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| Aufgabe | 1. Für a [mm] \in [/mm] N Quadrat-frei, d.h. es existiert kein b [mm] \in [/mm] N mit [mm] b^{2} [/mm] = a, sei
Q [mm] [\wurzel{a}]× [/mm] = {x + [mm] y\wurzel{a} [/mm] : x, y ∈ Q} − {0}.
Man definiert eine Verknüpfung * : [mm] Q[\wurzel{a}]^{× }× Q[\wurzel{a}]^{×} \to Q[\wurzel{a}]^{×} [/mm] durch
[mm] (x_{1} [/mm] + [mm] y_{1}\wurzel{a}) \* (x_{2} [/mm] + [mm] y_{2} \wurzel{a}) [/mm] = [mm] (x_{1}x_{2}) [/mm] + [mm] (y_{1}y_{2})a [/mm] + [mm] (x_{1}y_{2} [/mm] + [mm] x_{2}y_{1}) \wurzel{a}.
[/mm]
Beweisen Sie, dass [mm] (Q[\wurzel{a}]^{×} [/mm] ),*) eine Gruppe ist.
2. Sei G eine Gruppe mit der Eigenschaft [mm] a^{2} [/mm] = [mm] b^{2 }= (ab)^{2} [/mm] für alle a, b ∈ G. Zeigen Sie, dass a4 =
[mm] b^{4} [/mm] = [mm] (ab)^{2}. [/mm] Begründen Sie die Lösungsschritte!
3. Seien m, n teilerfremde natürliche Zahlen. Finden Sie einen Isomorphismus φ: Z/(mnZ) [mm] \to [/mm] Z(mZ) × Z/(nZ). Bitte begründen Sie ihre Antwort!
4. Sei G eine Gruppe, seien x, y ∈ G, und sei e ∈ G das neutrales Element. Falls [mm] x^{2} [/mm] = e und xyx = [mm] y^{3}, [/mm] zeigen Sie, dass [mm] y^{8 }= [/mm] e.
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Hallo,
ich habe die Aufgaben soweit versucht zu lösen und es sind Fragen bei mir dabei aufgetaucht.
Zu 1. Es ist die Assoziativität, das neutrale Element und das Inverse zu beweisen.
Reicht es aus, um zu belegen, dass G eine Gruppe ist?
Zu 2: aa=bb=aabb
aa=bb=abab (durch Assoz.)
aa=abab, so ist b=e bzw. bb=abab, so ist a=e
a=e=b
[mm] a^{4}=b^{4}=a^{2}b^{2}:
[/mm]
[mm] e^{4}=e^{4}=e^{2}e^{2}
[/mm]
zu 3:
Isomorphismus ist ein Homomorphismus, der bijektiv (streng monoton) ist.
φ(m)=c, φ(n)=d
φ(mn)= φ(m)× φ(n)=c×d
φ^{-1}(c ×d) = mn= φ^{-1}(c) φ^{-1}(d)
dann
φ(x)=x ist der gesuchte Isomorphismus. Ist es soweit richtig? Wenn ja, soll ich es noch irgendwie beweisen?
Zu 4:
xx=e
x=e
xyx=yyy
xxy=yyy
ey=yyy
durch Kürzen ergibt sich
e =yy
e=y
so ist [mm] y^{8}=e
[/mm]
Kann ich so beweisen?
Überprüft bitte meine Ansätze.
Großen Dank im voraus;)
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Hallo webspacer,
> 1. Für a [mm]\in[/mm] N Quadrat-frei, d.h. es existiert kein b [mm]\in[/mm] N
> mit [mm]b^{2}[/mm] = a, sei
> Q [mm][\wurzel{a}]×[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {x + [mm]y\wurzel{a}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
: x, y ∈ Q}
> − {0}.
> Man definiert eine Verknüpfung * : [mm]Q[\wurzel{a}]^{× }× Q[\wurzel{a}]^{×} \to Q[\wurzel{a}]^{×}[/mm]
> durch
> [mm](x_{1}[/mm] + [mm]y_{1}\wurzel{a}) \* (x_{2}[/mm] + [mm]y_{2} \wurzel{a})[/mm] =
> [mm](x_{1}x_{2})[/mm] + [mm](y_{1}y_{2})a[/mm] + [mm](x_{1}y_{2}[/mm] + [mm]x_{2}y_{1}) \wurzel{a}.[/mm]
>
> Beweisen Sie, dass [mm](Q[\wurzel{a}]^{×}[/mm] ),*) eine Gruppe
> ist.
> 2. Sei G eine Gruppe mit der Eigenschaft [mm]a^{2}[/mm] = [mm]b^{2 }= (ab)^{2}[/mm]
> für alle a, b ∈ G. Zeigen Sie, dass a4 =
> [mm]b^{4}[/mm] = [mm](ab)^{2}.[/mm] Begründen Sie die Lösungsschritte!
> 3. Seien m, n teilerfremde natürliche Zahlen. Finden Sie
> einen Isomorphismus φ: Z/(mnZ) [mm]\to[/mm] Z(mZ) × Z/(nZ).
> Bitte begründen Sie ihre Antwort!
> 4. Sei G eine Gruppe, seien x, y ∈ G, und sei e
> ∈ G das neutrales Element. Falls [mm]x^{2}[/mm] = e und xyx =
> [mm]y^{3},[/mm] zeigen Sie, dass [mm]y^{8 }=[/mm] e.
>
> Hallo,
> ich habe die Aufgaben soweit versucht zu lösen und es sind
> Fragen bei mir dabei aufgetaucht.
> Zu 1. Es ist die Assoziativität, das neutrale Element und
> das Inverse zu beweisen.
> Reicht es aus, um zu belegen, dass G eine Gruppe ist?
Hier mußt Du außerdem noch zeigen, daß jedes Element der Gruppe invertierbar ist.
> Zu 2: aa=bb=aabb
> aa=bb=abab (durch Assoz.)
> aa=abab, so ist b=e bzw. bb=abab, so ist a=e
> a=e=b
> [mm]a^{4}=b^{4}=a^{2}b^{2}:[/mm]
> [mm]e^{4}=e^{4}=e^{2}e^{2}[/mm]
Das musst Du [mm]\forall \ a,b \in G[/mm] zeigen.
> zu 3:
> Isomorphismus ist ein Homomorphismus, der bijektiv (streng
> monoton) ist.
> φ(m)=c, φ(n)=d
> φ(mn)= φ(m)× φ(n)=c×d
> φ^{-1}(c ×d) = mn= φ^{-1}(c) φ^{-1}(d)
> dann
> φ(x)=x ist der gesuchte Isomorphismus. Ist es soweit
> richtig? Wenn ja, soll ich es noch irgendwie beweisen?
> Zu 4:
> xx=e
> x=e
> xyx=yyy
> xxy=yyy
> ey=yyy
> durch Kürzen ergibt sich
> e =yy
> e=y
> so ist [mm]y^{8}=e[/mm]
>
> Kann ich so beweisen?
> Überprüft bitte meine Ansätze.
> Großen Dank im voraus;)
>
Gruß
MathePower
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