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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Fr 18.11.2005 | | Autor: | Kati |
Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Internetforum gestellt.
Hi!
Ich hab mich hier mal ein einer Aufgabe versucht und würde mal gerne einen Kommentar dazu hören und evtl. Verbesserungsvorschläge. Ich hab das Thema net richtig kapiert, habs aber trotzdem versucht, deswegen kann ich mir vorstellen, das das auch völliger Quatsch sein kann ;)
Also die Aufgabe lautet Folgendermaßen:
Es sei M eine Menge und G [mm] \le [/mm] S (M) eine Untergruppe. Für x [mm] \in [/mm] M definieren wir die Standgruppe [mm] G_{x} [/mm] und die Bahn G(x) durch
[mm] G_{x} [/mm] = { g [mm] \in [/mm] G : g(x) = x } und G(x) = {g(x) : g [mm] \in [/mm] G }
Zeigen Sie, dass [mm] G_{x} [/mm] für alle x [mm] \in [/mm] M eine Untergruppe von G ist.
Also ich denke ich zeigen muss dass:
1) [mm] G_{x} \not= \emptyset
[/mm]
2) [mm] G_{x} \circ G_{x} \subseteq G_{x} [/mm] ( hier bin ich mir gar nicht so sicher ob das überhaupt so richtig ist )
3) [mm] G_{x} [/mm] ^{-1} [mm] \subseteq G_{x}
[/mm]
zu 1) id [mm] \in G_{x} [/mm] , da id (x) = x also [mm] G_{x} \not= \emptyset
[/mm]
zu 2) sei g [mm] \in G_{x} [/mm] , dann g [mm] \in [/mm] G und g (x) = x
da g [mm] \circ [/mm] g = g gilt auch [mm] G_{x} \circ G_{x} \subseteq G_{x}
[/mm]
zu 3) sei g [mm] \in G_{x} [/mm]
[mm] g^{-1} [/mm] existiert nur wenn g bijektiv ist
da gilt g (x) = x gilt auch [mm] g^{-1} [/mm] (x) = x (wegen Bijektivität)
also gilt [mm] G_{x} [/mm] ^{-1} [mm] \subseteq G_{x}
[/mm]
Wie gesagt...ich bin mir mit dieser Lösung sehr sehr sehr unsicher....
Dann könnt ich auch noch nen Tipp zur Folgeaufgabe gebrauchen, die hier gleich anschließt.
Ich soll zeigen dass M / G := { G(x) : x [mm] \in [/mm] M } eine Partition von M ist und die zugehörige Äquivalenzrelation beschreiben.
Von einer Partition von M weiß ich, dass sie ein Mengensystem
S [mm] \subseteq \mathcal{P} [/mm] (M) \ {0} mit [mm] \forall [/mm] X, Y [mm] \in [/mm] S
X [mm] \not= [/mm] Y [mm] \Rightarrow [/mm] X [mm] \cap [/mm] Y = [mm] \emptyset [/mm]
[mm] \bigcup_{i=1}^{n} [/mm] S = M
Hier weiß ich irgendwie garnet wie ich rangehen soll also wär eine kleine Hilfe ganz nett ;)
Gruß Katrin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Fr 18.11.2005 | | Autor: | Clemens |
Hallo Katrin!
Zur ersten Aufgabe:
Du hast richtig formuliert, was du zeigen musst und 1. sowie 3. richtig gezeigt. Nur bei 2. musst du zwei Dinge beachten:
a) Für ein Element g aus [mm] G_{x} [/mm] gilt im Allgemeinen leider [mm]g°g \not= g[/mm].
b) Willst du zeigen, dass [mm]G_{x}°G_{x} \subseteq G_{x}[/mm] gilt, so beachte, dass in [mm]G_{x}°G_{x}[/mm] i. A. nicht nur Elemente der Form g°g mit g aus [mm] G_{x}, [/mm] sondern auch Elemente der Form [mm] g_{1}°g_{2} [/mm] mit [mm] g_{1},g_{2} [/mm] aus [mm] G_{x} [/mm] liegen.
Zur zweiten Aufgabe:
Du musst zeigen, dass gilt:
1. Jedes Element m aus M liegt in einem Element G(x) von M/G mit x aus M. Du musst ein solches x aus M finden. Anmerkung: Du kennst nur das Element m aus M.
2. Schneiden sich zwei Bahnen G(x) und G(y) mit x, y aus M in einem Element m aus M, so sind die Bahnen schon gleich.
Tipp: Wenn m in G(x) liegt, was heißt das? Wenn m in G(y) liegt, was heißt das? Stehen x und y dann in irgendeinem Verhältnis?
Gruß Clemens
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 Fr 18.11.2005 | | Autor: | bazzzty |
> Zur ersten Aufgabe:
> Du hast richtig formuliert, was du zeigen musst und 1.
> sowie 3. richtig gezeigt.
>> zu 3) sei g [mm]\in G_{x}[/mm]
>> [mm]g^{-1}[/mm] existiert nur wenn g bijektiv ist
>> da gilt g (x) = x gilt auch [mm]g^{-1}[/mm] (x) = x (wegen
>> Bijektivität)
>> also gilt [mm]G_{x}[/mm] ^{-1} [mm]\subseteq G_{x}[/mm]
Das habe ich ehrlich gesagt nicht verstanden. Wenn M eine Gruppe wäre, wäre das klar, aber wenn M nur eine Menge mit Verknüpfung ist, woher kommt so ein inverses Element?
Das Problem hat Katrin ja angedeutet:
>> [mm]g^{-1}[/mm] existiert nur wenn g bijektiv ist
Was, wenn in M ein Element vorkommt, was nicht als Permutation auf der Menge operiert (=bijektiv operiert). In Gruppen ist das selbstverständlich, aber ist M ist nach Voraussetzung nur eine Menge?
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[mm]g^{-1}[/mm] existiert nur wenn g bijektiv ist
Ich glaube, du siehst hier ein Problem, wo keines ist. Beachte: [mm]G \subseteq S(M)[/mm] und nicht [mm]G \subseteq M[/mm]!
[mm]S(M)[/mm] ist aber gerade die Gruppe der bijektiven Abbildungen [mm]M \to M[/mm].
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