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| Aufgabe | Sei G eine Gruppe und sei [mm] H\subset [/mm] G eine nicht leere, endliche Menge.
H Gruppe [mm] \Leftrightarrow \forall a,b\in [/mm] H:ab [mm] \in [/mm] H. |
Hallo,
irgendwie finde ich meine Lösung unschön:
[mm] \Rightarrow [/mm] ist trivial.
És gelte nun [mm] ab\in [/mm] H für alle a,b [mm] \in [/mm] H.
Betrachte [mm] A:=$\{h^{k}|k\in\mathbb{N}\}$\subset [/mm] H. Dann ist diese Menge endlich.
Sei [mm] h^m=h^n [/mm] für bel. nat. Zahlen n,m und o.B.d.A. m>n. Dann folgt (weil die h insbesondere in der Gruppe G liegen) [mm] h^{m-n}=1 [/mm] und für den Fall m>n ist [mm] h^{m-n}\in [/mm] A, also [mm] 1\in [/mm] A, also [mm] 1\in [/mm] H.
Ist m-n=1, so würde folgen h=e, also ist hier h zu sich selbs invers.
Nun der Fall m-n>1. Dann ist [mm] h^{m-n-1} \in [/mm] A, also in H. Und es gilt nach obigem: [mm] h^{m-n-1}=1h^{-1}=h^{-1}, [/mm] also [mm] h^{-1}\in [/mm] H, und damit ist H eine Gruppe.
Ist das soweit richtig? Und kann man es vllt. noch etwas eleganter aufschreiben? Vielleicht sogar einfacher lösen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:30 Di 22.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin
> Sei G eine Gruppe und sei [mm]H\subset[/mm] G eine nicht leere,
> endliche Menge.
> H Gruppe [mm]\Leftrightarrow \forall a,b\in[/mm] H:ab [mm]\in[/mm] H.
> Hallo,
>
> irgendwie finde ich meine Lösung unschön:
> [mm]\Rightarrow[/mm] ist trivial.
> És gelte nun [mm]ab\in[/mm] H für alle a,b [mm]\in[/mm] H.
> Betrachte A:=[mm]\{h^{k}|k\in\mathbb{N}\}[/mm][mm] \subset[/mm] H. Dann ist
> diese Menge endlich.
> Sei [mm]h^m=h^n[/mm] für bel. nat. Zahlen n,m und o.B.d.A. m>n.
> Dann folgt (weil die h insbesondere in der Gruppe G liegen)
> [mm]h^{m-n}=1[/mm] und für den Fall m>n ist [mm]h^{m-n}\in[/mm] A, also [mm]1\in[/mm]
> A, also [mm]1\in[/mm] H.
> Ist m-n=1, so würde folgen h=e, also ist hier h zu sich
> selbs invers.
> Nun der Fall m-n>1. Dann ist [mm]h^{m-n-1} \in[/mm] A, also in H.
> Und es gilt nach obigem: [mm]h^{m-n-1}=1h^{-1}=h^{-1},[/mm] also
> [mm]h^{-1}\in[/mm] H, und damit ist H
... nach dem Untergruppenkriterium eine Untergruppe und somit auch ...
>eine Gruppe.
>
> Ist das soweit richtig? Und kann man es vllt. noch etwas
> eleganter aufschreiben? Vielleicht sogar einfacher lösen?
Ich denke, das ist schon recht optimal so. Du koenntest hoechstens noch die Ordnung eines Elementes benutzen: da $G$ endlich ist, ist sie immer endlich, womit du automatisch ein Element $n [mm] \in \IN_{>0}$ [/mm] bekommst mit [mm] $h^n [/mm] = 1$, ohne es erst konstruieren zu muessen. Zumindest falls ihr die Ordnung schon hattet :)
LG Felix
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> Ich denke, das ist schon recht optimal so. Du koenntest
> hoechstens noch die Ordnung eines Elementes benutzen: da [mm]G[/mm]
> endlich ist, ist sie immer endlich, womit du automatisch
> ein Element [mm]n \in \IN_{>0}[/mm] bekommst mit [mm]h^n = 1[/mm], ohne es
> erst konstruieren zu muessen. Zumindest falls ihr die
> Ordnung schon hattet :)
>
> LG Felix
>
Naja G selbst soll ja nicht endlich sein, sondern nur die Menge H, weshalb ich dachte, dass ich mir eben nicht einfach dieses h nehmen könnte mit [mm] h^n=1. [/mm] Oder geht das doch und wenn ja warum? Ich weiß im Prinzip ja, dass mein A zyklische Gruppe ist und das deshalb gilt, aber das weiß ich doch auch nur, wenn ich weiß, dass H eine Gruppe ist, was ich ja gerade zeigen will.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:41 Di 22.06.2010 | | Autor: | fred97 |
Wir haben: $ [mm] h^k \in [/mm] H$ für jedes k [mm] \in \IN.
[/mm]
Dann muß es m,n [mm] \in \IN [/mm] geben mit
m>n und [mm] $h^m=h^n$
[/mm]
FRED
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