Gruppe (IN x IN)/~ < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Fr 10.12.2010 | | Autor: | katrin10 |
| Aufgabe | | Auf [mm] \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] ist die Relation (a,b) ~ (c,d) :<-> a+d=b+c definiert. Auf der Menge [mm] (\IN [/mm] x [mm] \IN)/~ [/mm] der Äquivalenzklassen definiert die Vorschrift [(a,b)]~ + [(c,d)]~ = [(a+c,b+d)]~ eine wohlldefinierte Verknüpfung, die [mm] (\IN [/mm] x [mm] \IN)/~ [/mm] zu einer Gruppe macht. |
Die Wohldefiniertheit habe ich bereits gezeigt und bin nun dabei die Gruppenaxiome zu überprüfen und möchte nun neutrales und inverses Element untersuchen:
[(0,0)]~ [mm] \in (\IN [/mm] x [mm] \IN)/~ [/mm] ist linksneutrales Element, da
[(0,0)]~+[(a,b)]~=[(a,b)]~
Als inverses Element zu [(a,b)]~ erhalte ich dann [(-a,-b)]~, jedoch liegen -a und -b nicht in [mm] \IN. [/mm]
Hätte jemand bitte einen Tipp für mich, ich bin für jede Hilfe dankbar,
Viele Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
du konstruierst doch gerade die ganzen Zahlen.
-(a-b) = b-a
Also versuche es mal mit [(b,a)]~ als Inversem zu [(a,b)]~
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 Fr 10.12.2010 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich habe es jetzt verstanden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:44 Fr 10.12.2010 | | Autor: | katrin10 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Abbildung [mm] f:((\IN [/mm] x [mm] \IN) [/mm] / ~),+) [mm] \to (\IZ,+), [/mm] [(a,b)]~ [mm] \mapsto [/mm] a-b surjektiv ist. |
Hi!
Mein Lösungsvorschlag ist:
Sei z [mm] \in \IZ [/mm] beliebig. Sei a=b+z
[mm] \rightarrow [/mm] f([(a,b)]~) = f([(b+z,b)]~)=b+z-b=z
[mm] \rightarrow [/mm] f ist surjektiv
Ist das so mathematisch korrekt aufgeschrieben?
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
nein, das geht so nicht und zwar aus folgendem Grund :
Du suchst doch ein Zahlenpaar [mm] (a,b)\in \IN\times\IN, [/mm] aber wenn du a=b+z setzt, ist doch nicht garantiert, dass [mm] a\in \IN [/mm] ist. (z.B. für b=3 und z=-5)
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Fr 10.12.2010 | | Autor: | katrin10 |
Mein neuer Lösungsvorschlag, um die Surjektivität zu zeigen:
Sei f([(a,b)]~)=z mit a,b [mm] \in \IN [/mm] und z [mm] \in \IZ
[/mm]
1. Fall: a=b [mm] \rightarrow [/mm] a-b=0=z
2. Fall: a>b [mm] \rightarrow [/mm] a-b>0
Sei x [mm] \in \IN [/mm] beliebig. Sei a:= x+b [mm] \rightarrow [/mm] a-b=x=z
3. Fall: a<b [mm] \rightarrow [/mm] a-b<0
Sei x [mm] \in \IZ [/mm] mit x<0 beliebig. Sei a:= x+b [mm] \rightarrow [/mm] a-b=x=z
Ist das so mathematisch korrekt oder hätte jemand bitte einen Tipp für mich, wie ich die Surjektivität zeigen könnte?
DANKE
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
die Idee mit einer Fallunterscheidung ist richtig, du musst aber von z ausgehen, nicht von a,b.
Surjektivität heißt doch, dass es zu jedem [mm] z\in\IZ [/mm] ein Zahlenpaar [mm] (a,b)\in\IN\times\IN [/mm] gibt, so dass f([(a,b)]~)=z wird.
Die Struktur des Beweises muss also folgendermaßen aussehen :
"Sei [mm] z\in\IZ [/mm] beliebig gegeben.
1. Fall : z>0
Dann wähle ich a = ... und b = ... und zeige f([(a,b)]~)=z (d.h. a-b=z)
2. Fall : z ...
Dann wähle ich ...
3. Fall : ... "
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Fr 10.12.2010 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank schon mal.
Ich habe nun Folgendes gemacht:
Sei z [mm] \in \IZ [/mm] beliebig.
1. Fall: z>0
Sei a:= z und b:=0
f([(a,b)]~)=z-0=z
2. Fall: z=0
Sei a:= 0 und b:=0
f([(a,b)]~)=0-0=0=z
3. Fall: z<0
Sei a:= 0 und b:=-z
f([(a,b)]~)=0-(-z)=z
[mm] \rightarrow [/mm] f ist surjektiv
Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:56 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
ja, genau so ist es richtig, vorausgesetzt, dass bei euch 0 zu den natürlichen Zahlen gerechnet wird, ansonsten addierst du einfach noch 33 zu deinen a's und b's.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:30 Fr 10.12.2010 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank für die Hilfe.
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