Gruppe der Ordnung 56 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:16 So 08.11.2009 | | Autor: | jokerose |
| Aufgabe | | Zeige, dass jede Gruppe mit 56 Elementen einen nicht-trivialen Normalteiler besitzt. |
Dazu verwende ich die Sylowsätze:
#G = 56 = [mm] 2^3*7
[/mm]
Sei H eine 2-Sylowgruppe. #H = 8
[mm] N_2=\{1,7\}
[/mm]
Sei J eine 3-Sylogruppe. #J=7.
[mm] N_3=\{1,8\}
[/mm]
Ich muss nun zeigen, dass die Fälle [mm] N_2 [/mm] = 7 und [mm] N_3=8 [/mm] nicht gleichzeitig auftreten können.
Sei nun [mm] N_3 [/mm] = 8.
Da #J=7 prim, folgt, dass [mm] \bigcap_{i=1}^{8}J_i [/mm] = e.
[mm] #J_1 [/mm] + ... + [mm] #J_8 [/mm] = 49.
Kann ich so nun auf einen Widerspruch gelangen, dass [mm] N_2 [/mm] nicht gleich 7 sein kann?
Irgendwie mit der Anzahl der Elemente von H z.B.?
Bei H gehts ja nicht so einfach, da #H=8 nicht eine Primzahl ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 So 08.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zeige, dass jede Gruppe mit 56 Elementen einen
> nicht-trivialen Normalteiler besitzt.
> Dazu verwende ich die Sylowsätze:
>
> #G = 56 = [mm]2^3*7[/mm]
>
> Sei H eine 2-Sylowgruppe. #H = 8
> [mm]N_2=\{1,7\}[/mm]
>
> Sei J eine 3-Sylogruppe. #J=7.
> [mm]N_3=\{1,8\}[/mm]
>
> Ich muss nun zeigen, dass die Fälle [mm]N_2[/mm] = 7 und [mm]N_3=8[/mm]
> nicht gleichzeitig auftreten können.
>
> Sei nun [mm]N_3[/mm] = 8.
> Da #J=7 prim, folgt, dass [mm]\bigcap_{i=1}^{8}J_i[/mm] = e.
Es folgt sogar, dass der paarweise Durchschnitt nur $e$ enthaelt.
> [mm]#J_1[/mm] + ... + [mm]#J_8[/mm] = 49.
Was willst du damit sagen?
Zaehle doch mal die Elemente in [mm] $\bigcup_{i=1}^8 J_i$. [/mm] Wieviele Elemente bleiben uebrig, die nicht Ordnung 1 oder 3 haben?
Wenn es jetzt noch 7 2-Sylow-UG gibt, wieviele Elemente der Ordnung 2 muesste es geben?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:41 So 08.11.2009 | | Autor: | jokerose |
Hallo,
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> > [mm]\#J_1[/mm] + ... + [mm]\#J_8[/mm] = 49.
>
> Was willst du damit sagen?
Sorry, das #-Symbol ist wohl nicht mitgekommen.
>
> Zaehle doch mal die Elemente in [mm]\bigcup_{i=1}^8 J_i[/mm].
Also so gibt es ingesamt 49 verschiedene Elemente, oder?
6 * 8 + das neutrale Element, welches in jeder der [mm] J_i [/mm] vorkommt.
> Wieviele Elemente bleiben uebrig, die nicht Ordnung 1 oder
> 3 haben?
Weshalb sollte man hier die Elemente der Ordnung 1 oder 3 betrachten? Sehe gerade den Zusammenhang nicht...
>
> Wenn es jetzt noch 7 2-Sylow-UG gibt, wieviele Elemente der
> Ordnung 2 muesste es geben?
Hier verstehe ich's auch nicht ganz... Sorry!
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Hallo
Wie ich die Aufgabe lösen würde:
Du hast ja herausgefunden, es gibt entweder 1 oder 7 2-Sylowgruppen (Ginge analog mit den 3-er.. aber spielt ja keine Rolle).
Jetzt:
1) Gibt es genau 1 2-Sylowuntergruppe, so ist nichts mehr zu zeigen.. denn diese Gruppe ist dann Normalteiler (warum?)
2) Gibt es 7 2-Sylowuntergruppen, so kann man anders folgen, dass es ein Normalteiler geben kann.. und zwar:
Die 2-Sylowuntergruppen sind zueinander konjugiert. D.h, G (deine Gruppe) operiert auf diese Untergruppen. Was gehört immer zu einer Gruppenoperation? Genau, ein Homomorphismus [mm] \phi:G \to [/mm] Perm(S), wobei ich hier mit S die Menge deiner 2-Sylowuntergruppen bezeichnen möchte. Und Perm(S) ist isomorph zu..? Also ist [mm] \phi:G \to [/mm] ..?
Dieser Homomorphismus ist nicht trivial (klar?). Und dieser Homomorphismus ist auch nicht injektiv (warum?).
Daraus folgt, dass der Kern nicht trivial ist.. und der Kern eines Homomorphismus ist immer Normalteiler..
Hilft dir das so? Du musst einfach noch diese 3-4 sachen begründen.. das ist aber nicht so schwierig!
Grüsse, Amaro
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:59 So 08.11.2009 | | Autor: | jokerose |
Hallo
Ja auf diese Weise würde es ja wohl auch gehen.
Aber ich würde gerne wissen, wie ich mit meinem Ansatz die Aufgabe lösen könnte. (siehe weiter oben)
Sollte ja auch klappen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:24 Di 10.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > > [mm]\#J_1[/mm] + ... + [mm]\#J_8[/mm] = 49.
> >
> > Was willst du damit sagen?
>
> Sorry, das #-Symbol ist wohl nicht mitgekommen.
Dass da jeweils # steht hab ich mir schon gedacht. Damit macht das allerdings nicht mehr Sinn: die [mm] $J_i$ [/mm] enthalten jeweils 7 Elemente, womit [mm] $\#J_1 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] \#J_8 [/mm] = 8 [mm] \cdot \#J_i [/mm] = 8 [mm] \cdot [/mm] 7 = 56$ ist.
Du meinst eher [mm] $\#(J_1 \cup \dots \cup J_8)$. [/mm] (Das ist auch tatsaechlich $8 [mm] \cdot [/mm] 6 + 1 = 49$.)
> > Zaehle doch mal die Elemente in [mm]\bigcup_{i=1}^8 J_i[/mm].
>
> Also so gibt es ingesamt 49 verschiedene Elemente, oder?
Ja.
> 6 * 8 + das neutrale Element, welches in jeder der [mm]J_i[/mm]
> vorkommt.
Genau.
> > Wieviele Elemente bleiben uebrig, die nicht Ordnung 1 oder
> > 3 haben?
>
> Weshalb sollte man hier die Elemente der Ordnung 1 oder 3
> betrachten? Sehe gerade den Zusammenhang nicht...
Das 3-Sylow-UG in deiner urspruenglichen Frage (was 7-Sylow-UG heissen soll) hat mich verwirrt. Ich meinte, du sollst die Elemente anschauen, die nicht Ordnung 1 oder 7 haben. Das sind naemlich nach dem obigen gerade $56 - 49 = 7$ weitere Elemente.
> > Wenn es jetzt noch 7 2-Sylow-UG gibt, wieviele Elemente der
> > Ordnung 2 muesste es geben?
>
>
> Hier verstehe ich's auch nicht ganz... Sorry!
Angenommen, du hast 7 verschiedene 2-Sylow-UG. Wie gross ist dann [mm] $\bigcup_{i=1}^7 H_i$? [/mm] Wieviele Elemente davon haben Ordnung 2?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 Mi 11.11.2009 | | Autor: | jokerose |
Ja genau, so hats geklappt. Sorry für meinen Tippfehler!
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