deine Hilfe.jetzt kann ja fast
> nichts mehr schief gehen:)
>
> liebe grüße bebek
>
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Fr 22.05.2009 | | Autor: | bebek |
okay aber wie löse ich denn dann das integral
[mm] \integral{sin(2x²-1)x} [/mm] ?
dadurch dass das argument ja ein x² enthält würde ja beim nachdifferenzieren ein 2x entstehen multipliziert mit 2 wäre es ja 4x.
und das müsste ja beim ableiten wieder wegfallen sonst sähe das ja so aus:
[mm] \integral{sin(2x²-1)}=cos(2x²-1)
[/mm]
=> F'(x) =cos(2x²-1)
=sin(2x²-1)*4x
und das entspricht ja nicht f(x)=sin(2x²-1).
sprich vor dem cos(2x²-1) müsste doch [mm] \bruch{1}{4x} [/mm] stehen damit es sich rauskürzt.
liebe grüße
|
|
|
| |
|
Hallo
> okay aber wie löse ich denn dann das integral
> [mm]\integral{sin(2x²-1)x}[/mm] ?
>
> dadurch dass das argument ja ein x² enthält würde ja beim
> nachdifferenzieren ein 2x entstehen multipliziert mit 2
> wäre es ja 4x.
> und das müsste ja beim ableiten wieder wegfallen sonst
> sähe das ja so aus:
>
> [mm]\integral{sin(2x²-1)}=cos(2x²-1)[/mm]
>
> => F'(x) =cos(2x²-1)
> =sin(2x²-1)*4x
>
> und das entspricht ja nicht f(x)=sin(2x²-1).
>
> sprich vor dem cos(2x²-1) müsste doch [mm]\bruch{1}{4x}[/mm] stehen
> damit es sich rauskürzt.
>
Das Problem, wenn du [mm] \bruch{1}{4x} [/mm] noch dazu nimmst ist, dass [mm] \bruch{1}{4x} [/mm] wieder eine Funktion von x ist und somit beim Differenzieren die Produktregel berücksichtigt werden muss. Für dieses Integral muss wie schon erwähnt die Substitutionsregel benutzt werden.
Jedoch ist dieses Integral schwieriger zu lösen, als im Gymnasium noch gefragt werden könnte... Somit ist dies ein nicht all zu gutes Beispiel..
> liebe grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:01 Sa 23.05.2009 | | Autor: | bebek |
Okay ich glaub ich habs jetzt wirklich verstanden:)
Vielen Dank euch allen für eure hilfe!!!
schönen abend noch
liebe grüße bebek
|
|
|
| |
|
Hallo bebek,
> Hallo
>
> Da hast du recht!! Da hab ich mich wohl etwas schlecht
> ausgedrückt....
>
> Was ich meinte ist keine Zusammenfassung, sondern eine Art
> Überblick, welche Fachbegriffe für die Integration
> entscheidend sind.
> Ich habe mir bereits die Stammfunktion, Integralfunktion,
> Integrandenfunktion,das bestimmte und unbestimmte Integral,
> die Flächenberechnung, die Streifenmethode und den HDI
> erarbeitet.
>
> Was Ich allerdings nicht verstehe ist die Ableitung
> (Kurvendiskussion) und Integration des ln bzw. von [mm]e^{x}.[/mm]
Kennst du shcon unser SchulMatheLexikon?
Dort findest du viele der wichtigen Begriffe erklärt.
Ich ergänze die entsprechenden Links mal in leduarts Antwort.
>
> Ich weiß, dass ln x abgeleitet [mm]\bruch{1}{x}[/mm] ist.
> Die Definitonsmenge errechnet sich durch das Argument > 0
> und die Nullstellen durch ln x = 0. Da der ln die Basis e
> hat und der ln der Basis e von 1 gleich Null ist muss das
> Argument = 1 sein:
>
> z.B: ln (2x+1) = 0
> 2x+1 = [mm]e^{0}[/mm]
> 2x+1=1
> => x=0
>
>
> Bei der ersten Ableitung komm ich jetzt aber nicht mehr
> weiter, da ich nicht verstehe was ich in den Nenner
> schreiben muss und was nachdifferenziert werden muss.
> Somit verstehe ich auch nicht die 2. Ableitung....hat der
> ln x nie Wendepunkte und ist immer rechtsgekrümmt??
>
> Was ich aber allgemein nicht verstehe, ist wie das Argument
> den Graphen von ln x beeinflusst.
>
> Hat der ln x immer nur eine Nullstelle bei 1 oder kann sich
> das durch das Argument verändern?
>
> Bei den allgemeinen Exponentialfunktionen ist es ähnlich
> ich verstehe da allerdings noch nicht einmal den
> Zusammenhang zwischen [mm]a^{x}[/mm] und [mm]e^{x}.[/mm]
> Warum ist [mm]a^{x}=e^{x*lna}?[/mm]
> Hat [mm]e^{x}[/mm] nie eine Nullstelle und in wie weit beeinflusst
> der Exponent den Graphen?? Kann [mm]e^{x}[/mm] ein Extremum haben?
>
> Womit ich auch ein Problem habe ist mit der Integration des
> sinx und des cosx.
> Ich weiß dass [mm]\integral{cosx dx}=sinx[/mm] und [mm]\integral{sinx dx}=-cosx[/mm]
>
> aber wie integriere ich wenn noch etwas vor dem x steht?
> also z.B
> sin (2x-1)?
> Zusätzlich stellt sich mir auch die Frage für welche
> Berechnung ich den cos oder sin brauche??
>
> Also entschuldige nochmal meine unpräzise Frage. Ich hoffe
> mir kann jemand weiterhelfen; ich hab schon versucht es mir
> selbst bei zubringen aber leider fehlt mir dafür
> offensichtlich der Verstand:))
>
> Vielen Dank schon mal im Vorraus.
>
> Liebe Grüße Bebek
Gruß informix
|
|
|
|
