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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 Mi 05.10.2016 | | Autor: | Franzi17 |
| Aufgabe | Sei m:Z × Z → Z durch m(a,b)=a − b definiert, wobei “−” die übliche Subtraktion auf Z bezeichnet. Welche der Gruppenaxiome (A), (N),(I) erfüllt (Z,0,m) und welche
nicht? Begründen Sie Ihre Antwort. |
Hallo, ich habe einen Ansatz, aber da ich mir bei der Subtraktion nicht sicher bin(ich kenne bei Verknüpfungen nur die multiplikative und additive Schreibweise), weiss ich nicht, ob ich auf dem richtigen Weg bin.
Mein Ansatz:
(A) Für alle a,b,cEZ gilt: m(m(a,b),c)=m(a,m(b,c))
Hier: (a−b)−c=a−(b−c), nicht korrekt, also keine Assoziativität
(N) Es gilt: m(a,0)=a und m(0,b)=b
Hier: a−0=a und 0−b=b, Zweiteres nicht korrekt, (N) gilt nicht
(I) Es gilt: m(−a,a)=0
Hier: (−a)−a=0, nicht korrekt, (I) gilt nicht
Ich kann mir nicht vorstellen, dass das stimmt, aber mir fällt keine andere Herangehensweise ein.
Danke für die Hilfe!
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:http://www.onlinemathe.de/forum/Gruppenaxiome-27
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Hiho,
dein Ansatz ist völlig ok.
Die Operation ist nicht assoziativ und hat weder ein neutrales Element noch ein Inverses.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:54 Mi 05.10.2016 | | Autor: | Franzi17 |
Danke!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:31 Mi 05.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Gono,
ich vermute mal, dass (I) wie folgt definiert ist:
Sei M eine Menge, [mm] $e\in [/mm] M$ und [mm] $m\colon M\times M\to [/mm] M$.
Dann erfüllt das Tripel $(M,e,m)$ die Eigenschaft (I), wenn zu jedem [mm] $a\in [/mm] M$ ein [mm] $b\in [/mm] M$ mit $m(a,b)=m(b,a)=e$ existiert.
> dein Ansatz ist völlig ok.
> Die Operation ist nicht assoziativ und hat weder ein
> neutrales Element noch ein Inverses.
Wenn meine obige Vermutung stimmt, ist (I) für das Tripel aus der Aufgabenstellung sehr wohl erfüllt.
Darüber hinaus deuten Formulierungen der Art "die Operation XY besitzt (k)ein Inverses" auf ein Missverständnis hin: Eine Tripel $(M,e,m)$ hat nicht per se ein oder kein inverses Element, sondern jedes einzelne Element [mm] $a\in [/mm] M$ kann ein oder kein (oder im Falle einer nicht assoziativen Verknüpfung auch mehrere) inverse(s) Element(e) besitzen.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Mi 05.10.2016 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
> Sei M eine Menge, [mm]e\in M[/mm] und [mm]m\colon M\times M\to M[/mm].
> Dann
> erfüllt das Tripel [mm](M,e,m)[/mm] die Eigenschaft (I), wenn zu
> jedem [mm]a\in M[/mm] ein [mm]b\in M[/mm] mit [mm]m(a,b)=m(b,a)=e[/mm] existiert.
darüber habe ich tatsächlich auch länger nachgegrübelt, wobei ich davon ausging, dass "e" eben das neutrale Element sein soll.
Da es aktuell kein solches gibt (natürlich gibt es ein rechtsneutrales, aber eben keines, was gleichzeitig auch linksneutral ist), kann es eben auch kein Inverses Element geben.
Auf die Idee, dass die "0" vorgegeben ist im Tripel kam ich allerdings nicht. Dann gibt es natürlich ein solches "Inverses" für jedes a…
Gruß,
Gono
>
>
> > dein Ansatz ist völlig ok.
> > Die Operation ist nicht assoziativ und hat weder ein
> > neutrales Element noch ein Inverses.
> Wenn meine obige Vermutung stimmt, ist (I) für das Tripel
> aus der Aufgabenstellung sehr wohl erfüllt.
>
>
> Darüber hinaus deuten Formulierungen der Art "die
> Operation XY besitzt (k)ein Inverses" auf ein
> Missverständnis hin: Eine Tripel [mm](M,e,m)[/mm] hat nicht per se
> ein oder kein inverses Element, sondern jedes einzelne
> Element [mm]a\in M[/mm] kann ein oder kein (oder im Falle einer
> nicht assoziativen Verknüpfung auch mehrere) inverse(s)
> Element(e) besitzen.
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:17 Do 06.10.2016 | | Autor: | Franzi17 |
Ich verstehe nicht genau, was gemeint ist, also gilt (I), obwohl es kein neutrales Element gibt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:11 Do 06.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
> Ich verstehe nicht genau, was gemeint ist, also gilt (I),
> obwohl es kein neutrales Element gibt?
Das hängt davon ab, wie ihr (I) genau definiert habt:
"Normalerweise" spricht man nur bei Existenz eines neutralen Elementes überhaupt von (möglicherweise existierenden) inversen Elementen.
Ich vermute jedoch, dass ihr (I) so formuliert habt, dass selbst dann eine sinnvolle Aussage bleibt, wenn kein neutrales Element existiert.
Kannst du eure genaue Definition von (I) posten?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:40 Do 06.10.2016 | | Autor: | Franzi17 |
(I) Für jedes a ∈ G gibt es ein a' ∈ G mit m(a',a) = e. (Inverses Element)
Sei a ∈ G. Wegen (I) gibt es a',a'' ∈ G mit a'a = e und a''a' = e. Es gilt aa' = e, a'' = a und ae = a.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 Do 06.10.2016 | | Autor: | tobit09 |
> (I) Für jedes a ∈ G gibt es ein a' ∈ G mit m(a',a) =
> e. (Inverses Element)
Danke.
Ich brauche leider noch etwas mehr Kontext: Was ist hier e?
Vermutlich habt ihr untereinander (A), (N) und (I) definiert. Über diesen drei "Teil-Definitionen" müsste noch etwas stehen. Könntest du diesen Part bitte auch posten?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:52 Fr 07.10.2016 | | Autor: | Franzi17 |
Eine Gruppe ist ein Tupel (G,e,m). Hier ist G eine Menge, m : G×G → G eine Abbildung und e ∈ G ein Element. Diese erfüllen folgende Eigenschaften (auch Gruppenaxiome genannt). (A) Für alle a,b,c ∈ G gilt m(m(a,b),c) = m(a,m(b,c)). (Assoziativgesetz) (N) Für alle a ∈ G gilt m(e,a) = a. (Neutrales Element) (I) Für jedes a ∈ G gibt es ein a' ∈ G mit m(a',a) = e. (Inverses Element) Die Abbildung m : G → G → G heisst Verknüpfungsabbildung der Gruppe und e heisst neutrales Element der Gruppe. Jedes Element a' wie in (I) heisst ein zu a Inverses Element. Wir werden später sehen, dass jedes a ∈ G genau ein Inverses besitzt. Dann dürfen wir von dem Inversen von a sprechen. Gilt zusätzlich (K) Für alle a,b ∈ G gilt m(a,b) = m(b,a). so nennt man G kommutativ oder abelsch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:40 Fr 07.10.2016 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
dann trifft genau das zu, was Tobi gesagt hat. Das gegebene "e" soll nur im "Idealfall" auch mit dem neutralen Element identisch sein. D.h. nach eurer Definition kann es sehr wohl ein Inverses Element geben, selbst wenn kein neutrales Element existiert.
Die von dir gestellte Aufgabe ist ein solches Beispiel: Obwohl e=0 nicht das neutrale Element bezüglich der Operation ist, gibt es stets ein Inverses Element, da $m(a,a) = 0$ gilt.
Gruß,
Gono
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