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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:15 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Expo |
| Aufgabe | Beweisen Sie: Für eine nichtleere Halbgruppe (G; °) sind folgende Aussagen
äquivalent:
(1) (G; °) ist eine Gruppe.
(2) Für beliebige a; b € G sind die Gleichungen a ° x = b und y ° a = b eindeutig in G lösbar.
(3) Für beliebigea; b € G sind die Gleichungen a ° x = b und y ° a = b in G lösbar. |
Guten Tag,
ich habe mir gedacht dass ich die Aufgabe mit Hilfe des Ringschluss Verfahrens löse. Folgende Beziehungen habe ich bereits gelöst.
1 -> 2
Da (G °) laut 1) eigne Gruppe ist gibt es ein a´, welches das inverse zu a ist
a ° x = b = y ° a
a´ ° a ° x = b = y °a ° a´
x = y
2-> 3
Wenn die Gleichungen Eindeutig lösbar sind dann haben sie eine Lösung, also sind sie lösbar
Nun muss ja nur noch den Ringschluss schlissen aber ich finde keine Lösung für 1-> 3
Danke für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Fr 02.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Expo,
> 1 -> 2
> Da (G °) laut 1) eigne Gruppe ist gibt es ein a´, welches
> das inverse zu a ist
> a ° x = b = y ° a
Du sollst zeigen, dass diese beiden Gleichungen genau eine Lösung x bzw. y haben.
> a´ ° a ° x = b = y °a ° a´
Hier multiplizierst [mm] $a\circ [/mm] x$ von links mit a', ohne b von links mit a' zu multiplizieren. Daher haben diese beiden Gleichungen nichts mit den obigen beiden gemeinsam.
> x = y
Folgerichtig, aber i.A. falsch.
Zu zeigen ist nicht x=y. Betrachte die Gleichungen [mm] $a\circ [/mm] x=b$ und [mm] $y\circ [/mm] a=b$ getrennt.
Z.B. für [mm] $a\circ [/mm] x=b$ zeige:
1. Aus dieser Gleichung folgt [mm] $x=\ldots$, [/mm] also ist eine Lösung dieser Gleichung eindeutig.
2. $x=...$ ist auch Lösung dieser Gleichung.
> 2-> 3
> Wenn die Gleichungen Eindeutig lösbar sind dann haben sie
> eine Lösung, also sind sie lösbar
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun muss ja nur noch den Ringschluss schlissen aber ich
> finde keine Lösung für 1-> 3
Dieser Teil ist nicht ganz ohne.
Wisst ihr schon, dass es für den Nachweis, dass eine Halbgruppe [mm] $(G,\circ)$ [/mm] eine Gruppe ist, ausreicht, folgendes zu zeigen?
(a) Die Halbgruppe besitzt ein links-neutrales Element, d.h. ein [mm] $e\in [/mm] G$ mit [mm] $e\circ [/mm] a=a$ für alle [mm] $a\in [/mm] G$.
(b) Alle Elemente [mm] $a\in [/mm] G$ besitzen bezüglich e ein links-inverses Element, d.h. ein [mm] $b\in [/mm] G$ mit [mm] $b\circ [/mm] a=e$.
Es gilt nun, (a) und (b) zu zeigen.
(a) Wie können wir an unser gesuchtes e drankommen?
Die einzigen Möglichkeit, aus dem Nichts überhaupt ein Element von G zu erhalten, ist wohl die Voraussetzung auszunutzen, dass G nichtleer ist.
Also existiert ein [mm] $a\in [/mm] G$.
Nachdem wir nun ein Element von G haben, können wir mithilfe der Lösbarkeit der Gleichungen neue Elemente erhalten.
Und wir suchen ja gerade ein Element e mit [mm] $e\circ [/mm] b=b$ für alle [mm] $b\in [/mm] G$.
Daher ist es naheliegend, e als Lösung der Gleichung [mm] $e\circ [/mm] a=a$ herzunehmen.
Wir haben also nun ein Element [mm] $e\in [/mm] G$, dass für EIN Element [mm] $a\in [/mm] G$ erfüllt: [mm] $e\circ [/mm] a=a$. Zu zeigen ist nun, dass e für JEDES Element [mm] $b\in [/mm] G$ erfüllt: [mm] $e\circ [/mm] b=b$.
Sei also [mm] $b\in [/mm] G$. Zu zeigen ist [mm] $e\circ [/mm] b=b$.
Es gilt nun, irgendwie a und b so in Beziehung zu setzen, dass [mm] $e\circ [/mm] b=b$ auf [mm] $e\circ [/mm] a=a$ zurückgeführt werden kann.
Nehmen wir dazu eine Lösung [mm] $x\in [/mm] G$ der Gleichung [mm] $a\circ [/mm] x=b$.
Folgere nun aus [mm] $b=a\circ [/mm] x$ und [mm] $e\circ [/mm] a=a$, dass [mm] $e\circ [/mm] b=b$ gilt:
[mm] $e\circ b=\ldots=b$.
[/mm]
(b) Sei [mm] $b\in [/mm] G$. Zu zeigen ist, dass b ein links-Inverses c bezüglich e hat. Als Lösung welcher Gleichung erhalten wir c?
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Expo |
Hallo,
1->2
a ° x =b
x = (-a) ° b
y ° a =b
y= b ° (-a)
Zur 2 )
c ° b =b
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Fr 02.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> 1->2
> a ° x =b
> x = (-a) ° b
>
> y ° a =b
> y= b ° (-a)
Schreibe [mm] $a^{-1}$ [/mm] statt $-a$ für das Inverse von a in G, da die Verknüpfung [mm] $\circ$ [/mm] multiplikativ geschrieben ist.
Ja, das sind die Lösungen der Gleichung. Durch Multiplikation von [mm] $a\circ [/mm] x=b$ von links mit [mm] $a^{-1}$ [/mm] hast du sicherlich [mm] $x=a^{-1}\circ [/mm] b$ erhalten. Also ist [mm] $x=a^{-1}\circ [/mm] b$ die einzig in Frage kommende Lösung der Gleichung [mm] $a\circ [/mm] x=b$. Zeige nun, dass [mm] $x=a^{-1}\circ [/mm] b$ tatsächlich die Gleichung [mm] $a\circ [/mm] x=b$ löst!
> Zur 2 )
> c ° b =b
Du bist gerade bei der Gleichung, die uns das links-Inverse c von b bezüglich e liefern soll? Fast! Die Definition von c links-invers zu b bezüglich e lautet: [mm] $c\circ [/mm] b=e$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Expo |
> Folgere nun aus [mm]b=a\circ x[/mm] und [mm]e\circ a=a[/mm], dass [mm]e\circ b=b[/mm]
> gilt:
>
> [mm]e\circ b=\ldots=b[/mm].
e ° b = e °( a °x) = e ° a °x =e ° a ° a^(-1) ° b = e ° b = b
> (b) Sei [mm]b\in G[/mm]. Zu zeigen ist, dass b ein links-Inverses c
> bezüglich e hat. Als Lösung welcher Gleichung erhalten
> wir c?
c ° b = e
c = b^(-1)
> Viele Grüße
> Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:42 Fr 02.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> > Folgere nun aus [mm]b=a\circ x[/mm] und [mm]e\circ a=a[/mm], dass [mm]e\circ b=b[/mm]
> > gilt:
> >
> > [mm]e\circ b=\ldots=b[/mm].
>
> e ° b = e °( a °x) = e ° a °x
Bis hierhin: .
Wende nun [mm] $e\circ [/mm] a=a$ an.
> =e ° a ° a^(-1) ° b =
Zum einen stimmt das nicht; zum anderen wissen wir ja noch gar nicht, dass G eine Gruppe ist und somit a ein Inverses [mm] $a^{-1}$ [/mm] besitzt.
> e ° b = b
Genau das ist zu zeigen!
> > (b) Sei [mm]b\in G[/mm]. Zu zeigen ist, dass b ein links-Inverses c
> > bezüglich e hat. Als Lösung welcher Gleichung erhalten
> > wir c?
>
> c ° b = e
Ja. Diese Gleichung hat nach 3) eine Lösung c. Als Lösung dieser Gleichung ist c links-Inverses von b bezüglich e.
> c = b^(-1)
Das würde ich so nicht schreiben. Noch wissen wir ja nur, dass c links-Inverses bezüglich des links-neutralen Elements e ist.
Wisst ihr denn schon, dass eine Halbgruppe schon dann eine Gruppe ist, wenn ein linksneutrales Element und zu jedem Element ein links-Inverses existert?
Falls nicht, müsste das noch gezeigt werden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Expo |
e ° b = e °( a ° x) = e ° a °x = (e ° a) ° x = a ° x = b
> > > (b) Sei [mm]b\in G[/mm]. Zu zeigen ist, dass b ein links-Inverses c
> > > bezüglich e hat. Als Lösung welcher Gleichung erhalten
> > > wir c?
> >
> > c ° b = e
> Ja. Diese Gleichung hat nach 3) eine Lösung c. Als Lösung
> dieser Gleichung ist c links-Inverses von b bezüglich e.
Das reicht aber nicht als Begründung oder ?
> Wisst ihr denn schon, dass eine Halbgruppe schon dann eine
> Gruppe ist, wenn ein linksneutrales Element und zu jedem
> Element ein links-Inverses existert?
> Falls nicht, müsste das noch gezeigt werden.
Ja wurde in der Vorlesung Bewiesen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:56 Fr 02.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> e ° b = e °( a ° x) = e ° a °x = (e ° a) ° x = a °
> x = b
Schön!
> > > > (b) Sei [mm]b\in G[/mm]. Zu zeigen ist, dass b ein links-Inverses c
> > > > bezüglich e hat. Als Lösung welcher Gleichung erhalten
> > > > wir c?
> > >
> > > c ° b = e
> > Ja. Diese Gleichung hat nach 3) eine Lösung c. Als Lösung
> > dieser Gleichung ist c links-Inverses von b bezüglich e.
>
> Das reicht aber nicht als Begründung oder ?
Doch. "c ist links-invers zu b bezüglich e" ist ja gerade definiert durch [mm] $c\circ [/mm] b=e$.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:58 Fr 02.11.2012 | | Autor: | Expo |
Vielen Dank
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