Gruppe mit Nebenklassen? < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei (G, ∗) eine Gruppe und U ≤ G eine Untergruppe. Sei weiter g ∈ G. Die Menge
g ∗ U := { g ∗ u | u ∈ U } ⊂ G
heisst Nebenklasse von U in G mit dem Vertreter g. Beweisen Sie
(a) Es gilt U = g ∗ U genau dann wenn g ∈ U gilt.
(b) Es gilt U ∩ g ∗ U [mm] \not= [/mm] ∅ genau dann wenn g ∈ U gilt.
(c) Seien [mm] g_{1}, g_{2} [/mm] ∈ G. Es gilt [mm] g_{1} [/mm] ∗U [mm] ∩g_{2} [/mm] ∗U [mm] \not= [/mm] ∅ genau dann wenn [mm] g^{-{1}}_{1} [/mm] ∗ [mm] g_{2} [/mm] ∈ U gilt.
(d) Sei r ∈ IN und [mm] g_{1}, [/mm] . . . [mm] g_{r} [/mm] ∈ G, weiter sei auch g ∈ G. Es gilt
[mm] (g_{1} [/mm] ∗ U ∪ . . . ∪ [mm] g_{r} [/mm] ∗ U) ∩ g ∗ U [mm] \not= [/mm] ∅ genau dann wenn es ein i ∈ { 1, . . . , r } mit [mm] g^{-{1}}_{i} [/mm] ∗ g ∈ U gibt. |
Hallo liebe Forenmitglieder,
Da ich hier neu bin erstmal Hallo an alle.
Nun zu meinem Problem. Ich war leider die ganze Woche erkrankt und konnte weder zum Tutorium noch zur Vorlesung gehen. Deswegen sitze ich hier vor einer Übungsaufgabe, die ich nicht begreife. Da morgen Abgabe ist wüde ich gerne wenigstens diese Aufgabe lösen, damit die Klausurzulassung nicht gefährdet wird.
Könntet ihr mir bitte behilflich sein bei dieser Aufgabe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 So 15.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Sei (G, ∗) eine Gruppe und U ≤ G eine Untergruppe. Sei
> weiter g ∈ G. Die Menge
> g ∗ U := { g ∗ u | u ∈ U } ⊂ G
> heisst Nebenklasse von U in G mit dem Vertreter g.
> Beweisen Sie
> (a) Es gilt U = g ∗ U genau dann wenn g ∈ U gilt.
> (b) Es gilt U ∩ g ∗ U [mm]\not=[/mm] ∅ genau dann wenn g ∈
> U gilt.
> (c) Seien [mm]g_{1}, g_{2}[/mm] ∈ G. Es gilt [mm]g_{1}[/mm] ∗U [mm]∩g_{2}[/mm]
> ∗U [mm]\not=[/mm] ∅ genau dann wenn [mm]g^{-{1}}_{1}[/mm] ∗ [mm]g_{2}[/mm] ∈ U
> gilt.
> (d) Sei r ∈ IN und [mm]g_{1},[/mm] . . . [mm]g_{r}[/mm] ∈ G, weiter sei
> auch g ∈ G. Es gilt
> [mm](g_{1}[/mm] ∗ U ∪ . . . ∪ [mm]g_{r}[/mm] ∗ U) ∩ g ∗ U [mm]\not=[/mm]
> ∅ genau dann wenn es ein i ∈ { 1, . . . , r } mit
> [mm]g^{-{1}}_{i}[/mm] ∗ g ∈ U gibt.
>
> Da ich hier neu bin erstmal Hallo an alle.
> Nun zu meinem Problem. Ich war leider die ganze Woche
> erkrankt und konnte weder zum Tutorium noch zur Vorlesung
> gehen. Deswegen sitze ich hier vor einer Übungsaufgabe,
> die ich nicht begreife. Da morgen Abgabe ist wüde ich
> gerne wenigstens diese Aufgabe lösen, damit die
> Klausurzulassung nicht gefährdet wird.
>
> Könntet ihr mir bitte behilflich sein bei dieser Aufgabe.
Nun, du musst selber auch schon was tun. Da stehen Sachen die du zeigen sollst.
Fangen wir mal mit (a) an. Du hast zwei Richtungen:
(i) aus $U = g U$ folgt $g [mm] \in [/mm] U$;
(ii) aus $g [mm] \in [/mm] U$ folgt $U = g U$.
Leg doch mal los. Bedenke, dass $e [mm] \in [/mm] U$ ist, also $g [mm] \in [/mm] g U$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:21 So 15.11.2009 | | Autor: | rad5ive |
Hallo,
ich sitze genau an der gleichen Aufgabe und ich verstehe auch nicht wie ich diese Aufgabe beweisen soll. Zwar habe ich die Mitschrift der Vorlesung aber vielleicht könnte jemand mal den Beweis für Aufgabe a zeigen, damit man das Prinzip versteht..
vielen danke im voraus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:54 Mo 16.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich sitze genau an der gleichen Aufgabe und ich verstehe
> auch nicht wie ich diese Aufgabe beweisen soll. Zwar habe
> ich die Mitschrift der Vorlesung aber vielleicht könnte
> jemand mal den Beweis für Aufgabe a zeigen, damit man das
> Prinzip versteht..
Nun, wie du eventuell in den Forenregeln gelesen hast, erwarten wir hier Loesungsansaetze und sind keine Loesungsmaschine.
Ich habe bereits einen Ansatz fuer die erste Teilaufgabe geliefert. Warum versuchst du nicht einfach mal damit etwas zu machen? Die Loesung zum einen Teil hab ich ja schon praktisch verraten.
Nehmen wir an, du hast $U = g U$ und willst zeigen $g [mm] \in [/mm] U$.
Es ist ja $g U = [mm] \{ g u \mid u \in U \}$, [/mm] und wegen $e [mm] \in [/mm] U$ gilt $g = g e [mm] \in [/mm] g U = U$: also ist $g [mm] \in [/mm] U$.
So, jetzt die andere Richtung: du musst zeigen, dass aus $g [mm] \in [/mm] U$ folgt $U = g U$. Dazu hast du zwei Inklusionen zu zeigen: $U [mm] \subseteq [/mm] g U$ und $g U [mm] \subseteq [/mm] U$. Versuch doch erstmal die zweite. Dazu nimmst du dir ein $u [mm] \in [/mm] U$ und zeigst, dass $g u [mm] \in [/mm] U$ ist. Warum gilt dies? (Was weisst du ueber Untergruppen? Bedenke dass $g$ ebenfalls ein Element in $U$ ist.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:50 Mo 16.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
Wenn dir eine Antwort auf deine Frage nicht ausreicht, stelle die Frage nicht einfach wieder auf unbeantwortet, sondern schreibe zumindest eine Mitteilung warum dir die Antwort nicht reicht. Oder stelle genauere Fragen zu der Antwort.
LG Felix
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