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Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:03 So 11.10.2015
Autor: lucaszester

Aufgabe
Es sei (H,*) eine Gruppe und x,y [mm] \in [/mm] H. Es ist Ordnung von x = a [mm] \in \IN [/mm] und Ordung von y = b [mm] \in \IN. [/mm] Weiterhin ist bekannt, dass a,b teilerfremd sind.
Zu zeigen: (1) Ist x * y = y* x , dann ist Ordnung ( x* y) = a * b .
(2) <x> [mm] \cap [/mm] <y> = [mm] {1_{H} } [/mm]

Hallo.
Meine Idee für (2) : <x>  und <y> sind ja Untergruppen von H . Und der Durchschnitt zweier UG ist ja wieder eine UG, aber wie kann ich zeigen, dass es nur die trivale UG sein kann.
Zu (1) hab ich leider keinen konkreten Ansatz, aber ich vermute , dass das Ergebnis aus (2) vielleicht ganz nützlich wäre.

LG.

        
Bezug
Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:18 So 11.10.2015
Autor: fred97


> Es sei (H,*) eine Gruppe und x,y [mm]\in[/mm] H. Es ist Ordnung von
> x = a [mm]\in \IN[/mm] und Ordung von y = b [mm]\in \IN.[/mm] Weiterhin ist
> bekannt, dass a,b teilerfremd sind.
>  Zu zeigen: (1) Ist x * y = y* x , dann ist Ordnung ( x* y)
> = a * b .
>  (2) <x> [mm]\cap[/mm] <y> = [mm]{1_{H} }[/mm]

>  Hallo.
>  Meine Idee für (2) : <x>  und <y> sind ja Untergruppen

> von H . Und der Durchschnitt zweier UG ist ja wieder eine
> UG, aber wie kann ich zeigen, dass es nur die trivale UG
> sein kann.
> Zu (1) hab ich leider keinen konkreten Ansatz, aber ich
> vermute , dass das Ergebnis aus (2) vielleicht ganz
> nützlich wäre.
>  
> LG.


Zu (1): wegwn xy=yx haben wir [mm] (xy)^n=x^ny^n [/mm] für alle n [mm] \in \IZ. [/mm]

Folgere daraus [mm] (xy)^{ab}=1_H. [/mm] Damit ist die Ordnung von xy schon mal [mm] \le [/mm] ab.

Hilft das ?

Zu (2):

Sei z [mm] \in [/mm]  <x> [mm]\cap[/mm] <y> .

Überlege Dir: es gilt dann [mm] z^a=1_H=z^b [/mm]

es ist ggT(a,b)=1, also ex. c,d [mm] \in \IZ: [/mm] 1=ca+db ......


FRED

Bezug
                
Bezug
Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:18 So 11.10.2015
Autor: lucaszester

Vielen Dank.

Zu (1). Okay das ist soweit verständlich. Wenn ich dann annehme, dass ordnung von xy < ab ist müsste ich doch zum Widerspruch kommen, sodass dann Gleichheit gilt oder ?

zu (2). dem kann ich leider nicht ganz folgen, für was wird benötigt , dass ggT(a,b) = 1 ... ist . ?

Bezug
                        
Bezug
Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:23 So 11.10.2015
Autor: fred97


> Vielen Dank.
>  
> Zu (1). Okay das ist soweit verständlich. Wenn ich dann
> annehme, dass ordnung von xy < ab ist müsste ich doch zum
> Widerspruch kommen, sodass dann Gleichheit gilt oder ?

Ja.


>  
> zu (2). dem kann ich leider nicht ganz folgen, für was
> wird benötigt , dass ggT(a,b) = 1 ... ist . ?

Um zu zeigen, dass aus z $ [mm] \in [/mm] $  <x> $ [mm] \cap [/mm] $ <y> folgt: [mm] z=1_H. [/mm]

FRED


Bezug
                                
Bezug
Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:33 So 11.10.2015
Autor: lucaszester

Okay, könnte man dann bei (2).
1=ca+bd nach a oder b umstellen und in [mm] z^{a}= 1_{H} [/mm] = [mm] z^{b} [/mm] . Dann würde ich ja erhalten , dass b = 1 ist und demzufolge auch a = 1 also ist z = [mm] 1_{H}. [/mm]
Oder ?

Bezug
                                        
Bezug
Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:11 So 11.10.2015
Autor: fred97


> Okay, könnte man dann bei (2).
>   1=ca+bd nach a oder b umstellen und in [mm]z^{a}= 1_{H}[/mm] =
> [mm]z^{b}[/mm] . Dann würde ich ja erhalten , dass b = 1 ist

Wieso ????


>  und
> demzufolge auch a = 1


Hä ?


>  also ist z = [mm]1_{H}.[/mm]
>  Oder ?


Aus $ [mm] z^a=1_H=z^b [/mm] $  und  1=ca+bd  fogt

[mm] $z=z^{1}=z^{ca+bd }=(z^a)^c*(z^b)^d=1_H^c*1_H^d=1_H. [/mm]

FRED

Bezug
                                                
Bezug
Gruppe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:19 So 11.10.2015
Autor: lucaszester

Ja sorry , war ein Denkfehler meinerseits, kann ja auch nicht sein sonst wäre ja die Ordnung von x und y nie görßer als 1 wenn a und b 1 wären.

V.D

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