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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 So 10.12.2006 | | Autor: | Phoney |
| Aufgabe | Gegeben sind folgende Permutationen der Menge
$ [mm] \{1,2,3,4\} [/mm] $
$ a = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 3 & 4 & 1} [/mm] $,
$ b = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 3 & 2} [/mm] $
Bestimmen Sie explizit die Gruppe [mm] A_4 \subseteq B_4 [/mm] alles b und a erzeugten Permutationen, d. h.
[mm] $A_4 [/mm] = [mm] \{a^{i_1}\circ b^{i_2}\circ a^{i_3}\circ b^{i_4}...:i_k\in \IN_0$ fuer alle $k \in\IN\}$
[/mm]
Geben Sie eine geometrische Interpretation von [mm] A_4. [/mm] Gilt [mm] A_4 [/mm] = [mm] B_4? [/mm] |
Hallo.
Kann mir hier jemand mal eine Anleitung geben, was zu tun ist? Ich verstehe davon leider gar nichts. Geometrische Interpretation hört sich so an, als müsste ich zeichnen. Eine vorherige Teilaufgabe lautete:
Betrachte das Quadrat Q in $ [mm] \IR^2 [/mm] $ mit numerierten Ecken
1 = (1,1), 2=(-1,1), 3=(-1,-1), 4=(1,-1)
....
Aber damit weiß ich leider nichts anzufangen. Und das bitte ich zu entschuldigen - also ganz allgemein, wie gehe ich hier vor?
MfG Johann
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Hallo Phoney!
> Gegeben sind folgende Permutationen der Menge
>
> [mm]\{1,2,3,4\}[/mm]
>
> [mm]a = \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 3 & 4 & 1} [/mm],
>
> [mm]b = \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 3 & 2}[/mm]
>
> Bestimmen Sie explizit die Gruppe [mm]A_4 \subseteq B_4[/mm] alles b
> und a erzeugten Permutationen, d. h.
>
> [mm]A_4 = \{a^{i_1}\circ b^{i_2}\circ a^{i_3}\circ b^{i_4}...:i_k\in \IN_0[/mm]
> fuer alle [mm]k \in\IN\}[/mm]
>
> Geben Sie eine geometrische Interpretation von [mm]A_4.[/mm] Gilt
> [mm]A_4[/mm] = [mm]B_4?[/mm]
Sicher bin ich mir nicht, aber für mich sieht es so aus, als solltest du alle Möglichkeiten aufschreiben, wie du a und b verknüpfen kannst. Also [mm] a^2 [/mm] wäre z. B. a nochmal auf a angewand (weißt du, was das ist? Wenn du also die einmal permutierte noch einmal durch a permutierst) und mit b genauso. Und dann kannst du ja noch [mm] a^3 [/mm] und [mm] a^4 [/mm] usw. berechnen, aber irgendwann sollte wohl wieder a rauskommen. Und [mm] A_4 [/mm] ist dann die Menge, die entsteht, wenn du z. B. einmal a berechnest, dann darauf b oder von mir aus auch [mm] b^2 [/mm] anwendest, danach [mm] a^5 [/mm] oder irgendwie so etwas. Vielleicht kannst du damit ja mal ein bisschen rumrechnen, die Potenzen von a und b wirst du sicherlich brauchen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:05 Mo 11.12.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo.
> Hallo Phoney!
>
> > Gegeben sind folgende Permutationen der Menge
> >
> > [mm]\{1,2,3,4\}[/mm]
> >
> > [mm]a = \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 3 & 4 & 1} [/mm],
> >
> > [mm]b = \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 3 & 2}[/mm]
> >
> > Bestimmen Sie explizit die Gruppe [mm]A_4 \subseteq B_4[/mm] alles b
> > und a erzeugten Permutationen, d. h.
> >
> > [mm]A_4 = \{a^{i_1}\circ b^{i_2}\circ a^{i_3}\circ b^{i_4}...:i_k\in \IN_0[/mm]
> > fuer alle [mm]k \in\IN\}[/mm]
> >
> > Geben Sie eine geometrische Interpretation von [mm]A_4.[/mm] Gilt
> > [mm]A_4[/mm] = [mm]B_4?[/mm]
>
> Sicher bin ich mir nicht, aber für mich sieht es so aus,
> als solltest du alle Möglichkeiten aufschreiben, wie du a
> und b verknüpfen kannst. Also [mm]a^2[/mm] wäre z. B. a nochmal auf
> a angewand (weißt du, was das ist? Wenn du also die einmal
> permutierte noch einmal durch a permutierst) und mit b
Ja, das weiß ich.
> genauso. Und dann kannst du ja noch [mm]a^3[/mm] und [mm]a^4[/mm] usw.
> berechnen, aber irgendwann sollte wohl wieder a rauskommen.
> Und [mm]A_4[/mm] ist dann die Menge, die entsteht, wenn du z. B.
> einmal a berechnest, dann darauf b oder von mir aus auch
> [mm]b^2[/mm] anwendest, danach [mm]a^5[/mm] oder irgendwie so etwas.
> Vielleicht kannst du damit ja mal ein bisschen rumrechnen,
> die Potenzen von a und b wirst du sicherlich brauchen.
Was genau soll ich jetzt machen, erst einmal a, [mm] a^2, a^3, a^4 [/mm] berechnen und b, [mm] b^2, b^3 b^4.
[/mm]
Und dann soll ich einmal
[mm] a^1 [/mm] mit [mm] b^1
[/mm]
[mm] a^1 [/mm] mit [mm] b^2
[/mm]
[mm] a^1 [/mm] mit [mm] b^3
[/mm]
[mm] a^1 [/mm] mit [mm] b^4
[/mm]
Und das selbe für [mm] b^1
[/mm]
[mm] b^1 [/mm] mit [mm] a^1
[/mm]
[mm] b^1 [/mm] mit [mm] a^2
[/mm]
[mm] b^1 [/mm] mit [mm] a^3
[/mm]
[mm] b^1 [/mm] mit [mm] a^4
[/mm]
Und dann noch einmal alles mit [mm] b^2? [/mm] Wobei ich ja [mm] a^1 [/mm] schon mit [mm] b^2 [/mm] verknüpft hätte, bliebe also nur noch die andere Reihenfolge.
Oder wie war das gemeint?
Lieben Gruß vom Johann
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Mo 11.12.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Phoney!
> Hallo.
>
> > Hallo Phoney!
> >
> > > Gegeben sind folgende Permutationen der Menge
> > >
> > > [mm]\{1,2,3,4\}[/mm]
> > >
> > > [mm]a = \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 3 & 4 & 1} [/mm],
> > >
> > > [mm]b = \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 3 & 2}[/mm]
> > >
> > > Bestimmen Sie explizit die Gruppe [mm]A_4 \subseteq B_4[/mm] alles b
> > > und a erzeugten Permutationen, d. h.
> > >
> > > [mm]A_4 = \{a^{i_1}\circ b^{i_2}\circ a^{i_3}\circ b^{i_4}...:i_k\in \IN_0[/mm]
> > > fuer alle [mm]k \in\IN\}[/mm]
> > >
> > > Geben Sie eine geometrische Interpretation von [mm]A_4.[/mm] Gilt
> > > [mm]A_4[/mm] = [mm]B_4?[/mm]
> >
> > Sicher bin ich mir nicht, aber für mich sieht es so aus,
> > als solltest du alle Möglichkeiten aufschreiben, wie du a
> > und b verknüpfen kannst. Also [mm]a^2[/mm] wäre z. B. a nochmal auf
>
>
> > a angewand (weißt du, was das ist? Wenn du also die einmal
> > permutierte noch einmal durch a permutierst) und mit b
>
> Ja, das weiß ich.
>
> > genauso. Und dann kannst du ja noch [mm]a^3[/mm] und [mm]a^4[/mm] usw.
> > berechnen, aber irgendwann sollte wohl wieder a rauskommen.
> > Und [mm]A_4[/mm] ist dann die Menge, die entsteht, wenn du z. B.
> > einmal a berechnest, dann darauf b oder von mir aus auch
> > [mm]b^2[/mm] anwendest, danach [mm]a^5[/mm] oder irgendwie so etwas.
> > Vielleicht kannst du damit ja mal ein bisschen rumrechnen,
> > die Potenzen von a und b wirst du sicherlich brauchen.
>
> Was genau soll ich jetzt machen, erst einmal a, [mm]a^2, a^3, a^4[/mm]
> berechnen und b, [mm]b^2, b^3 b^4.[/mm]
>
> Und dann soll ich einmal
> [mm]a^1[/mm] mit [mm]b^1[/mm]
> [mm]a^1[/mm] mit [mm]b^2[/mm]
> [mm]a^1[/mm] mit [mm]b^3[/mm]
> [mm]a^1[/mm] mit [mm]b^4[/mm]
>
> Und das selbe für [mm]b^1[/mm]
>
> [mm]b^1[/mm] mit [mm]a^1[/mm]
> [mm]b^1[/mm] mit [mm]a^2[/mm]
> [mm]b^1[/mm] mit [mm]a^3[/mm]
> [mm]b^1[/mm] mit [mm]a^4[/mm]
>
> Und dann noch einmal alles mit [mm]b^2?[/mm] Wobei ich ja [mm]a^1[/mm] schon
> mit [mm]b^2[/mm] verknüpft hätte, bliebe also nur noch die andere
> Reihenfolge.
>
> Oder wie war das gemeint?
Ja, so war das gemeint, aber ich bin nicht sicher ob das richtig ist, das scheint ja ziemlich viel zu sein. Oder es gibt da evtl. etwas, was man sich überlegen kann, so dass man nicht alles rechnen muss...
Viele Grüße
Bastiane
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> Was genau soll ich jetzt machen, erst einmal a, [mm]a^2, a^3, a^4[/mm]
> berechnen und b, [mm]b^2, b^3 b^4.[/mm]
Hallo,
ja, berechne erstmal die Potenzen. Im Zweifelsfalle bis "hoch 127" oder darüber hinaus...
Keine Angst: lange vor 127 wirst Du ein n haben und ein m mit [mm] a^n=id [/mm] und [mm] b^m=id.
[/mm]
Das verkürzt die Sache sehr.
Hast Du eigentlich schon angefangen??? Bei welchem n ist denn zum ersten Mal [mm] a^n=id?
[/mm]
Zur Geometrie:
Die Permutationen von 4 Elementen kannst Du Dir vorstellen als Abbildung eines Quadrates auf sich.
Was sagt $ a = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 3 & 4 & 1} [/mm] $?
Das sagt: 1.Ecke auf die 2.
2.Ecke auf die 3.
3.Ecke auf die 4.
4.Ecke auf die 1.
Was ist das für eine Abbildung?
Bei der Abbildung b bleiben sogar zwei Ecken fest. Geometrisch?
Gruß v. Angela
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