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| Aufgabe | Sei (G,*) eine endliche Gruppe, die eine gerade Anzahl von Elementen enthält. Zeigen Sie, dass dann ein vom neutralem Element e [mm] \in [/mm] G verschiedenes Element a [mm] \in [/mm] G existiert mit a * a = e.
(b) Sei (G,·) eine Gruppe mit neutralem Element e [mm] \in [/mm] G. Weiterhin gilt für alle a [mm] \in [/mm] G die Gleichung a * a = e. Beweisen Sie, dass (G, *) abelsch ist. |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
a) verstehe ich, aber weiß nicht, wie das mathematisch und verständlich aufschreiben soll.
b) finde ich keinen ansatz
danke für eure hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:53 Di 08.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) zu jedem [mm] a\in [/mm] G existiert ein Inverses, gerade Zahl von -elementen heisst ungerade Zahl ohne e.
b) betrachte ab*ba
Gruss leduart
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Ja, das weiß ich ja. Das ist die Definition einer kommutativen Gruppe, aber ist das nicht total unsinnig? Das neutrale Element der Multiplikation ist eins und der Addition ist 0. Das würde bedeuten, dass a ^{2}=1 bzw a ^{2}=0 ist... sprich im 1. fall kann a doch bloß 1 oder -1 sein und im zweiten fall 0. Oder täusche ich mich komplett?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:33 Mi 09.11.2011 | | Autor: | meili |
Hallo mathemaus,
> Ja, das weiß ich ja. Das ist die Definition einer
> kommutativen Gruppe, aber ist das nicht total unsinnig?
Wie ist die Definition einer kommutativen Gruppe?
a*b=b*a für alle a, b [mm] $\in$ [/mm] G
> Das
> neutrale Element der Multiplikation ist eins und der
> Addition ist 0. Das würde bedeuten, dass a ^{2}=1 bzw a
> ^{2}=0 ist... sprich im 1. fall kann a doch bloß 1 oder -1
> sein und im zweiten fall 0. Oder täusche ich mich
> komplett?
Für [mm] ($\IQ\setminus\{0\},*$) [/mm] kann a nur 1 oder -1 sein, und für [mm] ($\IZ$,+) [/mm] nur a = 0.
Es gibt aber auch noch endliche Gruppen.
z.B. könntest Du Dir folgende Gruppe vorstellen: [mm] ($\{e,a,b,c\}$,#)
[/mm]
Die Operation # ergibt sich über folgende Verknüpfungstabelle:
# | e a b c
e | e a b c
a | a e c b
b | b c e a
c | c b a e
Gruß
meili
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