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Gruppe: Hilfe, Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:13 Do 10.02.2011
Autor: Bilmem

Aufgabe
a) Es sei G = [mm] \IN [/mm] x [mm] \IZ [/mm] . Die Abbildung * verknüpft zwei Elemente aus G und ist gegeben durch (a,b) * (c,d) = ( a . c, (b . c) +d),
wobei + bzw. . die übliche Addition bzw. Multiplikation von Zahlen bezeichnet. Zeigen Sie, dass (G,*) genau drei der vier Gruppenaxiome (G1)-(G4) erfüllt.

Ich habe folgendes gemacht:

G1: Abgeschlossenheit:
(a,b) [mm] \in [/mm] G
(c,d) [mm] \in [/mm] G

(a,b) * (c,d) = (a . c, (b . c ) + d) [mm] \in [/mm] G

G2: Assoziativität:

(So, hier fängt das Problem schon an!)

( (a,b) * (c,d) ) * (e,f) = (a,b) * ( (c,d) * (e,f) )

Ist das so richtig?

        
Bezug
Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:25 Do 10.02.2011
Autor: wieschoo


> a) Es sei G = [mm]\IN[/mm] x [mm]\IZ[/mm] . Die Abbildung * verknüpft zwei
> Elemente aus G und ist gegeben durch (a,b) * (c,d) = ( a .
> c, (b . c) +d),

[mm](a,b)\circ (c,d)=\left ( a\cdot c,(b\cdot c)+d \right )[/mm]

>  wobei + bzw. . die übliche Addition bzw. Multiplikation
> von Zahlen bezeichnet. Zeigen Sie, dass (G,*) genau drei
> der vier Gruppenaxiome (G1)-(G4) erfüllt.
>  Ich habe folgendes gemacht:
>  
> G1: Abgeschlossenheit:
>  (a,b) [mm]\in[/mm] G
>  (c,d) [mm]\in[/mm] G
>
> (a,b) * (c,d) = (a . c, (b . c ) + d) [mm]\in[/mm] G

Und warum? Das stimmt ja. Aber du kannst ja nicht einfach behaupten, was zu zeigen ist.

>  
> G2: Assoziativität:
>  
> (So, hier fängt das Problem schon an!)
>  
> ( (a,b) * (c,d) ) * (e,f) = (a,b) * ( (c,d) * (e,f) )

Genau das ist zu zeigen!
Das ist ein bisschen Rechnerei. Aber G2 ist auch erfüllt. Nimm dir
( (a,b) * (c,d) ) * (e,f)
vor
( (a,b) * (c,d) ) * (e,f) = (ac,bc+d)*(e,f) = (ace,bce+de+f)

jetzt müsste auch bei
(a,b) * ( (c,d) * (e,f) ) = ... = (ace,bce+de+f)
herauskommen.

>  
> Ist das so richtig?  



Bezug
                
Bezug
Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:40 Do 10.02.2011
Autor: Bilmem

G1: Abgeschlossenheit:

[mm] \forall [/mm] (a,b), (c,d) [mm] \in [/mm] G : (a,b) * (c,d) [mm] \in [/mm] G
(a,b) * (c,d) = (a [mm] \dot [/mm] c, (b [mm] \dot [/mm] c) + d = (e,f), wobei

e [mm] \in \IN \wedge [/mm] f [mm] \in \IZ [/mm] => (e,f) [mm] \in [/mm] G


G2: Assoziativität:

[mm] \forall [/mm] (a,b), (c,d), (e,f) [mm] \in [/mm] G : ((a,b) * (c,d)) * (e,f) = (a,b) * ((c,d) * (e,f))

(a [mm] \dot [/mm] c, (b [mm] \dot [/mm] c) + d ) * (e,f) = (a [mm] \dot [/mm] c [mm] \dot [/mm] e, ((b [mm] \dot [/mm] c ) + d) [mm] \dot [/mm] e +f)   = (a [mm] \dot [/mm] c [mm] \dot [/mm] e, ((b [mm] \dot [/mm] c) [mm] \dot [/mm] e + de+f)    = (a [mm] \dot [/mm] c [mm] \dot [/mm] e, b [mm] \dot [/mm] c [mm] \dot [/mm] e + de +f)     = (a [mm] \dot [/mm] (c [mm] \dot [/mm] e), b [mm] \dot [/mm] (c [mm] \dot [/mm] e ) + (de+f))    = (a,b)*(c [mm] \dot [/mm] e, de +f )

Und nuu? Wie gehts weiter? Wie komme ich auf (a,b)*((c,d)*(e,f)) ?!?!?

                                                  

Bezug
                        
Bezug
Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:50 Do 10.02.2011
Autor: wieschoo


> G1: Abgeschlossenheit:
>  
> [mm]\forall[/mm] (a,b), (c,d) [mm]\in[/mm] G : (a,b) * (c,d) [mm]\in[/mm] G
>  (a,b) * (c,d) = (a [mm]\dot[/mm] c, (b [mm]\dot[/mm] c) + d = (e,f), wobei
>  
> e [mm]\in \IN \wedge[/mm] f [mm]\in \IZ[/mm] => (e,f) [mm]\in[/mm] G

Das ist schon mehr einzusehen.

>  
>
> G2: Assoziativität:
>  
> [mm]\forall[/mm] (a,b), (c,d), (e,f) [mm]\in[/mm] G : ((a,b) * (c,d)) * (e,f)
> = (a,b) * ((c,d) * (e,f))
>  
> (a [mm]\dot[/mm] c, (b [mm]\dot[/mm] c) + d ) * (e,f) = (a [mm]\dot[/mm] c [mm]\dot[/mm] e, ((b
> [mm]\dot[/mm] c ) + d) [mm]\dot[/mm] e +f)   = (a [mm]\dot[/mm] c [mm]\dot[/mm] e, ((b [mm]\dot[/mm] c)
> [mm]\dot[/mm] e + de+f)    = (a [mm]\dot[/mm] c [mm]\dot[/mm] e, b [mm]\dot[/mm] c [mm]\dot[/mm] e + de
> +f)     = (a [mm]\dot[/mm] (c [mm]\dot[/mm] e), b [mm]\dot[/mm] (c [mm]\dot[/mm] e ) + (de+f))  
>   = (a,b)*(c [mm]\dot[/mm] e, de +f )
>  
> Und nuu? Wie gehts weiter? Wie komme ich auf
> (a,b)*((c,d)*(e,f)) ?!?!?

Da kannst du wesentlich mehr als ich mit einem Schritt:

[mm][(a,b)*(c,d)]*(e,f)=(ac,bc+d)*(e,f)=(ace,bce+de+f)\;[/mm]
[mm](a,b)*[(c,d)*(e,f)]=(a,b)*(ce,de+f)=(ace,bce+de+f)\;[/mm]


Bezug
                                
Bezug
Gruppe: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 21:08 Do 10.02.2011
Autor: Bilmem

Ich habe es iwie nicht verstanden :S Was meinst du mit dem letzten Schritt?

Bezug
                                        
Bezug
Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:21 Do 10.02.2011
Autor: wieschoo

Dich versteh ich auch nicht. Die Assoziativität ist doch nachgerechnet. Jetzt steht das ja schon da.


Bezug
        
Bezug
Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:52 Do 10.02.2011
Autor: Bilmem

Wie mache ich G3?

Bezug
                
Bezug
Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:12 Do 10.02.2011
Autor: kamaleonti

Hallo,
> Wie mache ich G3

Wenn G3 bei dir die Existenz eines neutralen Elements ist:

Untersuche, ob es ein neutrales Element e gibt mit $e*g=g*e=g$ für alle [mm] $g\in [/mm] G$.

Also nimm dir mal ein allgemeines Element $(n, [mm] z)\in [/mm] G$ und schau, ob es so ein Element gibt.

Kamaleonti

Bezug
                        
Bezug
Gruppe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:31 Do 10.02.2011
Autor: Bilmem

Ist das neutrale Element e=1 ??

Bezug
                                
Bezug
Gruppe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:39 Do 10.02.2011
Autor: kamaleonti


> Ist das neutrale Element e=1 ??

Wie? Deine Gruppenelemente sind geordnete Paare!

Raten hilft dir nicht weiter, du musst deine Verknüpfungsabbildung schon anschauen, um zu untersuchen, ob es überhaupt ein neutrales Element gibt.

Kamaleonti

Bezug
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